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1.「2026湖南怀化期中」假设某次宴会中，每一位参加宴会的人跟其他参会人员均有相同的握手礼节，在宴会结束时，所有人总共握手28次，则参加宴会的人数为（
A.4
B.8
C.14
D.28
B
）A.4
B.8
C.14
D.28
答案
设这次参加宴会的人数为x,根据题意得$\frac{1}{2}x(x-1)=28$,解得$x_1=8,x_2=-7$(舍去).故选B.
解析
【分析】
本题属于单循环类实际应用题，解题思路如下：第一步，明确握手规则：每两人之间仅握手1次；第二步，若设参会人数为x，每个人需和除自己外的(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)会将每一次握手重复计算2次，因此总握手次数应为总重复计算次数的一半；第三步，结合总握手次数为28列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
设这次参加宴会的人数为x。
由于每两人之间仅握手1次，总握手次数的等量关系为：$\frac{1}{2}× 人数×(人数-1)=总握手次数$，代入数据得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理得$x^2 - x - 56 = 0$，因式分解得$(x-8)(x+7)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-7$。
因为人数不能为负数，故舍去$x_2=-7$，即参加宴会的人数为8。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环问题
【点评】
本题是单循环类问题的典型考法，解题的核心是理清重复计数的逻辑，避免直接按x(x-1)计算导致错误，同时要注意方程的解需符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环类实际应用题，解题思路如下：第一步，明确握手规则：每两人之间仅握手1次；第二步，若设参会人数为x，每个人需和除自己外的(x-1)人握手，若直接计算x(x-1)会将每一次握手重复计算2次，因此总握手次数应为总重复计算次数的一半；第三步，结合总握手次数为28列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
设这次参加宴会的人数为x。
由于每两人之间仅握手1次，总握手次数的等量关系为：$\frac{1}{2}× 人数×(人数-1)=总握手次数$，代入数据得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理得$x^2 - x - 56 = 0$，因式分解得$(x-8)(x+7)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-7$。
因为人数不能为负数，故舍去$x_2=-7$，即参加宴会的人数为8。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 单循环问题
【点评】
本题是单循环类问题的典型考法，解题的核心是理清重复计数的逻辑，避免直接按x(x-1)计算导致错误，同时要注意方程的解需符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
2.「2026天津期中」某班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠一张贺卡，共互赠贺卡30张，则该合唱小组的人数为（
A.5
B.6
C.29
D.30
B
）A.5
B.6
C.29
D.30
答案
设该合唱小组的人数为x,由题意得$x(x-1)=30$,解得$x=6$或$x=-5$(舍去).故选B.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程实际应用中的双循环问题，解题思路如下：首先明确互赠贺卡的规则：每两位同学之间互赠1张，即每名同学都要给除自己外的其他所有同学各送1张贺卡，属于双向计数，不需要除以2。先设小组人数为x，先表示出每人送出的贺卡数量，再根据总贺卡数建立方程求解，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可。
【解析】
设该合唱小组的人数为$ x $。
每名同学需要给除自己之外的$ (x-1) $名同学各赠送1张贺卡，因此总贺卡数为$ x(x-1) $张。
根据题意列方程得：
$ x(x-1)=30 $
整理得$ x^2 - x - 30 = 0 $
因式分解得$ (x-6)(x+5)=0 $
解得$ x_1=6 $，$ x_2=-5 $
由于人数不能为负数，因此舍去$ x=-5 $，即小组人数为6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，双循环问题
【点评】
本题是方程实际应用的常见基础题型，解题的核心是准确区分单循环和双循环的数量关系：互赠贺卡、互发短信这类“双向”行为属于双循环，总数量为$ x(x-1) $；握手、单循环赛交手这类“单向计数”的行为属于单循环，总数量为$ \frac{1}{2}x(x-1) $，同时要注意对求解出的方程根进行实际意义的检验，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程实际应用中的双循环问题，解题思路如下：首先明确互赠贺卡的规则：每两位同学之间互赠1张，即每名同学都要给除自己外的其他所有同学各送1张贺卡，属于双向计数，不需要除以2。先设小组人数为x，先表示出每人送出的贺卡数量，再根据总贺卡数建立方程求解，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可。
