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1 设三个互不相等的有理数，既可以表示为1、$m+n$、$m$的形式，又可以表示为0、$\frac{n}{m}$、$n$的形式，则$m^{2025} + n^{2025}$的值为（
A.0
B.$-1$
C.1
D.2
A
）。A.0
B.$-1$
C.1
D.2
答案
A
解析
【分析】
已知两组数表示的是相同的三个互不相等的有理数，因此两组数的元素完全对应相等。首先从特殊元素0入手：第二组数包含0，说明第一组数中也必有0。第一组数为1、$m+n$、$m$，因此要么$m+n=0$，要么$m=0$；再结合第二组数有$\frac{n}{m}$，分式分母不能为0，可排除$m=0$的情况，因此得到$m+n=0$，即$m=-n$。代入$\frac{n}{m}$可得该值为-1，此时再对比两组数的剩余元素，就能确定$m$和$n$的具体值，最后代入所求式子计算即可。
【解析】
∵ 三个互不相等的有理数，两种表示形式的元素完全相同
∴ 第一组数$\{1, m+n, m\}$和第二组数$\{0, \frac{n}{m}, n\}$的元素一一对应相等
∵ 第二组含有元素0，且$\frac{n}{m}$有意义时分母$m≠0$
∴ 第一组中只能是$m+n=0$，即$m=-n$
将$m=-n$代入$\frac{n}{m}$，得$\frac{n}{m}=\frac{n}{-n}=-1$
此时第一组数为$\{1, 0, m\}$，第二组数为$\{0, -1, n\}$
∵ 两组元素完全相同，且三个数互不相等
∴ $m=-1$，$n=1$
代入$m^{2025} + n^{2025}$计算：
$m^{2025} + n^{2025}=(-1)^{2025} + 1^{2025}=-1 + 1=0$
【答案】
A
【知识点】
有理数的性质；分式有意义的条件；乘方运算
【点评】
本题是有理数的综合应用题，解题关键是抓住两组数元素相同的特点，从特殊元素0和分母不为0的限制切入推导，逐步确定未知参数的值，再结合乘方的性质计算结果，逻辑推导过程清晰，考察学生对有理数基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
已知两组数表示的是相同的三个互不相等的有理数，因此两组数的元素完全对应相等。首先从特殊元素0入手：第二组数包含0，说明第一组数中也必有0。第一组数为1、$m+n$、$m$，因此要么$m+n=0$，要么$m=0$；再结合第二组数有$\frac{n}{m}$，分式分母不能为0，可排除$m=0$的情况，因此得到$m+n=0$，即$m=-n$。代入$\frac{n}{m}$可得该值为-1，此时再对比两组数的剩余元素，就能确定$m$和$n$的具体值，最后代入所求式子计算即可。
【解析】
∵ 三个互不相等的有理数，两种表示形式的元素完全相同
∴ 第一组数$\{1, m+n, m\}$和第二组数$\{0, \frac{n}{m}, n\}$的元素一一对应相等
∵ 第二组含有元素0，且$\frac{n}{m}$有意义时分母$m≠0$
∴ 第一组中只能是$m+n=0$，即$m=-n$
将$m=-n$代入$\frac{n}{m}$，得$\frac{n}{m}=\frac{n}{-n}=-1$
此时第一组数为$\{1, 0, m\}$，第二组数为$\{0, -1, n\}$
∵ 两组元素完全相同，且三个数互不相等
∴ $m=-1$，$n=1$
代入$m^{2025} + n^{2025}$计算：
$m^{2025} + n^{2025}=(-1)^{2025} + 1^{2025}=-1 + 1=0$
【答案】
A
【知识点】
有理数的性质；分式有意义的条件；乘方运算
【点评】
本题是有理数的综合应用题，解题关键是抓住两组数元素相同的特点，从特殊元素0和分母不为0的限制切入推导，逐步确定未知参数的值，再结合乘方的性质计算结果，逻辑推导过程清晰，考察学生对有理数基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
2 有下列命题:(1)$\sqrt[3]{a^3}=a$;(2)$\sqrt{a^2}=a$;(3)无限小数都不是有理数;(4)有限小数都是有理数,其中正确的有(
A.(2)(3)
B.(1)(4)
C.(1)(3)
D.(2)(4)
B
)。A.(2)(3)
B.(1)(4)
C.(1)(3)
D.(2)(4)
答案
B解析
【分析】
要解答本题，需逐个判断4个命题的正误，解题思路如下：首先回忆立方根、算术平方根的运算性质，再结合有理数的定义（有理数包括整数和分数，可表示为两个整数的比值），分别验证每个命题是否符合对应的数学规则，最后选出全部正确命题对应的选项。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
