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1[2026河北保定质检]“五一”期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，但只有一张电影票，于是爸爸抛出两枚相同的质地均匀的正六面体骰子，将两枚骰子朝上一面的点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去.那么这个游戏（
A.是公平的
B.有利于姐姐
C.有利于哥哥
D.有利于妹妹
A
）A.是公平的
B.有利于姐姐
C.有利于哥哥
D.有利于妹妹
答案
列表如下：
| 和\第二枚\第一枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
由表格可知,共有36种等可能结果,其中朝上一面的点数之和正好能被3整除的有12种,朝上一面的点数之和除以3后余数是1的有12种,朝上一面的点数之和除以3后余数是2的有12种,
∴ 哥哥去看电影的概率是$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$,姐姐去看电影的概率是$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$,妹妹去看电影的概率是$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$,
∴ 这个游戏是公平的. 故选A.
| 和\第二枚\第一枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
由表格可知,共有36种等可能结果,其中朝上一面的点数之和正好能被3整除的有12种,朝上一面的点数之和除以3后余数是1的有12种,朝上一面的点数之和除以3后余数是2的有12种,
∴ 哥哥去看电影的概率是$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$,姐姐去看电影的概率是$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$,妹妹去看电影的概率是$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$,
∴ 这个游戏是公平的. 故选A.
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心是计算姐姐、哥哥、妹妹三人各自获得电影票的概率，若三人概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时先通过列表法列举出抛掷两枚骰子后点数之和的所有等可能结果，再分别统计点数之和除以3余数为0、1、2的结果数，最后根据概率公式计算三人对应的概率，比较概率大小即可得出结论。
【解析】
首先用列表法统计两枚骰子点数之和的所有情况：
| 和\第二枚\第一枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
由表格可知，抛掷两枚骰子共有36种等可能的结果。其中点数之和能被3整除（余0）的结果有12种，除以3余1的结果有12种，除以3余2的结果有12种。
根据概率公式计算：
$P(\mathrm{姐姐去})=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
$P(\mathrm{哥哥去})=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
$P(\mathrm{妹妹去})=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
三人获得电影票的概率相等，因此这个游戏是公平的，故选A。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率；概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的实际应用类题目，解题的关键是通过列表法不重不漏地列举出所有等可能结果，准确计算各方获胜的概率，再通过比较概率判断游戏是否公平，掌握基础的概率求解方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，核心是计算姐姐、哥哥、妹妹三人各自获得电影票的概率，若三人概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时先通过列表法列举出抛掷两枚骰子后点数之和的所有等可能结果，再分别统计点数之和除以3余数为0、1、2的结果数，最后根据概率公式计算三人对应的概率，比较概率大小即可得出结论。
【解析】
首先用列表法统计两枚骰子点数之和的所有情况：
| 和\第二枚\第一枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
由表格可知，抛掷两枚骰子共有36种等可能的结果。其中点数之和能被3整除（余0）的结果有12种，除以3余1的结果有12种，除以3余2的结果有12种。
根据概率公式计算：
$P(\mathrm{姐姐去})=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
$P(\mathrm{哥哥去})=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
$P(\mathrm{妹妹去})=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
三人获得电影票的概率相等，因此这个游戏是公平的，故选A。
【答案】
A
【知识点】
列表法求概率；概率计算；游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的实际应用类题目，解题的关键是通过列表法不重不漏地列举出所有等可能结果，准确计算各方获胜的概率，再通过比较概率判断游戏是否公平，掌握基础的概率求解方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2[2025福建福州质检]甲、乙两人玩抽扑克牌游戏,游戏规则是甲先从牌面数字分别为5,6,7的三张扑克牌中,随机抽取一张,记下牌面数字,放回搅匀后,乙再随机抽取一张,记下牌面数字.若所抽取的两张扑克牌的牌面数字的积为奇数,则甲获胜;若所抽取的两张扑克牌的牌面数字的积为偶数,则乙获胜.这个游戏
不公平
.(填“公平”或“不公平”)答案
不公平 【解析】根据题意，列表如下：
| 积\乙\甲 | 5 | 6 | 7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5 | 25 | 30 | 35 |
| 6 | 30 | 36 | 42 |
| 7 | 35 | 42 | 49 |
由表可知共有9种等可能的结果,其中积为奇数的结果有4种,积为偶数的结果有5种,故甲、乙两人获胜的概率不相等,故游戏不公平.