【解析】
设该合唱小组的人数为$ x $。
每名同学需要给除自己之外的$ (x-1) $名同学各赠送1张贺卡，因此总贺卡数为$ x(x-1) $张。
根据题意列方程得：
$ x(x-1)=30 $
整理得$ x^2 - x - 30 = 0 $
因式分解得$ (x-6)(x+5)=0 $
解得$ x_1=6 $，$ x_2=-5 $
由于人数不能为负数，因此舍去$ x=-5 $，即小组人数为6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，双循环问题
【点评】
本题是方程实际应用的常见基础题型，解题的核心是准确区分单循环和双循环的数量关系：互赠贺卡、互发短信这类“双向”行为属于双循环，总数量为$ x(x-1) $；握手、单循环赛交手这类“单向计数”的行为属于单循环，总数量为$ \frac{1}{2}x(x-1) $，同时要注意对求解出的方程根进行实际意义的检验，舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.8
3.「2026黑龙江绥化海伦期末」某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有
10
个商家参加了交易会。答案
10
解析 设有x个商家参加了交易会,根据题意可列方程$\frac{1}{2}x(x-1)=45,\therefore x^2-x-90=0$,解得$x_1=10,x_2=-9$(舍去).
解析 设有x个商家参加了交易会,根据题意可列方程$\frac{1}{2}x(x-1)=45,\therefore x^2-x-90=0$,解得$x_1=10,x_2=-9$(舍去).
解析
【分析】
这是一道单循环类的一元二次方程应用题，解题首先要明确计数规则：每两个商家仅签订1份合同，无重复签订情况。我们可以先设商家数量为x，每个商家需要和除自身外的(x-1)个商家签订合同，若直接用x(x-1)计算，每一份合同会被重复计算2次（比如甲和乙签的合同，在甲的计数里算1次，乙的计数里也算1次），因此总合同数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$，再结合已知总合同数为45即可列方程求解，最后注意商家数量为正整数，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设有$x$个商家参加了交易会。
根据题意，每两个商家签一份合同，总合同数为45，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得$(x-10)(x+9)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$。
因为商家数量不能为负数，所以舍去$x_2=-9$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的实际应用；单循环问题；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于实际应用类基础题，核心是理解单循环问题的计数逻辑，避免重复计数，同时要注意结合实际场景对解方程得到的根进行合理性筛选，掌握规律后很容易得分。
【难度系数】
0.75
这是一道单循环类的一元二次方程应用题，解题首先要明确计数规则：每两个商家仅签订1份合同，无重复签订情况。我们可以先设商家数量为x，每个商家需要和除自身外的(x-1)个商家签订合同，若直接用x(x-1)计算，每一份合同会被重复计算2次（比如甲和乙签的合同，在甲的计数里算1次，乙的计数里也算1次），因此总合同数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$，再结合已知总合同数为45即可列方程求解，最后注意商家数量为正整数，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设有$x$个商家参加了交易会。
根据题意，每两个商家签一份合同，总合同数为45，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得$(x-10)(x+9)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-9$。
因为商家数量不能为负数，所以舍去$x_2=-9$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的实际应用；单循环问题；一元二次方程的求解
【点评】
本题属于实际应用类基础题，核心是理解单循环问题的计数逻辑，避免重复计数，同时要注意结合实际场景对解方程得到的根进行合理性筛选，掌握规律后很容易得分。
【难度系数】
0.75
4.「2026江西宜春期中」2025年江西省举行“赣超”足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛.本次比赛第一阶段采取分区对抗,分为南、北两区,南区6个队,北区n个队,每个区进行双循环小组积分赛(每个市派一个队,每两个队间进行两场比赛),各区取前四晋级决赛.
(1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级,求宜春队第一阶段共参与了几场比赛.
(2)如果北区第一阶段比赛总场数为20,求n的值.
(1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级,求宜春队第一阶段共参与了几场比赛.
(2)如果北区第一阶段比赛总场数为20,求n的值.
