登录
9.「2026河北唐山月考，★☆」关于$x$的方程$\frac{2x+a}{x-1}=1$，下列说法正确的是（
A.方程的解为$x=-1-a$
B.方程的解不能为0
C.当$a＞-1$时，方程的解为负数
D.当$a＜-1$时，方程的解为正数
C
）A.方程的解为$x=-1-a$
B.方程的解不能为0
C.当$a＞-1$时，方程的解为负数
D.当$a＜-1$时，方程的解为正数
答案
9.C $\because \frac{2x+a}{x-1}=1$,$\therefore$当$x≠1$,即$a≠-2$时,$x=-1-a$,
A.当$a=-2$时,方程无解,故 A 错误;
B.当$a=-1$时,$x=0$,$\therefore$方程的解可以为0,故 B 错误;
C.当$a＞-1$时,$x=-1-a＜0$,且满足$a≠-2$,故 C 正确;
D.当$a＜-1$且$a≠-2$时,方程的解为正数,故 D 错误.
故选 C.
A.当$a=-2$时,方程无解,故 A 错误;
B.当$a=-1$时,$x=0$,$\therefore$方程的解可以为0,故 B 错误;
C.当$a＞-1$时,$x=-1-a＜0$,且满足$a≠-2$,故 C 正确;
D.当$a＜-1$且$a≠-2$时,方程的解为正数,故 D 错误.
故选 C.
10.「2026湖南岳阳岳阳楼月考，★☆」如图所示的是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a,b后，按照程序图运行，会输出一个结果。当a=5，b=x时，输出的结果为2，则x的值为
$\frac{5}{2}$或10
。答案
10.答案 $\frac{5}{2}$或10
解析 分两种情况:①当$x＜5$时,根据题意得$\frac{5}{5-x}=2$,解得$x=\frac{5}{2}$,经检验,$x=\frac{5}{2}$是分式方程的解;②当$x＞5$时,根据题意得$\frac{x}{x-5}=2$,解得$x=10$,经检验,$x=10$是分式方程的解.综上,$x$的值为$\frac{5}{2}$或10.
解析 分两种情况:①当$x＜5$时,根据题意得$\frac{5}{5-x}=2$,解得$x=\frac{5}{2}$,经检验,$x=\frac{5}{2}$是分式方程的解;②当$x＞5$时,根据题意得$\frac{x}{x-5}=2$,解得$x=10$,经检验,$x=10$是分式方程的解.综上,$x$的值为$\frac{5}{2}$或10.
11.「2026江苏连云港月考，★☆」已知方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解是$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$，
方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$，
方程$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解是$x_1=4,x_2=\frac{1}{4}$，
……
观察上述方程及方程的解，回答下列问题：
(1)关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$的解是什么？并用方程解的概念验证你的猜想是否正确。
(2)根据结论求出关于$x$的方程$x+\frac{1}{x-3}=b+\frac{1}{b-3}$的解。
方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$，
方程$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解是$x_1=4,x_2=\frac{1}{4}$，
……
观察上述方程及方程的解，回答下列问题：
(1)关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$的解是什么？并用方程解的概念验证你的猜想是否正确。
(2)根据结论求出关于$x$的方程$x+\frac{1}{x-3}=b+\frac{1}{b-3}$的解。
答案
11.解析 (1)根据题意知$x_1=a$,$x_2=\frac{1}{a}$,
当$x=a$时,左边$=a+\frac{1}{a}=$右边,$\therefore x=a$是分式方程的解;当$x=\frac{1}{a}$时,左边$=\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{1}{a}}=\frac{1}{a}+a=$右边,
$\therefore x=\frac{1}{a}$是分式方程的解.
综上所述,$x_1=a$,$x_2=\frac{1}{a}$是方程的解.
(2)$\because x+\frac{1}{x-3}=b+\frac{1}{b-3}$,
$\therefore x-3+\frac{1}{x-3}=b-3+\frac{1}{b-3}$,
$\therefore x-3=b-3$或$x-3=\frac{1}{b-3}$,
解得$x=b$或$x=\frac{3b-8}{b-3}$.
当$x=a$时,左边$=a+\frac{1}{a}=$右边,$\therefore x=a$是分式方程的解;当$x=\frac{1}{a}$时,左边$=\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{1}{a}}=\frac{1}{a}+a=$右边,
$\therefore x=\frac{1}{a}$是分式方程的解.
综上所述,$x_1=a$,$x_2=\frac{1}{a}$是方程的解.
