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1. 如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AD上一点.
(1)以AC为边的三角形共有
(2)∠1是△
(3)在△ACE中,∠CAE的对边是
(1)以AC为边的三角形共有
3
个,它们是△ACE,△ACD,△ACB
;(2)∠1是△
BCE
和△CDE
的内角;(3)在△ACE中,∠CAE的对边是
CE
.答案
(1)3；△ACE,△ACD,△ACB
(2)BCE；CDE
(3)CE
(2)BCE；CDE
(3)CE
解析
【分析】
解题时需紧扣三角形的相关基础概念逐一分析：
1. 找以AC为边的三角形：固定边AC，依次寻找能和AC构成三角形的第三个顶点，按顺序查找避免遗漏；
2. 找∠1所属的三角形：观察∠1的两条边在哪些三角形内部，即可确定它是哪些三角形的内角；
3. 找角的对边：明确三角形中一个角的对边是不经过该角顶点的边，对应查找即可。
【解析】
(1) 固定边AC，可搭配的第三个顶点分别为E、D、B，对应的三角形分别为△ACE、△ACD、△ACB，合计3个；
(2) 观察∠1的位置，它在△BCE的内部，同时也在△CDE的内部，因此是这两个三角形的内角；
(3) 在△ACE中，∠CAE的顶点是A，三角形中不经过A点的边为CE，因此∠CAE的对边是CE。
【答案】
(1)3；△ACE,△ACD,△ACB
(2)BCE；CDE
(3)CE
【知识点】
三角形的定义，三角形的内角，三角形对边的定义
【点评】
本题是三角形基础概念考察题，难度较低，解题关键是熟练掌握三角形的相关基础定义，按顺序查找即可避免漏数、错数。
【难度系数】
0.8
解题时需紧扣三角形的相关基础概念逐一分析：
1. 找以AC为边的三角形：固定边AC，依次寻找能和AC构成三角形的第三个顶点，按顺序查找避免遗漏；
2. 找∠1所属的三角形：观察∠1的两条边在哪些三角形内部，即可确定它是哪些三角形的内角；
3. 找角的对边：明确三角形中一个角的对边是不经过该角顶点的边，对应查找即可。
【解析】
(1) 固定边AC，可搭配的第三个顶点分别为E、D、B，对应的三角形分别为△ACE、△ACD、△ACB，合计3个；
(2) 观察∠1的位置，它在△BCE的内部，同时也在△CDE的内部，因此是这两个三角形的内角；
(3) 在△ACE中，∠CAE的顶点是A，三角形中不经过A点的边为CE，因此∠CAE的对边是CE。
【答案】
(1)3；△ACE,△ACD,△ACB
(2)BCE；CDE
(3)CE
【知识点】
三角形的定义，三角形的内角，三角形对边的定义
【点评】
本题是三角形基础概念考察题，难度较低，解题关键是熟练掌握三角形的相关基础定义，按顺序查找即可避免漏数、错数。
【难度系数】
0.8
2.[多选题] 下列命题是真命题的有（
A.若$a = b$，则$ac = bc$
B.若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$
C.两个有理数的积仍为有理数
D.两个无理数的积仍为无理数
AC
）A.若$a = b$，则$ac = bc$
B.若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$
C.两个有理数的积仍为有理数
D.两个无理数的积仍为无理数
答案
AC 【点拨】A. 由等式的性质可得,若$a=b$,则 $ac=bc$,原命题为真命题;B. 由不等式的性质可得,若 $a＞b$,只有当 $c＞0$ 时,$ac＞bc$,原命题为假命题;C. 两个有理数的积仍为有理数,原命题为真命题;D. 两个无理数的积不一定为无理数,比如 $\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$,原命题为假命题. 故选 AC.
