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8.「2026辽宁沈阳沈河期末，★☆」有一趟在北京与沈阳之间往返的动车，其沿途有多个火车停靠站(包括北京站、沈阳站)，针对此动车有72种不同行程的火车票，每张火车票都标有始发站和终点站，则一共有
9
个火车停靠站.答案
9
解析 设共有x个火车停靠站,
∵每张火车票都标有始发站和终点站,且始发站与终点站不同,
∴始发站有x种可能,终点站有$(x-1)$种可能,
∴$x(x-1)=72$,解得$x_1=9,x_2=-8$(舍去).
∴共有9个火车停靠站.
解析 设共有x个火车停靠站,
∵每张火车票都标有始发站和终点站,且始发站与终点站不同,
∴始发站有x种可能,终点站有$(x-1)$种可能,
∴$x(x-1)=72$,解得$x_1=9,x_2=-8$(舍去).
∴共有9个火车停靠站.
解析
【分析】首先明确火车票具有始发站和终点站的区分，从A站到B站与B站到A站是两种不同的车票，属于排列问题而非组合问题。设共有x个火车停靠站，每个停靠站作为始发站时，终点站有(x-1)种选择，因此总车票数为x(x-1)种，结合题目给出的72种车票，可列出一元二次方程求解，再舍去不符合实际意义的负数解即可得到答案。
【解析】设共有x个火车停靠站，因为每张火车票有始发站和终点站，且始发站与终点站不同，所以始发站有x种选择，终点站有(x-1)种选择，根据总车票数为72种，可列方程：
x(x - 1) = 72
整理得：x² - x - 72 = 0
因式分解得：(x - 9)(x + 8) = 0
解得x₁ = 9，x₂ = -8（停靠站数量不能为负数，舍去）
因此共有9个火车停靠站。
【答案】9
【知识点】一元二次方程的应用、排列问题
【点评】本题是一元二次方程在实际生活中的基础应用，核心是理解火车票的方向性（往返车票不同），避免误按组合计算总票数，整体难度适中，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】0.6
【解析】设共有x个火车停靠站，因为每张火车票有始发站和终点站，且始发站与终点站不同，所以始发站有x种选择，终点站有(x-1)种选择，根据总车票数为72种，可列方程：
x(x - 1) = 72
整理得：x² - x - 72 = 0
因式分解得：(x - 9)(x + 8) = 0
解得x₁ = 9，x₂ = -8（停靠站数量不能为负数，舍去）
因此共有9个火车停靠站。
【答案】9
【知识点】一元二次方程的应用、排列问题
【点评】本题是一元二次方程在实际生活中的基础应用，核心是理解火车票的方向性（往返车票不同），避免误按组合计算总票数，整体难度适中，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】0.6
9.聚焦中考
跨学科主题学习「2026广东潮州潮安期中，★☆」《念奴娇·赤壁怀古》中，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝.欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世时的年龄为
跨学科主题学习「2026广东潮州潮安期中，★☆」《念奴娇·赤壁怀古》中，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝.欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.”则这位风流人物去世时的年龄为
36
岁.答案
36
解析 设这位风流人物去世时的年龄的十位数字为x,则个位数字为$x+3$,根据题意得$10x+(x+3)=(x+3)^2$,整理得$x^2-5x+6=0$,解得$x_1=2,x_2=3$,
∵“而立之年”指的是30岁,$\therefore x≥3$,
∴这位风流人物去世时的年龄为36岁.
解析 设这位风流人物去世时的年龄的十位数字为x,则个位数字为$x+3$,根据题意得$10x+(x+3)=(x+3)^2$,整理得$x^2-5x+6=0$,解得$x_1=2,x_2=3$,
∵“而立之年”指的是30岁,$\therefore x≥3$,
∴这位风流人物去世时的年龄为36岁.