| 积\乙\甲 | 5 | 6 | 7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5 | 25 | 30 | 35 |
| 6 | 30 | 36 | 42 |
| 7 | 35 | 42 | 49 |
由表可知共有9种等可能的结果,其中积为奇数的结果有4种,积为偶数的结果有5种,故甲、乙两人获胜的概率不相等,故游戏不公平.
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，核心判定标准是甲乙双方获胜的概率是否相等，相等则公平，不等则不公平。本题为有放回的抽牌问题，甲乙抽牌结果相互独立，总共有3×3=9种等可能的结果。我们可以通过列表法枚举所有牌面组合的乘积，分别统计乘积为奇数（甲获胜）、乘积为偶数（乙获胜）的结果数，计算两者概率后对比即可得出结论。
【解析】
由于是有放回抽取，所有抽取组合属于等可能事件，列表统计所有组合的乘积如下：
| 积\乙\甲 | 5 | 6 | 7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5 | 25 | 30 | 35 |
| 6 | 30 | 36 | 42 |
| 7 | 35 | 42 | 49 |
由表可知，总共有9种等可能的结果，其中积为奇数的结果有4种，积为偶数的结果有5种。
因此甲获胜的概率为$\frac{4}{9}$，乙获胜的概率为$\frac{5}{9}$，两者概率不相等，故游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 游戏公平性判定 3. 奇偶数乘积性质
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题核心是明确游戏公平性的判定依据，通过列表法可以直观枚举所有等可能结果，避免计数错误，解题时要注意区分放回抽取和不放回抽取的差异。
【难度系数】
0.8
要判断游戏是否公平，核心判定标准是甲乙双方获胜的概率是否相等，相等则公平，不等则不公平。本题为有放回的抽牌问题，甲乙抽牌结果相互独立，总共有3×3=9种等可能的结果。我们可以通过列表法枚举所有牌面组合的乘积，分别统计乘积为奇数（甲获胜）、乘积为偶数（乙获胜）的结果数，计算两者概率后对比即可得出结论。
【解析】
由于是有放回抽取，所有抽取组合属于等可能事件，列表统计所有组合的乘积如下：
| 积\乙\甲 | 5 | 6 | 7 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 5 | 25 | 30 | 35 |
| 6 | 30 | 36 | 42 |
| 7 | 35 | 42 | 49 |
由表可知，总共有9种等可能的结果，其中积为奇数的结果有4种，积为偶数的结果有5种。
因此甲获胜的概率为$\frac{4}{9}$，乙获胜的概率为$\frac{5}{9}$，两者概率不相等，故游戏不公平。
【答案】
不公平
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 游戏公平性判定 3. 奇偶数乘积性质
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题核心是明确游戏公平性的判定依据，通过列表法可以直观枚举所有等可能结果，避免计数错误，解题时要注意区分放回抽取和不放回抽取的差异。
【难度系数】
0.8
3[2025福建泉州质检]有甲、乙两个不透明袋子,甲袋装有三个小球,分别标有数字1,2,4,乙袋装有两个小球,分别标有数字2,3,这些小球除数字不同外其余都相同.
(1)从甲袋任意摸出一个小球,求恰好摸到数字为1的小球的概率;
(2)现制定游戏规则如下:小明先从甲袋摸出一个小球,小亮再从乙袋摸出一个小球,若从甲袋摸出小球的数字小于从乙袋摸出小球的数字,则小明获胜,否则小亮获胜.这个游戏公平吗?说明你的理由.
(1)从甲袋任意摸出一个小球,求恰好摸到数字为1的小球的概率;
(2)现制定游戏规则如下:小明先从甲袋摸出一个小球,小亮再从乙袋摸出一个小球,若从甲袋摸出小球的数字小于从乙袋摸出小球的数字,则小明获胜,否则小亮获胜.这个游戏公平吗?说明你的理由.