解析
【分析】
本题为真命题判断类题目，需逐个验证选项命题的正确性：对于涉及等式、不等式的选项，结合等式、不等式的基本性质判断；对于涉及有理数、无理数运算的选项，可通过运算性质推导或举反例的方式验证，最终筛选出所有正确的命题即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据等式的基本性质，等式两边同时乘任意同一个数，等式仍然成立，因此若$a = b$，则$ac = bc$，该命题是真命题；
B选项：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘正数时不等号方向不变，乘负数时不等号方向改变，乘0时两边相等。因此仅当$c＞0$时，$a＞b$才能推出$ac＞bc$，当$c≤0$时结论不成立，该命题是假命题；
C选项：有理数是整数和分数的统称，两个有理数相乘的结果仍然是整数或分数，即仍为有理数，该命题是真命题；
D选项：两个无理数的积不一定是无理数，举反例：$\sqrt{2}$是无理数，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，2是有理数，因此该命题是假命题。
综上，真命题为AC。
【答案】
AC
【知识点】
等式的性质、不等式的性质、实数的运算
【点评】
本题考查命题真假的判断，解题关键是熟练掌握等式、不等式的基本性质，以及有理数、无理数的运算特性，判断假命题时举反例是非常简便高效的方法。
【难度系数】
0.8
本题为真命题判断类题目，需逐个验证选项命题的正确性：对于涉及等式、不等式的选项，结合等式、不等式的基本性质判断；对于涉及有理数、无理数运算的选项，可通过运算性质推导或举反例的方式验证，最终筛选出所有正确的命题即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据等式的基本性质，等式两边同时乘任意同一个数，等式仍然成立，因此若$a = b$，则$ac = bc$，该命题是真命题；
B选项：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘正数时不等号方向不变，乘负数时不等号方向改变，乘0时两边相等。因此仅当$c＞0$时，$a＞b$才能推出$ac＞bc$，当$c≤0$时结论不成立，该命题是假命题；
C选项：有理数是整数和分数的统称，两个有理数相乘的结果仍然是整数或分数，即仍为有理数，该命题是真命题；
D选项：两个无理数的积不一定是无理数，举反例：$\sqrt{2}$是无理数，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，2是有理数，因此该命题是假命题。
综上，真命题为AC。
【答案】
AC
【知识点】
等式的性质、不等式的性质、实数的运算
【点评】
本题考查命题真假的判断，解题关键是熟练掌握等式、不等式的基本性质，以及有理数、无理数的运算特性，判断假命题时举反例是非常简便高效的方法。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在△ABC中,AD,CE是三角形的高,若AB=5,BC=6,AD=4,则线段CE的长为 (
A.$\dfrac{24}{5}$
B.4
C.5
D.6
A
)A.$\dfrac{24}{5}$
B.4
C.5
D.6
答案
A
解析
【分析】
要计算CE的长度，我们可以利用等积法求解：同一个三角形的面积是固定的，选择不同的底和对应的高计算面积，结果相等。首先明确△ABC的两组底和对应高：以BC为底时，对应的高是AD；以AB为底时，对应的高是CE，根据面积相等建立等式即可求出CE的长度。
【解析】
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
以BC为底计算面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AD$
以AB为底计算面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × CE$
因为同一三角形面积相等，因此$\frac{1}{2}× BC × AD = \frac{1}{2}× AB × CE$，两边同时约去$\frac{1}{2}$可得：$BC × AD = AB × CE$
代入已知数值AB=5，BC=6，AD=4：
$6×4 = 5× CE$
解得$CE=\frac{24}{5}$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，等积法应用
【点评】
本题是三角形面积应用的典型基础题，核心是利用同一三角形面积相等的性质，通过不同的底和对应高建立等量关系求解未知线段，熟练掌握等积法可快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算CE的长度，我们可以利用等积法求解：同一个三角形的面积是固定的，选择不同的底和对应的高计算面积，结果相等。首先明确△ABC的两组底和对应高：以BC为底时，对应的高是AD；以AB为底时，对应的高是CE，根据面积相等建立等式即可求出CE的长度。
【解析】
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
以BC为底计算面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AD$
以AB为底计算面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × CE$
因为同一三角形面积相等，因此$\frac{1}{2}× BC × AD = \frac{1}{2}× AB × CE$，两边同时约去$\frac{1}{2}$可得：$BC × AD = AB × CE$
代入已知数值AB=5，BC=6，AD=4：
$6×4 = 5× CE$
解得$CE=\frac{24}{5}$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，等积法应用
【点评】
本题是三角形面积应用的典型基础题，核心是利用同一三角形面积相等的性质，通过不同的底和对应高建立等量关系求解未知线段，熟练掌握等积法可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$D,E,F$分别是$BC,AD,CE$的中点，$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则$S_{△ BEF}$等于（
