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1.如图，$△ ABC$中，$AB＜AC＜BC$，如果要用尺规作图的方法在$BC$上确定一点$P$，使$PA+PB=BC$，那么符合要求的作图痕迹是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
首先转化题目要求的线段和关系：因为点P在BC上，所以BC天然等于PB+PC，题目要求PA+PB=BC，将两个式子对比消去公共的PB，就能得出只要满足PA=PC即可。再根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P是AC的垂直平分线与BC的交点，只需识别四个选项中哪个是作AC的垂直平分线的痕迹即可。
【解析】
解：
∵点P在BC边上，
∴$PB + PC = BC$，
又
∵题目要求$PA + PB = BC$，
∴$PA + PB = PB + PC$，
化简得$PA = PC$。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点P在AC的垂直平分线上。
因此作图目标是作AC的垂直平分线，交BC于点P，观察四个选项的作图痕迹，只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图
【点评】
本题通过将线段和的条件转化为线段相等的关系，结合线段垂直平分线的判定确定作图方法，既考查了对基础定理的理解，也考查了转化思想和对尺规作图痕迹的识别能力。
【难度系数】
0.7
首先转化题目要求的线段和关系：因为点P在BC上，所以BC天然等于PB+PC，题目要求PA+PB=BC，将两个式子对比消去公共的PB，就能得出只要满足PA=PC即可。再根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P是AC的垂直平分线与BC的交点，只需识别四个选项中哪个是作AC的垂直平分线的痕迹即可。
【解析】
解：
∵点P在BC边上，
∴$PB + PC = BC$，
又
∵题目要求$PA + PB = BC$，
∴$PA + PB = PB + PC$，
化简得$PA = PC$。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点P在AC的垂直平分线上。
因此作图目标是作AC的垂直平分线，交BC于点P，观察四个选项的作图痕迹，只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图
【点评】
本题通过将线段和的条件转化为线段相等的关系，结合线段垂直平分线的判定确定作图方法，既考查了对基础定理的理解，也考查了转化思想和对尺规作图痕迹的识别能力。
【难度系数】
0.7
2. [2026 池州模拟] 如图,已知$△ ABC$,分别以点A,C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作直线分别交BC,AC于点D,E,连接AD,若$AE=5$,$△ ABD$的周长为20,则$△ ABC$的周长是
30
.答案
2.30 【点拨】由作图得，DE垂直平分AC，
∴CE=AE=5，DA=DC.
∵△ABD的周长为20，
∴AB+BD+DA=20，
∴AB+BD+DC=20，即AB+BC=20，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=20+5+5=30.
∴CE=AE=5，DA=DC.
∵△ABD的周长为20，
∴AB+BD+DA=20，
∴AB+BD+DC=20，即AB+BC=20，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=20+5+5=30.
解析
【分析】
首先根据题目描述的尺规作图方法，可判断出所作直线DE是线段AC的垂直平分线。回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=DC，且AC=2AE。接下来将△ABD周长中的AD替换为DC，即可得到AB与BC的长度和，最后结合AC的长度，就能求出△ABC的总周长。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，DE是线段AC的垂直平分线，
∴ $AD=DC$，$AC=2AE$，
∵ $AE=5$，
∴ $AC=2×5=10$，
∵ $△ ABD$的周长为20，
∴ $AB+BD+AD=20$，
将$AD=DC$代入上式，得$AB+BD+DC=20$，即$AB+BC=20$，
∴ $△ ABC$的周长$=AB+BC+AC=20+10=30$。
【答案】
30
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，将尺规作图和线段垂直平分线的性质结合考查，解题的核心是利用垂直平分线的性质做线段的等量代换，把已知三角形的周长转化为所求三角形部分边的和，整体代入即可求解，需要熟练掌握线段垂直平分线的作图特征和相关性质。
【难度系数】
0.7
首先根据题目描述的尺规作图方法，可判断出所作直线DE是线段AC的垂直平分线。回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=DC，且AC=2AE。接下来将△ABD周长中的AD替换为DC，即可得到AB与BC的长度和，最后结合AC的长度，就能求出△ABC的总周长。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，DE是线段AC的垂直平分线，
∴ $AD=DC$，$AC=2AE$，
∵ $AE=5$，
∴ $AC=2×5=10$，
∵ $△ ABD$的周长为20，
∴ $AB+BD+AD=20$，
将$AD=DC$代入上式，得$AB+BD+DC=20$，即$AB+BC=20$，
∴ $△ ABC$的周长$=AB+BC+AC=20+10=30$。
【答案】
30
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，将尺规作图和线段垂直平分线的性质结合考查，解题的核心是利用垂直平分线的性质做线段的等量代换，把已知三角形的周长转化为所求三角形部分边的和，整体代入即可求解，需要熟练掌握线段垂直平分线的作图特征和相关性质。
【难度系数】
0.7
3. 如图,按以下步骤作图:(1)在$△ ABC$中,分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点;(2)作直线MN交BC于点D;(3)连接AD.若$AB=AC$,$∠ CAD=54°$,则$∠ C$的度数为
42°
.答案
3.42° 【点拨】由作图步骤可知MD是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADC=2∠C. 在△ADC中，∠CAD+∠ADC+∠C=180°，
∴54°+2∠C+∠C=180°,
∴∠C=42°.