答案
(1)由题意可知,宜春队在第一阶段要跟南区的其他5个队各踢两场,
∴宜春队在第一阶段共参与比赛$2×5=10$(场).
(2)由题意,得$n(n-1)=20$,整理,得$n^2-n-20=0$,解得$n=5$或$n=-4$(舍去).故n的值为5.
∴宜春队在第一阶段共参与比赛$2×5=10$(场).
(2)由题意,得$n(n-1)=20$,整理,得$n^2-n-20=0$,解得$n=5$或$n=-4$(舍去).故n的值为5.
解析
【分析】
（1）首先明确双循环赛制规则：每两个队伍之间要进行2场比赛。南区共6个队，宜春队只需和除自身外的其余5个队伍对战，每个对手踢2场，代入即可计算宜春队的参赛总场数。
（2）双循环赛制总场数计算规则：若有n个队参赛，每队要和其余(n-1)个队各踢2场，因此总场数为$n(n-1)$。已知北区总场数为20，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到n的值。
【解析】
(1) 南区共有6个队，宜春队需要和除自身外的$6-1=5$个队各进行2场比赛，
因此宜春队参与的比赛总场数为：$2 × 5 = 10$（场）。
(2) 北区有$n$个队，双循环比赛总场数为$n(n-1)$，根据题意列方程：
$n(n-1)=20$
整理得：$n^2 - n - 20 = 0$
解得$n=5$或$n=-4$，
因为球队数量为正整数，故舍去$n=-4$，
所以$n$的值为5。
【答案】
(1) 10场；(2) 5
【知识点】
双循环比赛计数，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合真实体育赛事背景出题，贴近生活，解题核心是准确区分单、双循环赛制的计数规则，同时注意求解一元二次方程后要结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确双循环赛制规则：每两个队伍之间要进行2场比赛。南区共6个队，宜春队只需和除自身外的其余5个队伍对战，每个对手踢2场，代入即可计算宜春队的参赛总场数。
（2）双循环赛制总场数计算规则：若有n个队参赛，每队要和其余(n-1)个队各踢2场，因此总场数为$n(n-1)$。已知北区总场数为20，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到n的值。
【解析】
(1) 南区共有6个队，宜春队需要和除自身外的$6-1=5$个队各进行2场比赛，
因此宜春队参与的比赛总场数为：$2 × 5 = 10$（场）。
(2) 北区有$n$个队，双循环比赛总场数为$n(n-1)$，根据题意列方程：
$n(n-1)=20$
整理得：$n^2 - n - 20 = 0$
解得$n=5$或$n=-4$，
因为球队数量为正整数，故舍去$n=-4$，
所以$n$的值为5。
【答案】
(1) 10场；(2) 5
【知识点】
双循环比赛计数，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合真实体育赛事背景出题，贴近生活，解题核心是准确区分单、双循环赛制的计数规则，同时注意求解一元二次方程后要结合实际情境对根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
5.「2026广东深圳新安中学期中」下面是小明与人工智能的对话，人工智能在深度思考后，给出的正确答案是（
新对话
有没有这样一个数，先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍？
深度思考中……
A.2
B.1或2
C.-1
D.-1或2
B
）新对话
有没有这样一个数，先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍？
深度思考中……
A.2
B.1或2
C.-1
D.-1或2
答案
设这个数为x,根据题意,得$x^2+(-x)+2=2x$,整理得$x^2-3x+2=0$,解得$x_1=1,x_2=2$.故选B.
