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12 字母a、b、c、d所表示的数如表：
（1）直接写出上表中各字母所表示的数；
（2）计算(1)中最大数与最小数的平方差。
（1）直接写出上表中各字母所表示的数；
（2）计算(1)中最大数与最小数的平方差。
答案
12 (1) $a=-2$, $b=\sqrt{6}$, $c=-1$, $d=-\frac{2}{3}$ (2) 因为(1)中最大的数是$\sqrt{6}$,最小的数是$-2$,所以$(\sqrt{6})^2-(-2)^2=6-4=2$。
解析
【分析】
解决本题分两步思考：
1. 求解第(1)问时，对应每个字母的描述调用对应概念计算即可：①求a值用立方根定义，若x³=m，则x是m的立方根，据此计算-8的立方根；②求b值用相反数定义，互为相反数的两个数仅符号相反，直接改变-√6的符号即可；③求c值用乘方运算规则，1的任意次幂为1，注意负号不在幂的底数内；④求d值用单项式系数定义，单项式的数字因数就是系数，直接提取数字部分即可。
2. 求解第(2)问时，先将四个实数排序找到最大数和最小数，再按照平方差的要求计算即可，注意平方运算时负数的平方为正数。
【解析】
(1) 分别计算各字母表示的数：
① 因为$(-2)^3=-8$，所以$-8$的立方根为$-2$，即$a=-2$；
② 只有符号不同的两个数互为相反数，因此$-\sqrt{6}$的相反数是$\sqrt{6}$，即$b=\sqrt{6}$；
③ 因为$1^{2026}=1$，因此$-1^{2026}=-1$，即$c=-1$；
④ 单项式$\frac{-2x^2y}{3}$的数字因数为$-\frac{2}{3}$，因此该整式的系数为$-\frac{2}{3}$，即$d=-\frac{2}{3}$。
(2) 先比较4个数的大小：$\sqrt{6}\approx2.45$，可得$\sqrt{6}＞-\frac{2}{3}＞-1＞-2$，即最大数是$\sqrt{6}$，最小数是$-2$。
计算二者的平方差：
$(\sqrt{6})^2 - (-2)^2 = 6 - 4 = 2$
【答案】
(1) $a=-2$, $b=\sqrt{6}$, $c=-1$, $d=-\frac{2}{3}$
(2) $2$
【知识点】
立方根的计算，相反数的定义，单项式的系数
【点评】
本题属于基础题，侧重考察基础概念的应用，涉及的知识点都是实数和整式的核心基础概念，计算量小，只要熟练掌握对应定义就能顺利解题，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
解决本题分两步思考：
1. 求解第(1)问时，对应每个字母的描述调用对应概念计算即可：①求a值用立方根定义，若x³=m，则x是m的立方根，据此计算-8的立方根；②求b值用相反数定义，互为相反数的两个数仅符号相反，直接改变-√6的符号即可；③求c值用乘方运算规则，1的任意次幂为1，注意负号不在幂的底数内；④求d值用单项式系数定义，单项式的数字因数就是系数，直接提取数字部分即可。
2. 求解第(2)问时，先将四个实数排序找到最大数和最小数，再按照平方差的要求计算即可，注意平方运算时负数的平方为正数。
【解析】
(1) 分别计算各字母表示的数：
① 因为$(-2)^3=-8$，所以$-8$的立方根为$-2$，即$a=-2$；
② 只有符号不同的两个数互为相反数，因此$-\sqrt{6}$的相反数是$\sqrt{6}$，即$b=\sqrt{6}$；
③ 因为$1^{2026}=1$，因此$-1^{2026}=-1$，即$c=-1$；
④ 单项式$\frac{-2x^2y}{3}$的数字因数为$-\frac{2}{3}$，因此该整式的系数为$-\frac{2}{3}$，即$d=-\frac{2}{3}$。
(2) 先比较4个数的大小：$\sqrt{6}\approx2.45$，可得$\sqrt{6}＞-\frac{2}{3}＞-1＞-2$，即最大数是$\sqrt{6}$，最小数是$-2$。
计算二者的平方差：
$(\sqrt{6})^2 - (-2)^2 = 6 - 4 = 2$
【答案】
(1) $a=-2$, $b=\sqrt{6}$, $c=-1$, $d=-\frac{2}{3}$
(2) $2$
【知识点】
立方根的计算，相反数的定义，单项式的系数
【点评】
本题属于基础题，侧重考察基础概念的应用，涉及的知识点都是实数和整式的核心基础概念，计算量小，只要熟练掌握对应定义就能顺利解题，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
13 请仔细阅读以下解题过程:已知59 319的立方根为正整数,求59 319的立方根。
因为$10^3 ＜59 319 ＜100^3$,所以$\sqrt[3]{59 319}$是两位整数。因为整数59 319的末位上的数字是9,而整数0至9的立方中,只有$9^3=729$的末位数字是9,所以$\sqrt[3]{59 319}$的末位数字是9。又因为划去59 319的后面三位319得到59,而$3＜\sqrt[3]{59} ＜4$,所以$\sqrt[3]{59 319}$的十位数字是3。