1. 对于命题(1)：根据立方根的性质，任意实数的立方根的立方等于它本身，即$\sqrt[3]{a^3}=a$对所有实数$a$都成立，因此(1)正确。
2. 对于命题(2)：$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，结果为非负数，当$a$为负数时，$\sqrt{a^2}=-a≠ a$，正确结论应为$\sqrt{a^2}=|a|$，因此(2)错误。
3. 对于命题(3)：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数可以化为分数，属于有理数，因此“无限小数都不是有理数”的表述错误，(3)错误。
4. 对于命题(4)：所有有限小数都可以转化为分数形式，因此都属于有理数，(4)正确。
综上，正确的命题是(1)(4)，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质；算术平方根的性质；有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易忽略算术平方根的非负性、混淆无限小数和无理数的范围，只要准确掌握相关核心概念，就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.7
要解答本题，需逐个判断4个命题的正误，解题思路如下：首先回忆立方根、算术平方根的运算性质，再结合有理数的定义（有理数包括整数和分数，可表示为两个整数的比值），分别验证每个命题是否符合对应的数学规则，最后选出全部正确命题对应的选项。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
1. 对于命题(1)：根据立方根的性质，任意实数的立方根的立方等于它本身，即$\sqrt[3]{a^3}=a$对所有实数$a$都成立，因此(1)正确。
2. 对于命题(2)：$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，结果为非负数，当$a$为负数时，$\sqrt{a^2}=-a≠ a$，正确结论应为$\sqrt{a^2}=|a|$，因此(2)错误。
3. 对于命题(3)：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数可以化为分数，属于有理数，因此“无限小数都不是有理数”的表述错误，(3)错误。
4. 对于命题(4)：所有有限小数都可以转化为分数形式，因此都属于有理数，(4)正确。
综上，正确的命题是(1)(4)，对应选项B。
【答案】
B【知识点】
立方根的性质；算术平方根的性质；有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易忽略算术平方根的非负性、混淆无限小数和无理数的范围，只要准确掌握相关核心概念，就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.7
3 下列说法中,正确的是(
A.平方根等于本身的数是 0
B.$\sqrt{36}$表示6的算术平方根
C.无限小数都是有理数
D.有理数都是有限小数
A
)。A.平方根等于本身的数是 0
B.$\sqrt{36}$表示6的算术平方根
C.无限小数都是有理数
D.有理数都是有限小数
答案
A
解析
【分析】
这是一道概念辨析类题目，解题时需要结合平方根、算术平方根、有理数的相关定义，逐一判断每个选项的正误，最终选出正确选项。首先回忆各核心概念的准确内容，再对应每个选项的描述逐一排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$为$a$的平方根。0的平方根是0，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，因此只有0的平方根等于本身，该选项正确。
B选项：$\sqrt{36}$表示的是36的算术平方根，运算结果为6，并不是6的算术平方根（6的算术平方根是$\sqrt{6}$），该选项错误。
C选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数属于无理数，因此无限小数不都是有理数，该选项错误。