答案
3.【解】(1)从甲袋任意摸出一个小球,所有可能的结果为1,2,4,共3种等可能的结果,恰好摸到数字为1的小球的结果只有1种,所以 P(恰好摸到数字为1的小球)=$\frac{1}{3}$.
(2)这个游戏公平. 理由如下:
画树状图如下：
共有6种等可能的结果,其中从甲袋摸出小球的数字小于从乙袋摸出小球的数字的共有3种结果,所以 P(小明获胜)=$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,则 P(小亮获胜)=$\frac{1}{2}$,
$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,所以这个游戏公平.
解析
【分析】
(1) 第一问属于简单的古典概型计算问题，解题思路为：先确定从甲袋摸球所有等可能的总结果数，再确定恰好摸到数字为1的结果数，代入概率公式“P(事件)=事件发生的结果数÷所有等可能的总结果数”即可求解。
(2) 第二问判断游戏公平性的核心是比较小明、小亮两人获胜的概率是否相等。解题思路为：先用树状图枚举所有等可能的摸球结果，再统计“甲袋摸出数字小于乙袋摸出数字”的结果数，计算小明获胜的概率，进而得到小亮获胜的概率，比较两个概率是否相等就能判断游戏是否公平。
【解析】
(1) 从甲袋任意摸出一个小球，所有等可能的结果为1、2、4，共3种，其中恰好摸到数字为1的小球的结果只有1种，
因此$P(\mathrm{恰好摸到数字为1的小球})=\frac{1}{3}$。
(2) 这个游戏公平，理由如下：
根据题意画树状图：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中甲袋摸出小球的数字小于乙袋摸出小球的数字的结果有3种，分别为(1,2)、(1,3)、(2,3)，
因此$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
则$P(\mathrm{小亮获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
两人获胜的概率相等，因此这个游戏公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 这个游戏公平，理由如下：
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中从甲袋摸出小球的数字小于从乙袋摸出小球的数字的共有3种结果，所以 $P(\mathrm{小明获胜})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，则 $P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以这个游戏公平。
【知识点】
古典概型概率计算，树状图求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率基础应用类常考题，第一问考察基础概率公式的运用，第二问结合游戏规则考察概率的实际应用，解题的关键是掌握用树状图梳理所有等可能结果的方法，理解游戏公平的本质是参与双方获胜的概率相等。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问属于简单的古典概型计算问题，解题思路为：先确定从甲袋摸球所有等可能的总结果数，再确定恰好摸到数字为1的结果数，代入概率公式“P(事件)=事件发生的结果数÷所有等可能的总结果数”即可求解。
(2) 第二问判断游戏公平性的核心是比较小明、小亮两人获胜的概率是否相等。解题思路为：先用树状图枚举所有等可能的摸球结果，再统计“甲袋摸出数字小于乙袋摸出数字”的结果数，计算小明获胜的概率，进而得到小亮获胜的概率，比较两个概率是否相等就能判断游戏是否公平。
【解析】
(1) 从甲袋任意摸出一个小球，所有等可能的结果为1、2、4，共3种，其中恰好摸到数字为1的小球的结果只有1种，
因此$P(\mathrm{恰好摸到数字为1的小球})=\frac{1}{3}$。
(2) 这个游戏公平，理由如下：
根据题意画树状图：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中甲袋摸出小球的数字小于乙袋摸出小球的数字的结果有3种，分别为(1,2)、(1,3)、(2,3)，
因此$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
则$P(\mathrm{小亮获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
两人获胜的概率相等，因此这个游戏公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 这个游戏公平，理由如下：
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中从甲袋摸出小球的数字小于从乙袋摸出小球的数字的共有3种结果，所以 $P(\mathrm{小明获胜})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，则 $P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以这个游戏公平。
【知识点】
古典概型概率计算，树状图求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率基础应用类常考题，第一问考察基础概率公式的运用，第二问结合游戏规则考察概率的实际应用，解题的关键是掌握用树状图梳理所有等可能结果的方法，理解游戏公平的本质是参与双方获胜的概率相等。
【难度系数】
0.8
4[2026山西运城期中]游戏是生活中有趣味的社交活动,是人类终身不可缺少的伴侣,更是家庭欢乐的源泉.小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏,游戏规则如下:两人只可以说出“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”中的任何一个,同时各说出一个后定胜负,其中“木棒”胜“老虎”,“老虎”胜“公鸡”,“公鸡”胜“小虫”,“小虫”胜“木棒”.若出现其他情况,则为平局.例如,小刚父亲说“老虎”,小刚二叔说“公鸡”,则小刚父亲胜;又如,两人同时说“虫子”,则为平局;再如,一人说“公鸡”,一人说“木棒”,则为平局.