解析
【分析】
遇到这类求未知数字的题目，我们可以通过设未知数将文字描述转化为数学方程求解。第一步先设这个数为x，再逐句翻译题目中的运算关系：“这个数的平方”是$x^2$，“加上这个数的相反数”就是加$(-x)$，“再加2”即$+2$，“运算结果等于这个数的两倍”就是等于$2x$，据此列出一元二次方程，再求解方程即可得到这个数的可能取值，对应选项选出答案。
【解析】
解：设这个数为$x$，根据题意可列方程：
$x^2 + (-x) + 2 = 2x$
移项整理得一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
用因式分解法解方程，将左边因式分解：
$(x-1)(x-2)=0$
令每个因式等于0，得：
$x-1=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2$
因此这个数是1或2。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心是准确理解题意，将文字表述的运算关系转化为对应的数学方程，再熟练掌握一元二次方程的解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
遇到这类求未知数字的题目，我们可以通过设未知数将文字描述转化为数学方程求解。第一步先设这个数为x，再逐句翻译题目中的运算关系：“这个数的平方”是$x^2$，“加上这个数的相反数”就是加$(-x)$，“再加2”即$+2$，“运算结果等于这个数的两倍”就是等于$2x$，据此列出一元二次方程，再求解方程即可得到这个数的可能取值，对应选项选出答案。
【解析】
解：设这个数为$x$，根据题意可列方程：
$x^2 + (-x) + 2 = 2x$
移项整理得一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 3x + 2 = 0$
用因式分解法解方程，将左边因式分解：
$(x-1)(x-2)=0$
令每个因式等于0，得：
$x-1=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2$
因此这个数是1或2。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心是准确理解题意，将文字表述的运算关系转化为对应的数学方程，再熟练掌握一元二次方程的解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6.「2026江苏盐城盐都期中」在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了
3
行.答案
3
解析 设增加了x行,则增加了x列,根据题意得$(3+x)(4+x)=3×4+30$,解得$x_1=-10$(舍去),$x_2=3$,即增加了3行.
解析 设增加了x行,则增加了x列,根据题意得$(3+x)(4+x)=3×4+30$,解得$x_1=-10$(舍去),$x_2=3$,即增加了3行.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系：调整后方阵的总人数=原方阵总人数+新加入的30人。首先设增加的行数为x，由题意可知增加的列数也为x，那么调整后的方阵行数为(3+x)，列数为(4+x)，调整后总人数可表示为(3+x)(4+x)，原总人数为3×4=12人，据此列方程求解即可，最后要注意解需要符合实际意义，负数解要舍去。
【解析】
解：设增加了x行，则增加的列数也为x，根据题意列方程得：
$\begin{aligned}(3+x)(4+x)&=3×4 + 30\\x^2+7x+12&=42\\x^2+7x-30&=0\\(x+10)(x-3)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=-10$，$x_2=3$。
因为增加的行数不能为负数，故舍去$x=-10$，因此$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题关键是抓住调整前后总人数相等的等量关系建立方程，求解后需结合实际情境检验根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题核心是找准等量关系：调整后方阵的总人数=原方阵总人数+新加入的30人。首先设增加的行数为x，由题意可知增加的列数也为x，那么调整后的方阵行数为(3+x)，列数为(4+x)，调整后总人数可表示为(3+x)(4+x)，原总人数为3×4=12人，据此列方程求解即可，最后要注意解需要符合实际意义，负数解要舍去。
【解析】
解：设增加了x行，则增加的列数也为x，根据题意列方程得：
$\begin{aligned}(3+x)(4+x)&=3×4 + 30\\x^2+7x+12&=42\\x^2+7x-30&=0\\(x+10)(x-3)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=-10$，$x_2=3$。
因为增加的行数不能为负数，故舍去$x=-10$，因此$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题关键是抓住调整前后总人数相等的等量关系建立方程，求解后需结合实际情境检验根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
7. 学科特色 教材变式「2026河北唐山丰南月考」一个小球以$v_0 = 8\ \mathrm{m/s}$的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4 s后停止运动.
(1) 小球的滚动速度平均每秒少
(2) 已知小球滚动12 m用了t秒.(提示:$v_t$表示小球滚动t秒时的瞬时速度,平均速度$\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}$,滚动路程$s = \bar{v} · t$)求这段时间内小球的平均速度$\bar{v}$(用含t的整式表示)和t的值.
(1) 小球的滚动速度平均每秒少
2
m/s.(2) 已知小球滚动12 m用了t秒.(提示:$v_t$表示小球滚动t秒时的瞬时速度,平均速度$\bar{v} = \frac{v_0 + v_t}{2}$,滚动路程$s = \bar{v} · t$)求这段时间内小球的平均速度$\bar{v}$(用含t的整式表示)和t的值.
答案
(1)2.