D选项：有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，因此有理数不都是有限小数，无限循环小数也属于有理数，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对易混淆相似概念的区分，只要准确掌握相关定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道概念辨析类题目，解题时需要结合平方根、算术平方根、有理数的相关定义，逐一判断每个选项的正误，最终选出正确选项。首先回忆各核心概念的准确内容，再对应每个选项的描述逐一排查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$为$a$的平方根。0的平方根是0，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，因此只有0的平方根等于本身，该选项正确。
B选项：$\sqrt{36}$表示的是36的算术平方根，运算结果为6，并不是6的算术平方根（6的算术平方根是$\sqrt{6}$），该选项错误。
C选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数属于无理数，因此无限小数不都是有理数，该选项错误。
D选项：有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，因此有理数不都是有限小数，无限循环小数也属于有理数，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；有理数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对易混淆相似概念的区分，只要准确掌握相关定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4 任何一个有理数都可以写成
4 任何一个有理数都可以写成
有限
小数或无限循环
小数的形式。答案
有限，无限循环
解析
【分析】
解题时首先回忆有理数的分类：有理数包含整数和分数。我们可以分别推导两类数对应的小数形式：整数可以看作小数部分为0的有限小数；分数化为小数时，若能除尽则得到有限小数，若除不尽则商的小数部分会出现固定的循环节，得到无限循环小数，由此就能确定有理数对应的两种小数形式。
【解析】
有理数分为整数和分数：
1. 整数可以改写为小数部分均为0的有限小数，例如3可写成3.0，属于有限小数；
2. 分数化为小数时，要么可以除尽得到有限小数（如$\frac{1}{2}=0.5$），要么除不尽但小数部分会重复出现循环节，为无限循环小数（如$\frac{1}{3}=0.\dot{3}$）。
因此任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
【答案】
有限，无限循环
【知识点】
有理数的概念；有理数的小数表示
【点评】
本题是对有理数基本性质的考查，属于基础识记类题目，需注意区分有理数和无理数的小数形式差异，无限不循环小数是无理数的特征。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆有理数的分类：有理数包含整数和分数。我们可以分别推导两类数对应的小数形式：整数可以看作小数部分为0的有限小数；分数化为小数时，若能除尽则得到有限小数，若除不尽则商的小数部分会出现固定的循环节，得到无限循环小数，由此就能确定有理数对应的两种小数形式。
【解析】
有理数分为整数和分数：
1. 整数可以改写为小数部分均为0的有限小数，例如3可写成3.0，属于有限小数；
2. 分数化为小数时，要么可以除尽得到有限小数（如$\frac{1}{2}=0.5$），要么除不尽但小数部分会重复出现循环节，为无限循环小数（如$\frac{1}{3}=0.\dot{3}$）。
因此任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
【答案】
有限，无限循环
【知识点】
有理数的概念；有理数的小数表示
【点评】
本题是对有理数基本性质的考查，属于基础识记类题目，需注意区分有理数和无理数的小数形式差异，无限不循环小数是无理数的特征。
【难度系数】
0.9
5 已知$\sqrt[3]{7}=a$，则$\sqrt[3]{0.007}+\sqrt[3]{7000}$的值为
$10.1a$
。答案
$10.1a$
解析
【分析】
解题时先观察待求式中两个立方根的被开方数0.007、7000，均与已知条件中的被开方数7成倍数关系，且倍数为10的整数次幂（0.001=10⁻³，1000=10³）。我们可以利用立方根的运算性质：$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$（a、b均为实数），将待求的两个立方根拆分为含$\sqrt[3]{7}$的式子，再代入已知$\sqrt[3]{7}=a$计算即可。
【解析】
解：先对两个立方根分别变形：
1. 计算$\sqrt[3]{0.007}$：
$\sqrt[3]{0.007}=\sqrt[3]{7×0.001}=\sqrt[3]{7}×\sqrt[3]{0.001}$