解析
【分析】
本题为跨学科的数学应用题，需结合语文常识与一元二次方程的知识解题：首先根据“十位恰小个位三”设出年龄的十位数字，进而表示出个位数字与年龄；再依据“个位平方与寿符”的条件列出方程，解方程后结合“而立之年（30岁）”的实际意义筛选出符合条件的解，即可得到去世年龄。
【解析】
设这位风流人物去世时年龄的十位数字为$x$，则个位数字为$(x+3)$，年龄可表示为$10x+(x+3)$。
根据“个位平方与寿符”的条件，列方程：
$10x + (x+3) = (x+3)^2$
整理方程：
$x^2 -5x +6 =0$
因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$。
结合“而立之年指30岁”，年龄需≥30岁：
当$x=2$时，年龄为$10×2 +5=25$岁，不符合；
当$x=3$时，年龄为$10×3 +6=36$岁，符合条件。
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程的应用、数字问题
【点评】
本题融合语文常识与数学知识，考查方程建模能力及解的实际意义筛选，需注意结合题目隐含的年龄常识判断解的合理性。
【难度系数】
0.5
本题为跨学科的数学应用题，需结合语文常识与一元二次方程的知识解题：首先根据“十位恰小个位三”设出年龄的十位数字，进而表示出个位数字与年龄；再依据“个位平方与寿符”的条件列出方程，解方程后结合“而立之年（30岁）”的实际意义筛选出符合条件的解，即可得到去世年龄。
【解析】
设这位风流人物去世时年龄的十位数字为$x$，则个位数字为$(x+3)$，年龄可表示为$10x+(x+3)$。
根据“个位平方与寿符”的条件，列方程：
$10x + (x+3) = (x+3)^2$
整理方程：
$x^2 -5x +6 =0$
因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$。
结合“而立之年指30岁”，年龄需≥30岁：
当$x=2$时，年龄为$10×2 +5=25$岁，不符合；
当$x=3$时，年龄为$10×3 +6=36$岁，符合条件。
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程的应用、数字问题
【点评】
本题融合语文常识与数学知识，考查方程建模能力及解的实际意义筛选，需注意结合题目隐含的年龄常识判断解的合理性。
【难度系数】
0.5
10.「2026河南安阳内黄月考，★☆」某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场)，如图所示的是小米和小诚对比赛总场数的统计.
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明.
(2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛.
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明.
(2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛.
答案
(1)小诚的说法有道理.理由如下：
设有x人报名参赛,若比赛总场数为32,
则$\frac{x(x-1)}{2}=32$,解得$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$.
∵$x_1$与$x_2$都不是整数,
∴方程的解不符合实际.
故小诚的说法有道理.
(2)设原来有y人参加比赛,则$\frac{(y-1)(y-2)}{2}+4=32$,
解得$y_1=9,y_2=-6$(舍去),
∴原来有9人参加比赛.
设有x人报名参赛,若比赛总场数为32,
则$\frac{x(x-1)}{2}=32$,解得$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$.
∵$x_1$与$x_2$都不是整数,
∴方程的解不符合实际.
故小诚的说法有道理.
(2)设原来有y人参加比赛,则$\frac{(y-1)(y-2)}{2}+4=32$,
解得$y_1=9,y_2=-6$(舍去),
∴原来有9人参加比赛.