(2)由题意得$v_t=8-2t,\therefore \bar{v}=\frac{8+8-2t}{2}=(8-t)\ \mathrm{m/s}$.
由题意得$s=\bar{v}·t=(8-t)·t=12$,
整理得$t^2-8t+12=0$,解得$t_1=2,t_2=6$,
$\because t≤4,\therefore t$的值为2.
(2)由题意得$v_t=8-2t,\therefore \bar{v}=\frac{8+8-2t}{2}=(8-t)\ \mathrm{m/s}$.
由题意得$s=\bar{v}·t=(8-t)·t=12$,
整理得$t^2-8t+12=0$,解得$t_1=2,t_2=6$,
$\because t≤4,\therefore t$的值为2.
解析
【分析】
(1) 求小球平均每秒减少的速度，只需用总速度减少量除以总运动时间即可：小球初始速度为8m/s，4s后速度降为0，总减少量为8m/s，除以时间4s就能得到结果。
(2) 首先结合第一问的速度减少量，写出t秒时小球的瞬时速度表达式，再代入题干给出的平均速度公式，即可得到含t的平均速度表达式；再根据“路程=平均速度×时间”列一元二次方程，解方程后注意小球4s就停止运动，需舍去大于4的不符合实际的根，得到t的正确值。
【解析】
(1) 小球4s内速度从8m/s减少到0，平均每秒减少的速度为：$\frac{8-0}{4}=2\ \mathrm{m/s}$。
(2) 由(1)可知小球每秒速度减少2m/s，因此t秒时的瞬时速度$v_t=8-2t$，
代入平均速度公式得：$\bar{v}=\frac{v_0+v_t}{2}=\frac{8+8-2t}{2}=(8-t)\ \mathrm{m/s}$，
根据路程公式$s=\bar{v}·t$，已知$s=12\ \mathrm{m}$，列方程得：
$(8-t)t=12$，
整理得$t^2-8t+12=0$，
因式分解得$(t-2)(t-6)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=6$，
因为小球4s后就停止运动，即$t≤4$，因此舍去$t=6$，得$t=2$。
【答案】
(1) 2；(2) 平均速度$\bar{v}=(8-t)\ \mathrm{m/s}$，t的值为2。
【知识点】
1. 匀变速运动公式应用
2. 一元二次方程的应用
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题结合运动情境考查方程的实际应用，解题时要充分利用题干给出的提示公式，同时注意结合实际运动的限制条件对计算结果进行检验，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求小球平均每秒减少的速度，只需用总速度减少量除以总运动时间即可：小球初始速度为8m/s，4s后速度降为0，总减少量为8m/s，除以时间4s就能得到结果。
(2) 首先结合第一问的速度减少量，写出t秒时小球的瞬时速度表达式，再代入题干给出的平均速度公式，即可得到含t的平均速度表达式；再根据“路程=平均速度×时间”列一元二次方程，解方程后注意小球4s就停止运动，需舍去大于4的不符合实际的根，得到t的正确值。
【解析】
(1) 小球4s内速度从8m/s减少到0，平均每秒减少的速度为：$\frac{8-0}{4}=2\ \mathrm{m/s}$。
(2) 由(1)可知小球每秒速度减少2m/s，因此t秒时的瞬时速度$v_t=8-2t$，
代入平均速度公式得：$\bar{v}=\frac{v_0+v_t}{2}=\frac{8+8-2t}{2}=(8-t)\ \mathrm{m/s}$，
根据路程公式$s=\bar{v}·t$，已知$s=12\ \mathrm{m}$，列方程得：
$(8-t)t=12$，
整理得$t^2-8t+12=0$，
因式分解得$(t-2)(t-6)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=6$，
因为小球4s后就停止运动，即$t≤4$，因此舍去$t=6$，得$t=2$。
【答案】
(1) 2；(2) 平均速度$\bar{v}=(8-t)\ \mathrm{m/s}$，t的值为2。
【知识点】
1. 匀变速运动公式应用
2. 一元二次方程的应用
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题结合运动情境考查方程的实际应用，解题时要充分利用题干给出的提示公式，同时注意结合实际运动的限制条件对计算结果进行检验，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