因为$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，且$\sqrt[3]{7}=a$，所以$\sqrt[3]{0.007}=0.1a$。
2. 计算$\sqrt[3]{7000}$：
$\sqrt[3]{7000}=\sqrt[3]{7×1000}=\sqrt[3]{7}×\sqrt[3]{1000}$
因为$\sqrt[3]{1000}=10$，且$\sqrt[3]{7}=a$，所以$\sqrt[3]{7000}=10a$。
3. 求和：
$\sqrt[3]{0.007}+\sqrt[3]{7000}=0.1a+10a=10.1a$。
【答案】
$10.1a$
【知识点】
立方根的性质，根式运算，代数式求值
【点评】
本题核心是利用立方根的运算性质将未知根式向已知条件转化，解题的关键是发现被开方数之间的倍数关系，掌握“被开方数小数点每移动3位，立方根的小数点向同方向移动1位”的规律，可快速完成化简计算。
【难度系数】
0.85
解题时先观察待求式中两个立方根的被开方数0.007、7000，均与已知条件中的被开方数7成倍数关系，且倍数为10的整数次幂（0.001=10⁻³，1000=10³）。我们可以利用立方根的运算性质：$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$（a、b均为实数），将待求的两个立方根拆分为含$\sqrt[3]{7}$的式子，再代入已知$\sqrt[3]{7}=a$计算即可。
【解析】
解：先对两个立方根分别变形：
1. 计算$\sqrt[3]{0.007}$：
$\sqrt[3]{0.007}=\sqrt[3]{7×0.001}=\sqrt[3]{7}×\sqrt[3]{0.001}$
因为$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，且$\sqrt[3]{7}=a$，所以$\sqrt[3]{0.007}=0.1a$。
2. 计算$\sqrt[3]{7000}$：
$\sqrt[3]{7000}=\sqrt[3]{7×1000}=\sqrt[3]{7}×\sqrt[3]{1000}$
因为$\sqrt[3]{1000}=10$，且$\sqrt[3]{7}=a$，所以$\sqrt[3]{7000}=10a$。
3. 求和：
$\sqrt[3]{0.007}+\sqrt[3]{7000}=0.1a+10a=10.1a$。
【答案】
$10.1a$
【知识点】
立方根的性质，根式运算，代数式求值
【点评】
本题核心是利用立方根的运算性质将未知根式向已知条件转化，解题的关键是发现被开方数之间的倍数关系，掌握“被开方数小数点每移动3位，立方根的小数点向同方向移动1位”的规律，可快速完成化简计算。
【难度系数】
0.85
⑥ 将分数$\frac{7}{6}$写成无限循环小数的形式是
$1.1\dot{6}$
。答案
$1.1\dot{6}$
解析
【分析】
要将分数化为无限循环小数，核心方法是用分子除以分母做除法运算，计算过程中观察余数，当余数重复出现时，后续的商就会开始循环，找到循环节后按规范标注即可。本题计算7除以6的过程中，逐步计算商和余数，找到循环的部分就能得到结果。
【解析】
将分数化为小数的方法为分子除以分母，计算$7÷6$：
1. 整数部分计算：$6×1=6$，$7-6=1$，得整数部分为1，余数为1；
2. 小数部分第一位：给余数1补0得10，$10÷6$商1，$6×1=6$，$10-6=4$，得十分位为1，余数为4；
3. 小数部分第二位：给余数4补0得40，$40÷6$商6，$6×6=36$，$40-36=4$，得百分位为6，余数为4；
此时余数4重复出现，说明后续商始终为6，即循环节为6，按循环小数表示规范在循环节上方加点，因此结果为$1.1\dot{6}$。
【答案】
$1.1\dot{6}$
【知识点】
分数与小数互化；循环小数的表示
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查分数化小数的方法和循环小数的规范写法，熟练掌握除法运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.9
要将分数化为无限循环小数，核心方法是用分子除以分母做除法运算，计算过程中观察余数，当余数重复出现时，后续的商就会开始循环，找到循环节后按规范标注即可。本题计算7除以6的过程中，逐步计算商和余数，找到循环的部分就能得到结果。
【解析】
将分数化为小数的方法为分子除以分母，计算$7÷6$：
1. 整数部分计算：$6×1=6$，$7-6=1$，得整数部分为1，余数为1；
2. 小数部分第一位：给余数1补0得10，$10÷6$商1，$6×1=6$，$10-6=4$，得十分位为1，余数为4；