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是
(2)如果用A,B,C,D分别表示小刚父亲说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”,用$A_1,B_1,C_1,D_1$分别表示小刚二叔说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”,那么用列表法或画树状图法求某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率.
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗?为什么?
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是
$\frac{1}{4}$
.(2)如果用A,B,C,D分别表示小刚父亲说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”,用$A_1,B_1,C_1,D_1$分别表示小刚二叔说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”,那么用列表法或画树状图法求某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率.
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗?为什么?
答案
4.【解】(1)
∵ 共有“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”4种等可能的情况,
∴ 每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为$\frac{1}{4}$,故答案为$\frac{1}{4}$.
(2)列表如下：
| | $A_1$ | $B_1$ | $C_1$ | $D_1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A_1)$ | $(A,B_1)$ | $(A,C_1)$ | $(A,D_1)$ |
| B | $(B,A_1)$ | $(B,B_1)$ | $(B,C_1)$ | $(B,D_1)$ |
| C | $(C,A_1)$ | $(C,B_1)$ | $(C,C_1)$ | $(C,D_1)$ |
| D | $(D,A_1)$ | $(D,B_1)$ | $(D,C_1)$ | $(D,D_1)$ |
由表格可知,共有16种等可能的结果,其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种,
∴ 某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
(3)公平. 理由:由(2)中表格可知共有16种等可能的结果,其中小刚二叔胜小刚父亲的结果有4种,
∴ 某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$,
∴ 两人获胜的概率相等,
∴ 这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的.
∵ 共有“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”4种等可能的情况,
∴ 每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为$\frac{1}{4}$,故答案为$\frac{1}{4}$.
(2)列表如下：
| | $A_1$ | $B_1$ | $C_1$ | $D_1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A_1)$ | $(A,B_1)$ | $(A,C_1)$ | $(A,D_1)$ |
| B | $(B,A_1)$ | $(B,B_1)$ | $(B,C_1)$ | $(B,D_1)$ |
| C | $(C,A_1)$ | $(C,B_1)$ | $(C,C_1)$ | $(C,D_1)$ |
| D | $(D,A_1)$ | $(D,B_1)$ | $(D,C_1)$ | $(D,D_1)$ |
由表格可知,共有16种等可能的结果,其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种,
∴ 某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
(3)公平. 理由:由(2)中表格可知共有16种等可能的结果,其中小刚二叔胜小刚父亲的结果有4种,
∴ 某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$,
∴ 两人获胜的概率相等,
∴ 这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的.
