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8. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获. 图①②都是由一副三角板拼成的.
(1)求图①中∠ADC的度数；
(2)在图②中，已知AE//BC，求∠AFD的度数.
(1)求图①中∠ADC的度数；
(2)在图②中，已知AE//BC，求∠AFD的度数.
答案
【解】(1)$\because ∠F=30°, \therefore ∠ACB=60°.$
$\because ∠E=45°, \therefore ∠EAC=45°.$
$\therefore ∠ADC=180°-∠EAC-∠ACB=180°-45°-60°=75°.$
(2)$\because ∠B=60°, \therefore ∠C=30°.$
$\because AE// BC, \therefore ∠CAE=∠C=30°.$
又$\because ∠E=45°, \therefore ∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°.$
$\because ∠E=45°, \therefore ∠EAC=45°.$
$\therefore ∠ADC=180°-∠EAC-∠ACB=180°-45°-60°=75°.$
(2)$\because ∠B=60°, \therefore ∠C=30°.$
$\because AE// BC, \therefore ∠CAE=∠C=30°.$
又$\because ∠E=45°, \therefore ∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°.$
解析
【分析】
(1) 求∠ADC的度数，可先观察∠ADC所在的△ADC，已知三角形内角和为180°，因此只需先求出△ADC另外两个内角的度数即可。根据三角板的固定角度特征，含30°角的直角三角板中∠ACB=60°，等腰直角三角板中∠EAC=45°，代入三角形内角和公式即可算出∠ADC的度数。
(2) 求∠AFD的度数，首先根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，由AE//BC求出∠CAE的度数，再利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”的外角性质，将∠CAE与已知的∠E的度数相加，即可得到∠AFD的度数。
【解析】
(1) 由三角板的角度特征得：∠F=30°，∠E=45°，
∴ $∠ ACB=90° - 30° = 60°$，$∠ EAC=90° - 45° = 45°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ADC=180° - ∠ EAC - ∠ ACB = 180° - 45° - 60° = 75°$。
(2) 由三角板的角度特征得：∠B=60°，∠E=45°，
∴ $∠ C=90° - 60° = 30°$，
∵ $AE// BC$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ CAE=∠ C=30°$，
根据三角形外角的性质，得：
$∠ AFD=∠ CAE + ∠ E = 30° + 45° = 75°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{75°}$；(2) $\boldsymbol{75°}$
【知识点】
三角形内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合日常常用的三角板考查几何角度计算，难度不大，解题的核心是掌握三角板的固定角度，能灵活运用平行线性质和三角形角度相关定理进行推导，有利于提升学生结合实际应用几何知识的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠ADC的度数，可先观察∠ADC所在的△ADC，已知三角形内角和为180°，因此只需先求出△ADC另外两个内角的度数即可。根据三角板的固定角度特征，含30°角的直角三角板中∠ACB=60°，等腰直角三角板中∠EAC=45°，代入三角形内角和公式即可算出∠ADC的度数。
(2) 求∠AFD的度数，首先根据平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，由AE//BC求出∠CAE的度数，再利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”的外角性质，将∠CAE与已知的∠E的度数相加，即可得到∠AFD的度数。
【解析】
(1) 由三角板的角度特征得：∠F=30°，∠E=45°，
∴ $∠ ACB=90° - 30° = 60°$，$∠ EAC=90° - 45° = 45°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ADC=180° - ∠ EAC - ∠ ACB = 180° - 45° - 60° = 75°$。
(2) 由三角板的角度特征得：∠B=60°，∠E=45°，
∴ $∠ C=90° - 60° = 30°$，
∵ $AE// BC$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ CAE=∠ C=30°$，
根据三角形外角的性质，得：
$∠ AFD=∠ CAE + ∠ E = 30° + 45° = 75°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{75°}$；(2) $\boldsymbol{75°}$
【知识点】
三角形内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合日常常用的三角板考查几何角度计算，难度不大，解题的核心是掌握三角板的固定角度，能灵活运用平行线性质和三角形角度相关定理进行推导，有利于提升学生结合实际应用几何知识的能力。
【难度系数】
0.8
9. 如图，AD，AE，AF分别是$△ ABC$的高线、角平分线和中线.
(1)若$S_{△ ABC}=20$，$CF=4$，求$AD$的长；
(2)若$∠ C=70°$，$∠ B=26°$，求$∠ DAE$的度数.
(1)若$S_{△ ABC}=20$，$CF=4$，求$AD$的长；
(2)若$∠ C=70°$，$∠ B=26°$，求$∠ DAE$的度数.