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的总场数公式：若有$n$人参赛，总场数为$\frac{n(n-1)}{2}$（每两人之间仅赛1场，属于组合问题）。第(1)问假设总场数为32，代入公式求解，若解出的人数不是正整数，说明总场数不可能为32，小诚的说法成立；第(2)问中，中途退赛的人参与4场比赛，说明他与4名选手各赛1场，剩余选手按单循环比赛，据此列方程求解，需舍去不符合实际的负数解。
【解析】
(1) 小诚的说法有道理，理由如下：
设参赛人数为$x$，根据单循环赛制总场数公式，若总场数为32，则：
$\frac{x(x-1)}{2}=32$
整理得：$x^2 - x - 64 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{1 + 256}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{257}}{2}$
由于$\sqrt{257}$是无理数，$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2}$和$x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$均不是正整数，不符合实际参赛人数的要求，因此总场数不可能是32，小诚的说法有道理。
(2) 设原来有$y$人参加比赛，中途退赛的人参与了4场比赛，说明他与4名选手各赛1场，剩余$(y-1)$人之间按单循环赛制比赛，总场数为32，据此列方程：
$\frac{(y-1)(y-2)}{2} + 4 = 32$
整理得：$(y-1)(y-2)=56$
展开并整理为一元二次方程：$y^2 - 3y - 54 = 0$
因式分解得：$(y-9)(y+6)=0$
解得$y_1=9$，$y_2=-6$（人数不能为负数，舍去），因此原来有9人参加比赛。
【答案】
(1) 小诚的说法有道理；(2) 原来有9人参加比赛。
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环赛制问题
【点评】
本题结合实际比赛赛制考查一元二次方程的应用，核心是理解单循环赛制总场数的计算逻辑，以及中途退赛时总场数的构成，解题时需注意解的实际意义（人数为正整数），避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.5
首先明确单循环赛制的总场数公式：若有$n$人参赛，总场数为$\frac{n(n-1)}{2}$（每两人之间仅赛1场，属于组合问题）。第(1)问假设总场数为32，代入公式求解，若解出的人数不是正整数，说明总场数不可能为32，小诚的说法成立；第(2)问中，中途退赛的人参与4场比赛，说明他与4名选手各赛1场，剩余选手按单循环比赛，据此列方程求解，需舍去不符合实际的负数解。
【解析】
(1) 小诚的说法有道理，理由如下：
设参赛人数为$x$，根据单循环赛制总场数公式，若总场数为32，则：
$\frac{x(x-1)}{2}=32$
整理得：$x^2 - x - 64 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{1 + 256}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{257}}{2}$
由于$\sqrt{257}$是无理数，$x_1=\frac{1+\sqrt{257}}{2}$和$x_2=\frac{1-\sqrt{257}}{2}$均不是正整数，不符合实际参赛人数的要求，因此总场数不可能是32，小诚的说法有道理。
(2) 设原来有$y$人参加比赛，中途退赛的人参与了4场比赛，说明他与4名选手各赛1场，剩余$(y-1)$人之间按单循环赛制比赛，总场数为32，据此列方程：
$\frac{(y-1)(y-2)}{2} + 4 = 32$
整理得：$(y-1)(y-2)=56$
展开并整理为一元二次方程：$y^2 - 3y - 54 = 0$
因式分解得：$(y-9)(y+6)=0$
解得$y_1=9$，$y_2=-6$（人数不能为负数，舍去），因此原来有9人参加比赛。
【答案】
(1) 小诚的说法有道理；(2) 原来有9人参加比赛。
【知识点】
一元二次方程的应用，单循环赛制问题
【点评】
本题结合实际比赛赛制考查一元二次方程的应用，核心是理解单循环赛制总场数的计算逻辑，以及中途退赛时总场数的构成，解题时需注意解的实际意义（人数为正整数），避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.5
11. 核心素养应用意识【观察思考】
…
烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图所示的是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.
第1种有4个氢原子,1个碳原子(如图1);
第2种有6个氢原子,2个碳原子(如图2);
第3种有8个氢原子,3个碳原子(如图3);
第4种有10个氢原子,4个碳原子(如图4);
……
(1)直接写出第5种化合物的分子结构模型图有
【规律发现】
请用含n的式子填空:
(2)第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为
(3)第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为
【规律应用】
(4)求正整数n,使得连续的正整数之和$1+2+3+\dots +n$等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍.
…烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图所示的是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.
第1种有4个氢原子,1个碳原子(如图1);
第2种有6个氢原子,2个碳原子(如图2);
第3种有8个氢原子,3个碳原子(如图3);
第4种有10个氢原子,4个碳原子(如图4);
……
(1)直接写出第5种化合物的分子结构模型图有
12
个氢原子,5
个碳原子.【规律发现】
请用含n的式子填空:
(2)第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为
n
.(3)第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为
2n+2
.【规律应用】
(4)求正整数n,使得连续的正整数之和$1+2+3+\dots +n$等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍.
答案
(1)12;5.
(2)n.
(3)$2n+2$.
(4)由题意得$1+2+3+\dots +n=3(2n+2)$,
∴$\frac{n(1+n)}{2}=6n+6$,整理得$n^2-11n-12=0$,
解得$n_1=12,n_2=-1$(舍去),
∴n的值为12.
(2)n.
(3)$2n+2$.