解析
【分析】
(1) 第一问属于简单等可能事件的概率计算，小刚父亲可选择的词汇共4种，且每种被说出的可能性相等，其中说出“老虎”仅1种情况，直接套用概率公式即可求解。(2) 第二问先通过列表法列举出两人说出词汇的所有等可能结果，再根据题目给出的胜负规则，筛选出小刚父亲获胜的结果数，用获胜结果数除以总结果数即可得到对应概率。(3) 判断游戏公平性的核心是比较双方获胜的概率是否相等，算出小刚二叔获胜的概率后与小刚父亲获胜的概率对比，若相等则游戏公平。
【解析】
(1) 小刚父亲说出词汇共有“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”4种等可能的情况，其中说出“老虎”的情况只有1种，因此每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表如下：
| | $A_1$ | $B_1$ | $C_1$ | $D_1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A_1)$ | $(A,B_1)$ | $(A,C_1)$ | $(A,D_1)$ |
| B | $(B,A_1)$ | $(B,B_1)$ | $(B,C_1)$ | $(B,D_1)$ |
| C | $(C,A_1)$ | $(C,B_1)$ | $(C,C_1)$ | $(C,D_1)$ |
| D | $(D,A_1)$ | $(D,B_1)$ | $(D,C_1)$ | $(D,D_1)$ |
由表格可知，共有16种等可能的结果，根据胜负规则，小刚父亲胜的情况为$(A,B_1)$、$(B,C_1)$、$(C,D_1)$、$(D,A_1)$，共4种，因此某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
(3) 公平。理由：由(2)中表格可知共有16种等可能的结果，其中小刚二叔胜小刚父亲的情况共4种，因此小刚二叔胜的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，两人获胜的概率相等，因此这个游戏对双方是公平的。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{1}{4}$
(3) 公平，因为两人获胜的概率相等。
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题以生活中的小游戏为背景考查概率的实际应用，解题关键是准确列举所有等可能结果，理清胜负规则，掌握游戏公平性的判断依据，能锻炼学生将理论知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问属于简单等可能事件的概率计算，小刚父亲可选择的词汇共4种，且每种被说出的可能性相等，其中说出“老虎”仅1种情况，直接套用概率公式即可求解。(2) 第二问先通过列表法列举出两人说出词汇的所有等可能结果，再根据题目给出的胜负规则，筛选出小刚父亲获胜的结果数，用获胜结果数除以总结果数即可得到对应概率。(3) 判断游戏公平性的核心是比较双方获胜的概率是否相等，算出小刚二叔获胜的概率后与小刚父亲获胜的概率对比，若相等则游戏公平。
【解析】
(1) 小刚父亲说出词汇共有“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”4种等可能的情况，其中说出“老虎”的情况只有1种，因此每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表如下：
| | $A_1$ | $B_1$ | $C_1$ | $D_1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A_1)$ | $(A,B_1)$ | $(A,C_1)$ | $(A,D_1)$ |
| B | $(B,A_1)$ | $(B,B_1)$ | $(B,C_1)$ | $(B,D_1)$ |
| C | $(C,A_1)$ | $(C,B_1)$ | $(C,C_1)$ | $(C,D_1)$ |
| D | $(D,A_1)$ | $(D,B_1)$ | $(D,C_1)$ | $(D,D_1)$ |
由表格可知，共有16种等可能的结果，根据胜负规则，小刚父亲胜的情况为$(A,B_1)$、$(B,C_1)$、$(C,D_1)$、$(D,A_1)$，共4种，因此某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
(3) 公平。理由：由(2)中表格可知共有16种等可能的结果，其中小刚二叔胜小刚父亲的情况共4种，因此小刚二叔胜的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，两人获胜的概率相等，因此这个游戏对双方是公平的。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{1}{4}$
(3) 公平，因为两人获胜的概率相等。
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题以生活中的小游戏为背景考查概率的实际应用，解题关键是准确列举所有等可能结果，理清胜负规则，掌握游戏公平性的判断依据，能锻炼学生将理论知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.75
5[2025河南安阳校级调研]如图,有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上.
(1)从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为先由小明随机摸出一张,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜.这个游戏公平吗?请用列表法(或画树状图法)说明理由.
(1)从四张纸牌中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是
$\frac{3}{4}$
.(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为先由小明随机摸出一张,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形,则小亮获胜,否则小明获胜.这个游戏公平吗?请用列表法(或画树状图法)说明理由.
答案
5. (1)$\frac{3}{4}$
(2)【解】游戏不公平. 理由如下:由题意,列表如下.
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | $(A,B)$ | $(A,C)$ | $(A,D)$ |
| B | $(B,A)$ | | $(B,C)$ | $(B,D)$ |
| C | $(C,A)$ | $(C,B)$ | | $(C,D)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | $(D,C)$ | |
共有12种等可能的结果,摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种,即$(A,C),(C,A)$,
∴ P(摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$,
∴ 小亮获胜的概率为$\frac{1}{6}$,
∴ 小明获胜的概率为$\frac{5}{6}$.
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{5}{6}$,
∴ 游戏不公平.
(2)【解】游戏不公平. 理由如下:由题意,列表如下.