答案
【解】(1)$\because AF$ 是 $△ABC$ 的中线, $CF=4$,
$\therefore BC=2CF=8.$
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=20, \therefore AD=5.$
(2)$\because ∠C=70°, ∠B=26°,$
$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-26°-70°=84°.$
$\because AD,AE$ 分别是 $△ABC$ 的高线和角平分线,
$\therefore ∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=42°, ∠ADC=90°.$
$\therefore ∠DAC=90°-70°=20°.$
$\therefore ∠DAE=∠EAC-∠DAC=42°-20°=22°.$
$\therefore BC=2CF=8.$
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=20, \therefore AD=5.$
(2)$\because ∠C=70°, ∠B=26°,$
$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-26°-70°=84°.$
$\because AD,AE$ 分别是 $△ABC$ 的高线和角平分线,
$\therefore ∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=42°, ∠ADC=90°.$
$\therefore ∠DAC=90°-70°=20°.$
$\therefore ∠DAE=∠EAC-∠DAC=42°-20°=22°.$
解析
【分析】
(1)求解AD的长：首先根据AF是△ABC的中线，可知中线平分对边BC，因此可由CF的长度求出BC的长度；再结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知面积和底BC，代入即可求出高AD的长度。
(2)求解∠DAE的度数：首先根据三角形内角和为180°，已知∠B和∠C的度数，可先求出∠BAC的度数；再根据AE是角平分线，可得∠EAC为∠BAC的一半；又因为AD是高线，△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求出∠DAC的度数；最后通过角的和差关系，用∠EAC减去∠DAC即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)
∵AF是△ABC的中线，$CF=4$，
∴$BC=2CF=8$。
∵AD是△ABC的高线，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=20$，
将$BC=8$代入得：$\frac{1}{2}×8×AD=20$，解得$AD=5$。
(2)
∵在△ABC中，$∠C=70°$，$∠B=26°$，
∴$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-26°-70°=84°$。
∵AE是△ABC的角平分线，
∴$∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×84°=42°$。
∵AD是△ABC的高线，
∴$∠ADC=90°$，
在Rt△ADC中，$∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°$。
∴$∠DAE=∠EAC-∠DAC=42°-20°=22°$。
【答案】
(1)$AD=5$；(2)$∠DAE=22°$
【知识点】
三角形三线的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的核心是准确区分高、角平分线、中线三类线段的性质，结合内角和、面积公式进行计算，角度计算时需理清各角之间的和差关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
(1)求解AD的长：首先根据AF是△ABC的中线，可知中线平分对边BC，因此可由CF的长度求出BC的长度；再结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知面积和底BC，代入即可求出高AD的长度。
(2)求解∠DAE的度数：首先根据三角形内角和为180°，已知∠B和∠C的度数，可先求出∠BAC的度数；再根据AE是角平分线，可得∠EAC为∠BAC的一半；又因为AD是高线，△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求出∠DAC的度数；最后通过角的和差关系，用∠EAC减去∠DAC即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)
∵AF是△ABC的中线，$CF=4$，
∴$BC=2CF=8$。
∵AD是△ABC的高线，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=20$，
将$BC=8$代入得：$\frac{1}{2}×8×AD=20$，解得$AD=5$。
(2)
∵在△ABC中，$∠C=70°$，$∠B=26°$，
∴$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-26°-70°=84°$。
∵AE是△ABC的角平分线，
∴$∠EAC=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×84°=42°$。
∵AD是△ABC的高线，
∴$∠ADC=90°$，
在Rt△ADC中，$∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°$。
∴$∠DAE=∠EAC-∠DAC=42°-20°=22°$。
【答案】
(1)$AD=5$；(2)$∠DAE=22°$
【知识点】
三角形三线的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的核心是准确区分高、角平分线、中线三类线段的性质，结合内角和、面积公式进行计算，角度计算时需理清各角之间的和差关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
10. 一题多解 如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C。在△ABC中，∠A=30°，求∠ABX+∠ACX的度数。
答案
【解】方法一:在$△XBC$中,因为$∠X=90°$,所以$∠XBC+∠XCB=90°.$
在$△ABC$中,因为$∠A=30°$,所以$∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°,$
所以$∠ABX+∠ACX=(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=150°-90°=60°.$
方法二:如图①,延长 $YX$ 交 $AC$ 于点 $D$.