A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$1\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$1\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
答案
B
解析
【分析】
题目给出多个三角形边的中点，可利用三角形中线的性质解题：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们从已知面积的△ABC出发，先推导△BCE的面积，再进一步推导△BEF的面积即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵F是CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础常考题，核心考查三角形中线的面积性质，多次运用该性质逐步推导即可得到结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
题目给出多个三角形边的中点，可利用三角形中线的性质解题：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们从已知面积的△ABC出发，先推导△BCE的面积，再进一步推导△BEF的面积即可。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$。
又
∵F是CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，
∴$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础常考题，核心考查三角形中线的面积性质，多次运用该性质逐步推导即可得到结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.7
5. [2026亳州模拟]如图,在$△ ABC$中,AD是它的角平分线,G是AD上的一点,BG,CG分别平分$∠ ABC,∠ ACB,GH\bot BC$,垂足为H.求证:
(1)$∠ BGC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$;
(2)$∠1=∠2$.
(1)$∠ BGC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$;
(2)$∠1=∠2$.
答案
【证明】(1)由三角形内角和定理可知$∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC$.
$\because BG,CG$ 分别平分 $∠ABC,∠ACB,$
$\therefore ∠ABG= ∠GBC=\frac{1}{2}∠ABC, ∠ACG=∠GCB=\frac{1}{2}∠ACB,$
$\therefore ∠GBC+∠GCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB) = \frac{1}{2}(180°-∠BAC) = 90°-\frac{1}{2}∠BAC,$
$\therefore ∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=90°+\frac{1}{2}∠BAC.$
(2) $\because AD$ 平分 $∠BAC, \therefore ∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠BAD+∠ABG=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ABC.$
$\because GH⊥ BC, \therefore ∠GHC=90°, \therefore ∠2=90°-∠GCH=90°-\frac{1}{2}∠ACB=90°-\frac{1}{2}(180°-∠BAC-∠ABC)=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ABC, \therefore ∠1=∠2.$
$\because BG,CG$ 分别平分 $∠ABC,∠ACB,$
$\therefore ∠ABG= ∠GBC=\frac{1}{2}∠ABC, ∠ACG=∠GCB=\frac{1}{2}∠ACB,$
$\therefore ∠GBC+∠GCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB) = \frac{1}{2}(180°-∠BAC) = 90°-\frac{1}{2}∠BAC,$
$\therefore ∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=90°+\frac{1}{2}∠BAC.$
(2) $\because AD$ 平分 $∠BAC, \therefore ∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠BAD+∠ABG=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ABC.$
$\because GH⊥ BC, \therefore ∠GHC=90°, \therefore ∠2=90°-∠GCH=90°-\frac{1}{2}∠ACB=90°-\frac{1}{2}(180°-∠BAC-∠ABC)=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ABC, \therefore ∠1=∠2.$
解析
【分析】
(1) 要推导∠BGC与∠BAC的数量关系，先利用三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB和∠BAC的关系，再结合角平分线的定义求出∠GBC与∠GCB的和，最后代入△BGC的内角和公式即可得出结论。
(2) 证明∠1=∠2可采用“等量代换”的思路：首先利用三角形外角的性质，将∠1用∠BAC和∠ABC表示；再结合直角三角形两锐角互余的性质，将∠2也转化为用∠BAC和∠ABC表示，对比两个表达式即可证明两角相等。