所以$\sqrt[3]{59 319}=39$。经检验,$39^3=59 319$。
请根据以上解题思路解方程:$3(2x +1)^3 +59 049=0$。
因为$10^3 ＜59 319 ＜100^3$,所以$\sqrt[3]{59 319}$是两位整数。因为整数59 319的末位上的数字是9,而整数0至9的立方中,只有$9^3=729$的末位数字是9,所以$\sqrt[3]{59 319}$的末位数字是9。又因为划去59 319的后面三位319得到59,而$3＜\sqrt[3]{59} ＜4$,所以$\sqrt[3]{59 319}$的十位数字是3。
所以$\sqrt[3]{59 319}=39$。经检验,$39^3=59 319$。
请根据以上解题思路解方程:$3(2x +1)^3 +59 049=0$。
答案
13 $-14$ 由题意得$(2x+1)^3=-19683$,因为$10^3＜19683＜100^3$,所以$\sqrt[3]{19683}$是两位整数。因为整数19683的末位上的数字是3,而整数0至9的立方中,只有$7^3=343$的末位数字是3,所以$\sqrt[3]{19683}$的末位数字是7。又因为划去19683的后面三位683得到19,而$2＜\sqrt[3]{19}＜3$,所以$\sqrt[3]{19683}$的十位数字是2。所以$\sqrt[3]{19683}=27$。经检验$27^3=19683$。因为$(2x+1)^3=-19683$,所以$2x+1=\sqrt[3]{-19683}=-\sqrt[3]{19683}$,所以$2x+1=-27$,解得$x=-14$。
解析
【分析】
解题时首先要对给定方程进行变形，将含未知数的立方项单独移到等号一侧，求出$(2x+1)^3$的取值。随后参考题干给出的求正整数立方根的方法，先计算$(2x+1)^3$的绝对值的立方根，再结合负数的立方根为负数的性质，得到$2x+1$的取值，最后解一元一次方程即可求出$x$的值。
【解析】
对方程$3(2x +1)^3 +59 049=0$变形：
移项得：$3(2x +1)^3 = -59049$
两边同时除以3得：$(2x+1)^3 = -19683$
接下来求$19683$的立方根：
因为$10^3=1000$，$100^3=1000000$，满足$10^3＜19683＜100^3$，所以$\sqrt[3]{19683}$是两位整数。
整数19683的末位数字是3，0至9的立方中只有$7^3=343$的末位数字是3，因此$\sqrt[3]{19683}$的末位数字是7。
划去19683的后三位683得到19，又因为$2^3=8$，$3^3=27$，即$2＜\sqrt[3]{19}＜3$，所以$\sqrt[3]{19683}$的十位数字是2，可得$\sqrt[3]{19683}=27$，经检验$27^3=19683$，计算正确。
根据立方根的性质，负数的立方根为负数，因此$\sqrt[3]{-19683}=-27$，即$2x+1=-27$。
解一元一次方程：$2x=-27-1=-28$，解得$x=-14$。
【答案】
$x=-14$
【知识点】
立方根的运算，解一元一次方程，有理数的乘方
【点评】
本题为材料阅读类题目，要求学生先准确理解题干给出的正整数立方根求解方法，再结合立方根的符号性质求解方程，解题时要注意负数立方根的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要对给定方程进行变形，将含未知数的立方项单独移到等号一侧，求出$(2x+1)^3$的取值。随后参考题干给出的求正整数立方根的方法，先计算$(2x+1)^3$的绝对值的立方根，再结合负数的立方根为负数的性质，得到$2x+1$的取值，最后解一元一次方程即可求出$x$的值。
【解析】
对方程$3(2x +1)^3 +59 049=0$变形：
移项得：$3(2x +1)^3 = -59049$
两边同时除以3得：$(2x+1)^3 = -19683$
接下来求$19683$的立方根：
因为$10^3=1000$，$100^3=1000000$，满足$10^3＜19683＜100^3$，所以$\sqrt[3]{19683}$是两位整数。
整数19683的末位数字是3，0至9的立方中只有$7^3=343$的末位数字是3，因此$\sqrt[3]{19683}$的末位数字是7。
划去19683的后三位683得到19，又因为$2^3=8$，$3^3=27$，即$2＜\sqrt[3]{19}＜3$，所以$\sqrt[3]{19683}$的十位数字是2，可得$\sqrt[3]{19683}=27$，经检验$27^3=19683$，计算正确。
根据立方根的性质，负数的立方根为负数，因此$\sqrt[3]{-19683}=-27$，即$2x+1=-27$。
解一元一次方程：$2x=-27-1=-28$，解得$x=-14$。
【答案】
$x=-14$
【知识点】
立方根的运算，解一元一次方程，有理数的乘方
【点评】
本题为材料阅读类题目，要求学生先准确理解题干给出的正整数立方根求解方法，再结合立方根的符号性质求解方程，解题时要注意负数立方根的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