因为$∠YXZ=90°$,所以$∠DXC=90°$,
所以$∠ACX+∠XDC=90°.$
因为$∠BDC=∠A+∠ABD$,
所以$∠A+∠ABD+∠ACX=90°,$
所以 $∠ABX + ∠ACX = 90° - ∠A = 90°-30°=60°.$
方法三:如图②,连接 $AX$ 并延长交 $YZ$ 于点 $P$,
则$∠BXP=∠BAX+∠ABX,$
$∠CXP=∠CAX+∠ACX,$
所以$∠BXP+∠CXP=∠BAX+∠ABX+∠CAX+∠ACX,$
即$∠BXC=∠ABX+∠ACX+∠BAC.$
因为$∠BXC=90°,∠BAC=30°,$
所以$∠ABX+∠ACX=90°-30°=60°.$
解析
【分析】
要求∠ABX+∠ACX的度数，可从两类思路入手：①直接利用三角形内角和定理，先分别求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，以及Rt△XBC中∠XBC与∠XCB的和，再将∠ABX、∠ACX拆分为对应大角减小角，通过整体作差计算结果；②通过作辅助线构造外角，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，将已知的∠A、∠X和待求角建立关联推导结果，常见辅助线做法有延长线段构造外角、连接并延长线段拆分角度。
【解析】
方法一:在$△XBC$中,因为$∠X=90°$,所以$∠XBC+∠XCB=90°.$
在$△ABC$中,因为$∠A=30°$,所以$∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°,$
所以$∠ABX+∠ACX=(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=150°-90°=60°.$
方法二:如图①,延长 $YX$ 交 $AC$ 于点 $D$.
因为$∠YXZ=90°$,所以$∠DXC=90°$,
所以$∠ACX+∠XDC=90°.$
因为$∠BDC=∠A+∠ABD$,
所以$∠A+∠ABD+∠ACX=90°,$
所以 $∠ABX + ∠ACX = 90° - ∠A = 90°-30°=60°.$
方法三:如图②,连接 $AX$ 并延长交 $YZ$ 于点 $P$,
则$∠BXP=∠BAX+∠ABX,$
$∠CXP=∠CAX+∠ACX,$
所以$∠BXP+∠CXP=∠BAX+∠ABX+∠CAX+∠ACX,$
即$∠BXC=∠ABX+∠ACX+∠BAC.$
因为$∠BXC=90°,∠BAC=30°,$
所以$∠ABX+∠ACX=90°-30°=60°.$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型一题多解题型，既可以直接通过内角和定理整体作差求解，也可以通过构造辅助线结合外角性质推导，能有效锻炼多角度思考问题的能力，帮助学生灵活掌握三角形角度相关性质。
【难度系数】
0.7
要求∠ABX+∠ACX的度数，可从两类思路入手：①直接利用三角形内角和定理，先分别求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，以及Rt△XBC中∠XBC与∠XCB的和，再将∠ABX、∠ACX拆分为对应大角减小角，通过整体作差计算结果；②通过作辅助线构造外角，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，将已知的∠A、∠X和待求角建立关联推导结果，常见辅助线做法有延长线段构造外角、连接并延长线段拆分角度。
【解析】
方法一:在$△XBC$中,因为$∠X=90°$,所以$∠XBC+∠XCB=90°.$
在$△ABC$中,因为$∠A=30°$,所以$∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°,$
所以$∠ABX+∠ACX=(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=150°-90°=60°.$
方法二:如图①,延长 $YX$ 交 $AC$ 于点 $D$.
因为$∠YXZ=90°$,所以$∠DXC=90°$,
所以$∠ACX+∠XDC=90°.$
因为$∠BDC=∠A+∠ABD$,
所以$∠A+∠ABD+∠ACX=90°,$
所以 $∠ABX + ∠ACX = 90° - ∠A = 90°-30°=60°.$
方法三:如图②,连接 $AX$ 并延长交 $YZ$ 于点 $P$,
则$∠BXP=∠BAX+∠ABX,$
$∠CXP=∠CAX+∠ACX,$
所以$∠BXP+∠CXP=∠BAX+∠ABX+∠CAX+∠ACX,$
即$∠BXC=∠ABX+∠ACX+∠BAC.$
因为$∠BXC=90°,∠BAC=30°,$
所以$∠ABX+∠ACX=90°-30°=60°.$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的典型一题多解题型，既可以直接通过内角和定理整体作差求解，也可以通过构造辅助线结合外角性质推导，能有效锻炼多角度思考问题的能力，帮助学生灵活掌握三角形角度相关性质。
【难度系数】
0.7