【解析】
(1) 由三角形内角和定理可知$∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC$。
$\because BG,CG$ 分别平分 $∠ABC,∠ACB$，
$\therefore ∠ABG= ∠GBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ACG=∠GCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
$\therefore ∠GBC+∠GCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB) = \frac{1}{2}(180°-∠BAC) = 90°-\frac{1}{2}∠BAC$，
$\therefore ∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=90°+\frac{1}{2}∠BAC$。
(2) $\because AD$ 平分 $∠BAC$，$\therefore ∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$，
$\therefore ∠1=∠BAD+∠ABG=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ABC$。
$\because GH⊥ BC$，$\therefore ∠GHC=90°$，
$\therefore ∠2=90°-∠GCH=90°-\frac{1}{2}∠ACB=90°-\frac{1}{2}(180°-∠BAC-∠ABC)=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ABC$，
$\therefore ∠1=∠2$。
【答案】
(1) $∠BGC=90°+\frac{1}{2}∠BAC$成立；
(2) $∠1=∠2$成立。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度关系证明的常规题型，解题的关键是熟练掌握角的相关性质，通过角度转化将待证角用同一组角表示，进而通过等量代换得到结论，该类解题思路可通用于多数三角形角度推导类题目。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导∠BGC与∠BAC的数量关系，先利用三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB和∠BAC的关系，再结合角平分线的定义求出∠GBC与∠GCB的和，最后代入△BGC的内角和公式即可得出结论。
(2) 证明∠1=∠2可采用“等量代换”的思路：首先利用三角形外角的性质，将∠1用∠BAC和∠ABC表示；再结合直角三角形两锐角互余的性质，将∠2也转化为用∠BAC和∠ABC表示，对比两个表达式即可证明两角相等。
【解析】
(1) 由三角形内角和定理可知$∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC$。
$\because BG,CG$ 分别平分 $∠ABC,∠ACB$，
$\therefore ∠ABG= ∠GBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ACG=∠GCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
$\therefore ∠GBC+∠GCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB) = \frac{1}{2}(180°-∠BAC) = 90°-\frac{1}{2}∠BAC$，
$\therefore ∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=90°+\frac{1}{2}∠BAC$。
(2) $\because AD$ 平分 $∠BAC$，$\therefore ∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$，
$\therefore ∠1=∠BAD+∠ABG=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ABC$。
$\because GH⊥ BC$，$\therefore ∠GHC=90°$，
$\therefore ∠2=90°-∠GCH=90°-\frac{1}{2}∠ACB=90°-\frac{1}{2}(180°-∠BAC-∠ABC)=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ABC$，
$\therefore ∠1=∠2$。
【答案】
(1) $∠BGC=90°+\frac{1}{2}∠BAC$成立；
(2) $∠1=∠2$成立。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质
【点评】
本题是三角形角度关系证明的常规题型，解题的关键是熟练掌握角的相关性质，通过角度转化将待证角用同一组角表示，进而通过等量代换得到结论，该类解题思路可通用于多数三角形角度推导类题目。
【难度系数】
0.7
6.在$△ ABC$中，$AB=BC$，中线$AD$将这个三角形的周长分为15和21两部分，则$AC$的长为（
A.16
B.11
C.16或8
D.11或1
C
）A.16
B.11
C.16或8
D.11或1
答案
C
解析
【分析】
首先，题目给出△ABC是AB=BC的等腰三角形，AD是BC边上的中线，因此BD=CD。中线AD把周长分成15和21两部分，不确定哪部分对应AB+BD，哪部分对应AC+CD，因此需要分两种情况讨论。解题时先设未知数表示各边长度，根据两种周长情况列方程求解，最后要用三角形三边关系验证所得边长是否能构成三角形，排除不符合的解。
【解析】
设AB=BC=2x，AC=y，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=x。
分两种情况讨论：
情况1：当AB+BD=15，AC+CD=21时，
可得方程组：$\begin{cases}2x + x = 15 \\ y + x = 21 \end{cases}$