3. 小数部分第二位：给余数4补0得40，$40÷6$商6，$6×6=36$，$40-36=4$，得百分位为6，余数为4；
此时余数4重复出现，说明后续商始终为6，即循环节为6，按循环小数表示规范在循环节上方加点，因此结果为$1.1\dot{6}$。
【答案】
$1.1\dot{6}$
【知识点】
分数与小数互化；循环小数的表示
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查分数化小数的方法和循环小数的规范写法，熟练掌握除法运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.9
7 将0.$\dot{4}$化成分数的结果为
$\frac{4}{9}$
。答案
$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
要将无限循环小数转化为分数，核心是消去无限重复的循环部分。本题中$0.\dot{4}$是循环节为1位的纯循环小数，我们可以通过设未知数的方式，利用等式的性质将原数扩大10倍，使扩大后的数与原数的小数部分完全相同，两式相减即可消去循环部分，得到一元一次方程，解方程就能求出对应的分数。
【解析】
设$x = 0.\dot{4} = 0.444···$ ①
将等式两边同时乘10，得：
$10x = 4.444···$ ②
用②式减去①式，消去循环的小数部分：
$10x - x = 4.444··· - 0.444···$
化简得$9x = 4$
解得$x = \frac{4}{9}$
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
循环小数化分数，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查无限循环小数转分数的方法，运用方程思想消去无限循环部分是解题的关键，属于基础题型，掌握方法后很容易解答。
【难度系数】
0.8
要将无限循环小数转化为分数，核心是消去无限重复的循环部分。本题中$0.\dot{4}$是循环节为1位的纯循环小数，我们可以通过设未知数的方式，利用等式的性质将原数扩大10倍，使扩大后的数与原数的小数部分完全相同，两式相减即可消去循环部分，得到一元一次方程，解方程就能求出对应的分数。
【解析】
设$x = 0.\dot{4} = 0.444···$ ①
将等式两边同时乘10，得：
$10x = 4.444···$ ②
用②式减去①式，消去循环的小数部分：
$10x - x = 4.444··· - 0.444···$
化简得$9x = 4$
解得$x = \frac{4}{9}$
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
循环小数化分数，一元一次方程的应用
【点评】
本题考查无限循环小数转分数的方法，运用方程思想消去无限循环部分是解题的关键，属于基础题型，掌握方法后很容易解答。
【难度系数】
0.8
⑧ 在分数$\frac{2}{11}$、$\frac{3}{12}$、$\frac{1}{25}$、$\frac{7}{56}$中，不可以化为有限小数的分数是
$\frac{2}{11}$
。答案
$\frac{2}{11}$解析
【分析】
要判断分数能否化为有限小数，首先需将分数化为最简分数，再分析最简分数的分母质因数：若分母的质因数仅包含2和5，该分数可化为有限小数；若分母含有2、5以外的其他质因数，则无法化为有限小数。解题时先将题目中所有分数约分，再逐个分析分母质因数即可得出结果。
【解析】
首先将各分数化为最简分数，再逐一判断：
1. $\frac{2}{11}$：本身是最简分数，分母11的质因数为11，含有2和5以外的质因数，无法化为有限小数；
2. $\frac{3}{12}$：约分可得$\frac{1}{4}$，分母4的质因数仅为2，可化为有限小数（$\frac{1}{4}=0.25$）；
3. $\frac{1}{25}$：本身是最简分数，分母25的质因数仅为5，可化为有限小数（$\frac{1}{25}=0.04$）；
4. $\frac{7}{56}$：约分可得$\frac{1}{8}$，分母8的质因数仅为2，可化为有限小数（$\frac{1}{8}=0.125$）。
因此不可以化为有限小数的是$\frac{2}{11}$。
【答案】
$\frac{2}{11}$
【知识点】
分数约分、有限小数判定、质因数分解
【点评】
本题核心考查分数转化为有限小数的判定规则，易错点是容易忽略先将非最简分数约分，直接对原分母进行判断导致失分，牢记“先约分、再判质因数”的解题顺序即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要判断分数能否化为有限小数，首先需将分数化为最简分数，再分析最简分数的分母质因数：若分母的质因数仅包含2和5，该分数可化为有限小数；若分母含有2、5以外的其他质因数，则无法化为有限小数。解题时先将题目中所有分数约分，再逐个分析分母质因数即可得出结果。