(2)$\because x+\frac{1}{x-3}=b+\frac{1}{b-3}$,
$\therefore x-3+\frac{1}{x-3}=b-3+\frac{1}{b-3}$,
$\therefore x-3=b-3$或$x-3=\frac{1}{b-3}$,
解得$x=b$或$x=\frac{3b-8}{b-3}$.
12. 核心素养 运算能力 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+2}{3}＞\dfrac{x}{2}+1,\\4x+a＜x-1\end{cases}$的解集为$x＜-2$，且关于$y$的分式方程$\dfrac{a+2}{y-1}+\dfrac{y+2}{1-y}=2$的解为正数，则所有满足条件的整数$a$的值的和为 ______ 。
答案
12.答案 13
解析 解不等式组$\begin{cases}\frac{x+2}{3}＞\frac{x}{2}+1,\\4x+a＜x-1,\end{cases}$得$\begin{cases}x＜-2,\\x＜-\frac{a+1}{3},\end{cases}$
$\because$原不等式组的解集为$x＜-2$,
$\therefore -\frac{a+1}{3}≥-2$,$\therefore a≤5$,
解分式方程$\frac{a+2}{y-1}+\frac{y+2}{1-y}=2$,得$y=\frac{a+2}{3}$,
$\because y＞0$且$y-1≠0$,
$\therefore \frac{a+2}{3}＞0$且$\frac{a+2}{3}≠1$,
$\therefore a＞-2$且$a≠1$,$\therefore -2＜a≤5$,且$a≠1$,
$\therefore$符合条件的整数$a$有$-1,0,2,3,4,5$,
$\therefore -1+0+2+3+4+5=13$.
解析 解不等式组$\begin{cases}\frac{x+2}{3}＞\frac{x}{2}+1,\\4x+a＜x-1,\end{cases}$得$\begin{cases}x＜-2,\\x＜-\frac{a+1}{3},\end{cases}$
$\because$原不等式组的解集为$x＜-2$,
$\therefore -\frac{a+1}{3}≥-2$,$\therefore a≤5$,
解分式方程$\frac{a+2}{y-1}+\frac{y+2}{1-y}=2$,得$y=\frac{a+2}{3}$,
$\because y＞0$且$y-1≠0$,
$\therefore \frac{a+2}{3}＞0$且$\frac{a+2}{3}≠1$,
$\therefore a＞-2$且$a≠1$,$\therefore -2＜a≤5$,且$a≠1$,
$\therefore$符合条件的整数$a$有$-1,0,2,3,4,5$,
$\therefore -1+0+2+3+4+5=13$.
13. 核心素养 运算能力 对$x,y$定义一种新运算$T$，规定$T(x,y)=\dfrac{ax^2 + by^2}{x + y}$（其中$a,b$是非零常数，且$x+y≠0$）。
如：$T(3,1)=\dfrac{a×3^2 + b×1^2}{3+1}$，$T(m,-2)=\dfrac{am^2 +4b}{m-2}$。
(1)填空：$T(4,-1)=$
(2)若$T(-2,0)= -2$，$T(5,-1)=6$。
①求$a$与$b$的值。
②若$T(3m-10,m)=T(m,3m-10)$，求$m$的值。
如：$T(3,1)=\dfrac{a×3^2 + b×1^2}{3+1}$，$T(m,-2)=\dfrac{am^2 +4b}{m-2}$。
(1)填空：$T(4,-1)=$
$\frac{16a+b}{3}$
（用含$a,b$的代数式表示）。(2)若$T(-2,0)= -2$，$T(5,-1)=6$。
①求$a$与$b$的值。
②若$T(3m-10,m)=T(m,3m-10)$，求$m$的值。
答案
13.解析 (1)$T(4,-1)=\frac{a×4^2 + b×(-1)^2}{4+(-1)}=\frac{16a+b}{3}$.
(2)①根据题意,得$\begin{cases}\frac{4a}{-2}=-2,\\\frac{25a+b}{4}=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-1.\end{cases}$
②$\because a=1$,$b=-1$,$\therefore T(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x+y}=x-y$.
由$T(3m-10,m)=T(m,3m-10)$,得$(3m-10)-m=m-(3m-10)$,解得$m=5$,
检验:当$m=5$时,$3m-10+m=4m-10=10≠0$,
$\therefore m=5$.
(2)①根据题意,得$\begin{cases}\frac{4a}{-2}=-2,\\\frac{25a+b}{4}=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-1.\end{cases}$
②$\because a=1$,$b=-1$,$\therefore T(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x+y}=x-y$.
由$T(3m-10,m)=T(m,3m-10)$,得$(3m-10)-m=m-(3m-10)$,解得$m=5$,
检验:当$m=5$时,$3m-10+m=4m-10=10≠0$,
$\therefore m=5$.