解第一个方程得3x=15，x=5，
代入第二个方程得y=21-5=16，
此时三角形三边长为AB=BC=10，AC=16，满足10+10＞16，16-10＜10，可构成三角形，AC=16符合要求。
情况2：当AB+BD=21，AC+CD=15时，
可得方程组：$\begin{cases}2x + x = 21 \\ y + x = 15 \end{cases}$
解第一个方程得3x=21，x=7，
代入第二个方程得y=15-7=8，
此时三角形三边长为AB=BC=14，AC=8，满足14+8＞14，14-8＜14，可构成三角形，AC=8符合要求。
综上，AC的长为16或8。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中线的定义，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形与周长结合的经典题型，解题的关键是明确中线分周长的两种情况，进行分类讨论，同时要注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
首先，题目给出△ABC是AB=BC的等腰三角形，AD是BC边上的中线，因此BD=CD。中线AD把周长分成15和21两部分，不确定哪部分对应AB+BD，哪部分对应AC+CD，因此需要分两种情况讨论。解题时先设未知数表示各边长度，根据两种周长情况列方程求解，最后要用三角形三边关系验证所得边长是否能构成三角形，排除不符合的解。
【解析】
设AB=BC=2x，AC=y，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=x。
分两种情况讨论：
情况1：当AB+BD=15，AC+CD=21时，
可得方程组：$\begin{cases}2x + x = 15 \\ y + x = 21 \end{cases}$
解第一个方程得3x=15，x=5，
代入第二个方程得y=21-5=16，
此时三角形三边长为AB=BC=10，AC=16，满足10+10＞16，16-10＜10，可构成三角形，AC=16符合要求。
情况2：当AB+BD=21，AC+CD=15时，
可得方程组：$\begin{cases}2x + x = 21 \\ y + x = 15 \end{cases}$
解第一个方程得3x=21，x=7，
代入第二个方程得y=15-7=8，
此时三角形三边长为AB=BC=14，AC=8，满足14+8＞14，14-8＜14，可构成三角形，AC=8符合要求。
综上，AC的长为16或8。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中线的定义，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形与周长结合的经典题型，解题的关键是明确中线分周长的两种情况，进行分类讨论，同时要注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免出现无效解。
【难度系数】
0.6
7. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$O$,$∠ ACB$的外角平分线所在直线与$∠ ABC$的平分线交于点$D$,与$∠ ABC$的外角平分线交于点$E$,下列结论:①$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$；②$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$；③$∠ A=\frac{2}{3}∠ E$；④$∠ E + ∠ DCF=90°+∠ ABD$.
其中所有正确结论的序号是（
A.①②
B.③④
C.①②④
D.①②③④
其中所有正确结论的序号是（
C
）A.①②
B.③④
C.①②④
D.①②③④
答案
C 【点拨】
$\because ∠ABC,∠ACB$ 的平分线交于点 $O$,$\therefore ∠ABD=∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC, ∠OCB=∠ACO=\frac{1}{2}∠ACB.$
$\therefore ∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A.$
$\therefore ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° -(90°-\frac{1}{2}∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$,故①正确；
$\because CD$ 平分 $∠ACF, \therefore ∠DCF=\frac{1}{2}∠ACF.$
$\because ∠ACF=∠ABC+∠A, ∠DCF=∠OBC+∠D,$
$\therefore ∠OBC+∠D=\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠A.$
$\therefore ∠D=\frac{1}{2}∠A$,故②正确；
如图. $\because ∠MBC=∠A+∠ACB, ∠BCN=∠A+∠ABC, ∠ACB+∠A+∠ABC=180°,$
$\therefore ∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A.$
$\because BE$ 平分 $∠MBC$,易知 $CE$ 平分 $∠BCN, \therefore ∠EBC=\frac{1}{2}∠MBC, ∠ECB=\frac{1}{2}∠BCN, \therefore ∠EBC+∠ECB=90°+\frac{1}{2}∠A.$
$\therefore ∠E=180°-(∠EBC+∠ECB)=90°-\frac{1}{2}∠A. \therefore ∠A=180°-2∠E$,故③错误；
$\because ∠DCF=∠DBC+∠D, ∠D=\frac{1}{2}∠A, \therefore ∠E+∠DCF=90°-\frac{1}{2}∠A+∠DBC+\frac{1}{2}∠A=90°+∠DBC.$
$\because ∠ABD=∠DBC, \therefore ∠E+∠DCF=90°+∠ABD$,故④正确.
综上,正确的有①②④. 故选 C.