【解析】
首先将各分数化为最简分数，再逐一判断：
1. $\frac{2}{11}$：本身是最简分数，分母11的质因数为11，含有2和5以外的质因数，无法化为有限小数；
2. $\frac{3}{12}$：约分可得$\frac{1}{4}$，分母4的质因数仅为2，可化为有限小数（$\frac{1}{4}=0.25$）；
3. $\frac{1}{25}$：本身是最简分数，分母25的质因数仅为5，可化为有限小数（$\frac{1}{25}=0.04$）；
4. $\frac{7}{56}$：约分可得$\frac{1}{8}$，分母8的质因数仅为2，可化为有限小数（$\frac{1}{8}=0.125$）。
因此不可以化为有限小数的是$\frac{2}{11}$。
【答案】
$\frac{2}{11}$【知识点】
分数约分、有限小数判定、质因数分解
【点评】
本题核心考查分数转化为有限小数的判定规则，易错点是容易忽略先将非最简分数约分，直接对原分母进行判断导致失分，牢记“先约分、再判质因数”的解题顺序即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
9 在下列各数：$\frac{π}{7}$，$-9.25$，$-\frac{9}{10}$，$-301$，$\frac{22}{7}$，$-3.5$，$3.\dot{3}$，$0$，$1.2345678910111213···$中，属于有理数的是________。
答案
$-9.25, -\frac{9}{10}, -301, \frac{22}{7}, -3.5, 3.\dot{3}, 0$
解析
【分析】解题的核心是明确有理数的判定标准：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可表示为两个整数的比值（分母不为0），具体包含整数、有限小数、无限循环小数；而无限不循环小数属于无理数，常见的无理数有含π的式子、无限不循环小数等。解题时只需逐个判断每个数的类型，排除无理数，就能筛选出所有有理数。
【解析】我们逐个分析题干给出的数：
1. $\frac{π}{7}$：π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{7}$也为无理数；
2. $-9.25$：是有限小数，属于有理数；
3. $-\frac{9}{10}$：是分数，属于有理数；
4. $-301$：是负整数，属于有理数；
5. $\frac{22}{7}$：是分数，属于有理数；
6. $-3.5$：是有限小数，属于有理数；
7. $3.\dot{3}$：是无限循环小数，属于有理数；
8. $0$：是整数，属于有理数；
9. $1.2345678910111213···$：是无限不循环小数，属于无理数。
综上即可得出所有符合要求的有理数。
【答案】
$-9.25, -\frac{9}{10}, -301, \frac{22}{7}, -3.5, 3.\dot{3}, 0$
【知识点】
1. 有理数的定义
2. 无理数的识别
【点评】
本题是基础的实数分类题型，核心考查对有理数、无理数概念的掌握，解题时要注意区分无限循环小数和无限不循环小数，不要误将$\frac{22}{7}$这类分数当成无理数，也不要误以为所有无限小数都是无理数。
【难度系数】
0.8
【解析】我们逐个分析题干给出的数：
1. $\frac{π}{7}$：π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{7}$也为无理数；
2. $-9.25$：是有限小数，属于有理数；
3. $-\frac{9}{10}$：是分数，属于有理数；
4. $-301$：是负整数，属于有理数；
5. $\frac{22}{7}$：是分数，属于有理数；
6. $-3.5$：是有限小数，属于有理数；
7. $3.\dot{3}$：是无限循环小数，属于有理数；
8. $0$：是整数，属于有理数；
9. $1.2345678910111213···$：是无限不循环小数，属于无理数。
综上即可得出所有符合要求的有理数。
【答案】
$-9.25, -\frac{9}{10}, -301, \frac{22}{7}, -3.5, 3.\dot{3}, 0$
【知识点】
1. 有理数的定义
2. 无理数的识别
【点评】
本题是基础的实数分类题型，核心考查对有理数、无理数概念的掌握，解题时要注意区分无限循环小数和无限不循环小数，不要误将$\frac{22}{7}$这类分数当成无理数，也不要误以为所有无限小数都是无理数。