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | $(A,B)$ | $(A,C)$ | $(A,D)$ |
| B | $(B,A)$ | | $(B,C)$ | $(B,D)$ |
| C | $(C,A)$ | $(C,B)$ | | $(C,D)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | $(D,C)$ | |
共有12种等可能的结果,摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种,即$(A,C),(C,A)$,
∴ P(摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$,
∴ 小亮获胜的概率为$\frac{1}{6}$,
∴ 小明获胜的概率为$\frac{5}{6}$.
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{5}{6}$,
∴ 游戏不公平.
解析
【分析】
(1) 第一问先根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形），判断4个图形中中心对称图形的个数，再结合概率公式“概率=所求情况数÷总等可能情况数”计算即可。
(2) 游戏公平性的判断依据是双方获胜的概率是否相等。首先先确定4个图形中“既是轴对称图形又是中心对称图形”的种类，再用列表法列出不放回摸两张牌的所有等可能结果，统计符合小亮获胜条件的结果数，分别计算小亮、小明的获胜概率，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 4个牌面图形中，中心对称图形有圆（A）、矩形（C）、平行四边形（D），共3个，随机摸1张共有4种等可能的结果，因此摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为$\frac{3}{4}$。
(2) 游戏不公平，理由如下：
先判断图形性质：圆（A）既是轴对称图形又是中心对称图形，正五边形（B）是轴对称图形、不是中心对称图形，矩形（C）既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形（D）是中心对称图形、不是轴对称图形，即既是轴对称又是中心对称的图形为A、C共2个。
根据不放回摸牌规则，列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | $(A,B)$ | $(A,C)$ | $(A,D)$ |
| B | $(B,A)$ | | $(B,C)$ | $(B,D)$ |
| C | $(C,A)$ | $(C,B)$ | | $(C,D)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | $(D,C)$ | |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即$(A,C)$、$(C,A)$。
∴ $P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，
$P(\mathrm{小明获胜})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{5}{6}$，二人获胜概率不相等，因此游戏不公平。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 游戏不公平，理由见解析。
【知识点】
中心对称图形识别，轴对称图形识别，概率计算
【点评】
本题结合几何图形的对称性考查概率的实际应用，解题核心是准确掌握常见几何图形的对称性质，再通过列举法求出对应事件的概率，是概率板块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形），判断4个图形中中心对称图形的个数，再结合概率公式“概率=所求情况数÷总等可能情况数”计算即可。
(2) 游戏公平性的判断依据是双方获胜的概率是否相等。首先先确定4个图形中“既是轴对称图形又是中心对称图形”的种类，再用列表法列出不放回摸两张牌的所有等可能结果，统计符合小亮获胜条件的结果数，分别计算小亮、小明的获胜概率，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 4个牌面图形中，中心对称图形有圆（A）、矩形（C）、平行四边形（D），共3个，随机摸1张共有4种等可能的结果，因此摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为$\frac{3}{4}$。
(2) 游戏不公平，理由如下：
先判断图形性质：圆（A）既是轴对称图形又是中心对称图形，正五边形（B）是轴对称图形、不是中心对称图形，矩形（C）既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形（D）是中心对称图形、不是轴对称图形，即既是轴对称又是中心对称的图形为A、C共2个。
根据不放回摸牌规则，列表如下：
| 小明\小亮 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | $(A,B)$ | $(A,C)$ | $(A,D)$ |
| B | $(B,A)$ | | $(B,C)$ | $(B,D)$ |
| C | $(C,A)$ | $(C,B)$ | | $(C,D)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | $(D,C)$ | |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即$(A,C)$、$(C,A)$。
∴ $P(\mathrm{小亮获胜})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，
$P(\mathrm{小明获胜})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，
∵ $\frac{1}{6}≠\frac{5}{6}$，二人获胜概率不相等，因此游戏不公平。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 游戏不公平，理由见解析。
【知识点】
中心对称图形识别，轴对称图形识别，概率计算
【点评】
本题结合几何图形的对称性考查概率的实际应用，解题核心是准确掌握常见几何图形的对称性质，再通过列举法求出对应事件的概率，是概率板块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
