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1. 立德树人 爱国主义 某校七年级学生计划前往西柏坡纪念馆开展红色研学活动，出发前每班需要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（
A.6 dm,6 dm,12 dm
B.8 dm,4 dm,2 dm
C.6 dm,3 dm,10 dm
D.6 dm,8 dm,7 dm
D
）A.6 dm,6 dm,12 dm
B.8 dm,4 dm,2 dm
C.6 dm,3 dm,10 dm
D.6 dm,8 dm,7 dm
答案
1.D
2. [2025廊坊期中] 已知$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且$a=4$，$b=6$.
(1)求$c$的取值范围；
(2)若$c$为小于8的偶数，求$△ ABC$的周长.
(1)求$c$的取值范围；
(2)若$c$为小于8的偶数，求$△ ABC$的周长.
答案
2.【解】(1)因为 a=4,b=6,所以 2＜c＜10.
(2)因为 c 为小于 8 的偶数,所以 c=4 或 6.
当 c=4 时,△ABC 的周长=4+6+4=14;
当 c=6 时,△ABC 的周长=6+4+6=16.
综上所述,△ABC 的周长为 14 或 16.
(2)因为 c 为小于 8 的偶数,所以 c=4 或 6.
当 c=4 时,△ABC 的周长=4+6+4=14;
当 c=6 时,△ABC 的周长=6+4+6=16.
综上所述,△ABC 的周长为 14 或 16.
3. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$边上的中线$BD$把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长$AB$.
答案
3.【解】设 AB=AC=2x,BC=y,则 AD=CD=x.
∵AC边上的中线 BD 将这个三角形的周长分成 15 和 6 两部分,
∴分两种情况讨论:
①当 3x=15 且 x+y=6 时,解得 x=5,y=1,
此时三边长分别为 10,10,1,
∴腰长 AB 为 10;
②当 x+y=15 且 3x=6 时,解得 x=2,y=13,此时三边长为 4,4,13,不满足三角形三边关系,故这种情况不存在.综上,腰长 AB 为 10.
∵AC边上的中线 BD 将这个三角形的周长分成 15 和 6 两部分,
∴分两种情况讨论:
①当 3x=15 且 x+y=6 时,解得 x=5,y=1,
此时三边长分别为 10,10,1,
∴腰长 AB 为 10;
②当 x+y=15 且 3x=6 时,解得 x=2,y=13,此时三边长为 4,4,13,不满足三角形三边关系,故这种情况不存在.综上,腰长 AB 为 10.
4. 已知$a,b,c$分别为$△ ABC$的三边长，$a,b$是方程组$\begin{cases}a+2b=9,\\a-2b=1\end{cases}$的解，且$c$为奇数，求$c$的值，并判断$△ ABC$的形状。
答案
4.【解】解方程组 $\begin{cases}a+2b=9,\\a-2b=1,\end{cases}$得 $\begin{cases}a=5,\\b=2,\end{cases}$
∵a,b,c分别为△ABC的三边长,
∴5-2＜c＜5+2,即 3＜c＜7.
∵c 为奇数,
∴c=5.
∵a=c=5,
∴△ABC 是等腰三角形.
∵a,b,c分别为△ABC的三边长,
∴5-2＜c＜5+2,即 3＜c＜7.
∵c 为奇数,
∴c=5.
∵a=c=5,
∴△ABC 是等腰三角形.
5. 在$△ ABC$中，$a,b,c$是$△ ABC$的三条边长，其中$a,b$满足$(a+b-5)^2 + |2a -5b -3| =0$，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长.
答案
5.【解】
∵$(a+b-5)^2 + |2a -5b -3| =0$,
∴$\begin{cases}a+b-5=0,\\2a-5b-3=0,\end{cases}$
∴$\begin{cases}a=4,\\b=1.\end{cases}$
∵a,b,c 为△ABC 的三条边长,
∴4-1＜c＜4+1,即 3＜c＜5,
∴8＜a+b+c＜10.
∵这个三角形的周长为整数,
∴三角形的周长为 9.
∵$(a+b-5)^2 + |2a -5b -3| =0$,
∴$\begin{cases}a+b-5=0,\\2a-5b-3=0,\end{cases}$
∴$\begin{cases}a=4,\\b=1.\end{cases}$
∵a,b,c 为△ABC 的三条边长,
∴4-1＜c＜4+1,即 3＜c＜5,
∴8＜a+b+c＜10.
∵这个三角形的周长为整数,
∴三角形的周长为 9.
6. 如图,在四边形ABCD中,连接AC,BD,试说明:AD+AB+CD+BC＞AC+BD. 
答案
6.【解】在△ABD 中,AD+AB＞BD,
在△BCD 中,CD+BC＞BD,
在△ACD 中,AD+CD＞AC,
在△ABC 中,AB+BC＞AC,
∴AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC＞BD+BD+AC+AC,
∴2(AD+AB+CD+BC)＞2(AC+BD),
∴AD+AB+CD+BC＞AC+BD.
在△BCD 中,CD+BC＞BD,
在△ACD 中,AD+CD＞AC,
在△ABC 中,AB+BC＞AC,
∴AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC＞BD+BD+AC+AC,
∴2(AD+AB+CD+BC)＞2(AC+BD),
∴AD+AB+CD+BC＞AC+BD.