【难度系数】
0.8
⑩ 将下列有理数化成小数。
(1) $\frac{22}{25}$；
(2) $\frac{7}{24}$；
(3) $2\frac{8}{11}$；
(4) $5\frac{7}{8}$；
(5) $\frac{2}{15}$；
(6) $-3\frac{3}{20}$。
(1) $\frac{22}{25}$；
(2) $\frac{7}{24}$；
(3) $2\frac{8}{11}$；
(4) $5\frac{7}{8}$；
(5) $\frac{2}{15}$；
(6) $-3\frac{3}{20}$。
答案
(1) 0.88 (2) $0.291\dot{6}$ (3) $2.\dot{7}\dot{2}$ (4) 5.875 (5) $0.1\dot{3}$ (6) $-3.15$
解析
【分析】
解题核心思路是利用“分数化小数的本质是分子除以分母”的规则计算，具体步骤如下：①先判断有理数的符号，负有理数转化时先保留符号，仅计算其绝对值对应的小数形式再补负号；②带分数先拆成整数部分加分数部分，整数部分直接保留，仅将分数部分的分子除以分母计算对应的小数；③若除法运算除得尽，结果为有限小数；若除不尽，找到重复出现的循环节，在循环节的首位和末位数字上方标注循环点即可。
【解析】
(1) $\frac{22}{25}=22÷25=0.88$
(2) $\frac{7}{24}=7÷24=0.291666···$，循环节为6，故结果为$0.291\dot{6}$
(3) $2\frac{8}{11}=2+\frac{8}{11}$，先算$\frac{8}{11}=8÷11=0.7272···$，循环节为72，故结果为$2.\dot{7}\dot{2}$
(4) $5\frac{7}{8}=5+\frac{7}{8}$，先算$\frac{7}{8}=7÷8=0.875$，故$5+0.875=5.875$
(5) $\frac{2}{15}=2÷15=0.1333···$，循环节为3，故结果为$0.1\dot{3}$
(6) $-3\frac{3}{20}=-(3+\frac{3}{20})$，先算$\frac{3}{20}=3÷20=0.15$，故$-(3+0.15)=-3.15$
【答案】
(1) 0.88 (2) $0.291\dot{6}$ (3) $2.\dot{7}\dot{2}$ (4) 5.875 (5) $0.1\dot{3}$ (6) $-3.15$
【知识点】
分数化小数、循环小数表示、带分数运算
【点评】
本题是有理数转化为小数的基础计算题，核心考查除法运算能力和循环小数的规范书写，做题时需注意带分数的整数部分不要遗漏，负有理数的符号不要丢，循环节标注要准确，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题核心思路是利用“分数化小数的本质是分子除以分母”的规则计算，具体步骤如下：①先判断有理数的符号，负有理数转化时先保留符号，仅计算其绝对值对应的小数形式再补负号；②带分数先拆成整数部分加分数部分，整数部分直接保留，仅将分数部分的分子除以分母计算对应的小数；③若除法运算除得尽，结果为有限小数；若除不尽，找到重复出现的循环节，在循环节的首位和末位数字上方标注循环点即可。
【解析】
(1) $\frac{22}{25}=22÷25=0.88$
(2) $\frac{7}{24}=7÷24=0.291666···$，循环节为6，故结果为$0.291\dot{6}$
(3) $2\frac{8}{11}=2+\frac{8}{11}$，先算$\frac{8}{11}=8÷11=0.7272···$，循环节为72，故结果为$2.\dot{7}\dot{2}$
(4) $5\frac{7}{8}=5+\frac{7}{8}$，先算$\frac{7}{8}=7÷8=0.875$，故$5+0.875=5.875$
(5) $\frac{2}{15}=2÷15=0.1333···$，循环节为3，故结果为$0.1\dot{3}$
(6) $-3\frac{3}{20}=-(3+\frac{3}{20})$，先算$\frac{3}{20}=3÷20=0.15$，故$-(3+0.15)=-3.15$
【答案】
(1) 0.88 (2) $0.291\dot{6}$ (3) $2.\dot{7}\dot{2}$ (4) 5.875 (5) $0.1\dot{3}$ (6) $-3.15$
【知识点】
分数化小数、循环小数表示、带分数运算
【点评】
本题是有理数转化为小数的基础计算题，核心考查除法运算能力和循环小数的规范书写，做题时需注意带分数的整数部分不要遗漏，负有理数的符号不要丢，循环节标注要准确，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