解析
【分析】
本题是三角形角平分线与内角、外角性质结合的综合判断题，解题时可逐个验证每个结论：①先根据角平分线定义表示出△BOC的两个底角之和，再结合三角形内角和定理推导∠BOC与∠A的关系；②利用三角形外角的性质，结合角平分线定义推导∠D与∠A的关系；③先表示出两个外角的和，再根据角平分线定义得到△EBC的两个底角之和，结合内角和推导∠E与∠A的关系，判断结论是否成立；④将前面推导得到的∠E、∠DCF的表达式代入等式左边化简，结合角平分线定义判断是否等于右边。
【解析】
①
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$，故①正确；
②
∵CD平分$∠ ACF$，
∴$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$，
由三角形外角性质得：$∠ ACF=∠ ABC+∠ A$，$∠ DCF=∠ OBC+∠ D$，
代入得：$∠ OBC+∠ D=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ A)$，
又
∵$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
∴$\frac{1}{2}∠ ABC+∠ D=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ A$，化简得$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$，故②正确；
③
∵$∠ MBC$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ MBC=∠ A+∠ ACB$，同理$∠ BCN=∠ A+∠ ABC$，
∴$∠ MBC+∠ BCN=∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC=180°+∠ A$，
∵BE平分$∠ MBC$，CE平分$∠ BCN$，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ MBC$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ BCN$，
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ MBC+∠ BCN)=\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$，
在$△ EBC$中，$∠ E=180°-(∠ EBC+∠ ECB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
变形得$∠ A=180°-2∠ E$，故③错误；
④由外角性质得$∠ DCF=∠ DBC+∠ D$，结合②得$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$，
又由③得$∠ E=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
∴$∠ E+∠ DCF=90°-\frac{1}{2}∠ A+∠ DBC+\frac{1}{2}∠ A=90°+∠ DBC$，
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC$，
∴$∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角平分线相关的模型应用题，需要熟练运用三角形内角和与外角性质，通过代数推导验证角的数量关系，熟练掌握三角形内、外角平分线夹角的相关结论可快速解题。
【难度系数】
0.6
本题是三角形角平分线与内角、外角性质结合的综合判断题，解题时可逐个验证每个结论：①先根据角平分线定义表示出△BOC的两个底角之和，再结合三角形内角和定理推导∠BOC与∠A的关系；②利用三角形外角的性质，结合角平分线定义推导∠D与∠A的关系；③先表示出两个外角的和，再根据角平分线定义得到△EBC的两个底角之和，结合内角和推导∠E与∠A的关系，判断结论是否成立；④将前面推导得到的∠E、∠DCF的表达式代入等式左边化简，结合角平分线定义判断是否等于右边。
【解析】
①
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$，故①正确；
②
∵CD平分$∠ ACF$，
∴$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$，
由三角形外角性质得：$∠ ACF=∠ ABC+∠ A$，$∠ DCF=∠ OBC+∠ D$，
代入得：$∠ OBC+∠ D=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ A)$，
又
∵$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，
∴$\frac{1}{2}∠ ABC+∠ D=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ A$，化简得$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$，故②正确；
③
∵$∠ MBC$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ MBC=∠ A+∠ ACB$，同理$∠ BCN=∠ A+∠ ABC$，
∴$∠ MBC+∠ BCN=∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC=180°+∠ A$，
∵BE平分$∠ MBC$，CE平分$∠ BCN$，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ MBC$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ BCN$，
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ MBC+∠ BCN)=\frac{1}{2}(180°+∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$，
在$△ EBC$中，$∠ E=180°-(∠ EBC+∠ ECB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
变形得$∠ A=180°-2∠ E$，故③错误；
④由外角性质得$∠ DCF=∠ DBC+∠ D$，结合②得$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$，
又由③得$∠ E=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
∴$∠ E+∠ DCF=90°-\frac{1}{2}∠ A+∠ DBC+\frac{1}{2}∠ A=90°+∠ DBC$，
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC$，
∴$∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角平分线相关的模型应用题，需要熟练运用三角形内角和与外角性质，通过代数推导验证角的数量关系，熟练掌握三角形内、外角平分线夹角的相关结论可快速解题。
【难度系数】
0.6