(4)由题意得$1+2+3+\dots +n=3(2n+2)$,
∴$\frac{n(1+n)}{2}=6n+6$,整理得$n^2-11n-12=0$,
解得$n_1=12,n_2=-1$(舍去),
∴n的值为12.
解析
【分析】
首先观察前4种化合物的碳原子和氢原子数量：第1种有1个碳原子、4个氢原子，第2种有2个碳原子、6个氢原子，第3种有3个碳原子、8个氢原子，第4种有4个碳原子、10个氢原子。先分析碳原子的规律，发现第n种的碳原子数与序号n相等；再分析氢原子的规律，氢原子数依次为4、6、8、10，是公差为2的等差数列，可推导出第n种的氢原子数为2n+2。第(1)问直接根据规律写出第5种的碳原子和氢原子数；第(2)(3)问总结含n的表达式；第(4)问根据题意列出方程，利用等差数列求和公式求解，舍去不符合题意的负根即可。
【解析】
(1) 观察前4种化合物的规律：碳原子数等于对应序号，氢原子数为2×序号+2。因此第5种化合物的碳原子数为5，氢原子数为2×5+2=12。
(2) 由上述规律，第n种化合物的碳原子个数为n。
(3) 同理，第n种化合物的氢原子个数为2n+2。
(4) 根据题意，等差数列1+2+…+n的和等于第n种氢原子数的3倍，列方程：
$\frac{n(n+1)}{2} = 3(2n+2)$
整理方程：
$\frac{n(n+1)}{2} = 6n + 6$
两边同乘2得：$n(n+1) = 12n + 12$
展开并移项：$n^2 + n -12n -12 = 0$，即$n^2 -11n -12 = 0$
因式分解：$(n-12)(n+1)=0$
解得$n_1=12$，$n_2=-1$（n为正整数，舍去），故n=12。
【答案】
(1)12；5
(2)n
(3)$2n+2$
(4)12
【知识点】
规律探索、等差数列求和、一元二次方程
【点评】
本题结合烷烃分子结构模型考查规律探索能力，需准确分析碳原子和氢原子数量的变化规律，再结合等差数列求和与一元二次方程解决问题，是基础的规律应用类题目。
【难度系数】
0.4
首先观察前4种化合物的碳原子和氢原子数量：第1种有1个碳原子、4个氢原子，第2种有2个碳原子、6个氢原子，第3种有3个碳原子、8个氢原子，第4种有4个碳原子、10个氢原子。先分析碳原子的规律，发现第n种的碳原子数与序号n相等；再分析氢原子的规律，氢原子数依次为4、6、8、10，是公差为2的等差数列，可推导出第n种的氢原子数为2n+2。第(1)问直接根据规律写出第5种的碳原子和氢原子数；第(2)(3)问总结含n的表达式；第(4)问根据题意列出方程，利用等差数列求和公式求解，舍去不符合题意的负根即可。
【解析】
(1) 观察前4种化合物的规律：碳原子数等于对应序号，氢原子数为2×序号+2。因此第5种化合物的碳原子数为5，氢原子数为2×5+2=12。
(2) 由上述规律，第n种化合物的碳原子个数为n。
(3) 同理，第n种化合物的氢原子个数为2n+2。
(4) 根据题意，等差数列1+2+…+n的和等于第n种氢原子数的3倍，列方程：
$\frac{n(n+1)}{2} = 3(2n+2)$
整理方程：
$\frac{n(n+1)}{2} = 6n + 6$
两边同乘2得：$n(n+1) = 12n + 12$
展开并移项：$n^2 + n -12n -12 = 0$，即$n^2 -11n -12 = 0$
因式分解：$(n-12)(n+1)=0$
解得$n_1=12$，$n_2=-1$（n为正整数，舍去），故n=12。
【答案】
(1)12；5
(2)n
(3)$2n+2$
(4)12
【知识点】
规律探索、等差数列求和、一元二次方程
【点评】
本题结合烷烃分子结构模型考查规律探索能力，需准确分析碳原子和氢原子数量的变化规律，再结合等差数列求和与一元二次方程解决问题，是基础的规律应用类题目。
【难度系数】
0.4