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADC=2∠C. 在△ADC中，∠CAD+∠ADC+∠C=180°，
∴54°+2∠C+∠C=180°,
∴∠C=42°.
解析
【分析】
解题时首先根据题中的尺规作图步骤，判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，回忆垂直平分线的性质可得AD=BD，进而得到角的等量关系；再结合等腰△ABC中∠B=∠C的性质，将△ADC的内角用∠C表示，最后利用三角形内角和定理列方程求解即可得到∠C的度数。
【解析】
由作图步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
又
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
∴∠ADC=2∠C，
在△ADC中，根据三角形内角和定理：∠CAD+∠ADC+∠C=180°，
已知∠CAD=54°，代入得：$54°+2∠ C+∠ C=180°$，
即$3∠ C=126°$，解得$∠ C=42°$。
【答案】
$42°$
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基本性质的应用，解题的关键是先根据作图特征判断出垂直平分线，再梳理角之间的等量关系列方程计算，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题中的尺规作图步骤，判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，回忆垂直平分线的性质可得AD=BD，进而得到角的等量关系；再结合等腰△ABC中∠B=∠C的性质，将△ADC的内角用∠C表示，最后利用三角形内角和定理列方程求解即可得到∠C的度数。
【解析】
由作图步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
又
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
∴∠ADC=2∠C，
在△ADC中，根据三角形内角和定理：∠CAD+∠ADC+∠C=180°，
已知∠CAD=54°，代入得：$54°+2∠ C+∠ C=180°$，
即$3∠ C=126°$，解得$∠ C=42°$。
【答案】
$42°$
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基本性质的应用，解题的关键是先根据作图特征判断出垂直平分线，再梳理角之间的等量关系列方程计算，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 新题型游戏活动题 A,B,C三名同学玩“抢凳子”游戏.
他们所站的位置围成一个$△ ABC$,在他们中间放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜,为保证游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在$△ ABC$的 (
A.三边垂直平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条高的交点
他们所站的位置围成一个$△ ABC$,在他们中间放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜,为保证游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在$△ ABC$的 (
A
)A.三边垂直平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条高的交点
答案
4.A
解析
【分析】
要保证游戏公平，核心要求是凳子到A、B、C三名同学的距离相等，可将实际问题转化为“寻找△ABC内到三个顶点距离相等的点”的几何问题。接下来结合所学的三角形各类特殊点的性质，逐一比对选项即可得出结论。
【解析】
解：游戏公平的前提是凳子到A、B、C三名同学的距离相等，据此分析各选项：
A. 三边垂直平分线的交点：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此该交点到△ABC三个顶点的距离完全相等，符合公平要求；
B. 三条中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形特殊点的性质
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查几何知识的实际应用，需要同学们将实际问题抽象为数学模型，准确区分三角形不同特殊点的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要保证游戏公平，核心要求是凳子到A、B、C三名同学的距离相等，可将实际问题转化为“寻找△ABC内到三个顶点距离相等的点”的几何问题。接下来结合所学的三角形各类特殊点的性质，逐一比对选项即可得出结论。
【解析】
解：游戏公平的前提是凳子到A、B、C三名同学的距离相等，据此分析各选项：
A. 三边垂直平分线的交点：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此该交点到△ABC三个顶点的距离完全相等，符合公平要求；
B. 三条中线的交点是三角形的重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形特殊点的性质
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查几何知识的实际应用，需要同学们将实际问题抽象为数学模型，准确区分三角形不同特殊点的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 在正方形网格中，$△ ABC$的位置如图所示，且顶点在格点上，在$△ ABC$内部有$E,F,G,H$四个格点，到$△ ABC$三个顶点距离相等的点是 （
A.点$E$
B.点$F$
C.点$G$
D.点$H$
B
）A.点$E$
B.点$F$
C.点$G$
D.点$H$
答案
5.B 【点拨】易知，到△ABC三个顶点距离相等的点为三边垂直平分线的交点，由题图可得，FH垂直平分BC，故排除A,C选项；点H很明显不在AC的垂直平分线上，故排除选项D.
解析
【分析】
要找到△ABC内部到三个顶点距离相等的点，首先回忆相关性质：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形三边垂直平分线的交点。解题时可先找到其中一条边的垂直平分线，筛选出在这条线上的点，排除不符合的选项，再验证剩余点是否在另一条边的垂直平分线上，最终确定正确答案。
【解析】
解：
∵ 平面内到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
1. 先分析边BC：BC是网格中的水平线段，其垂直平分线为过BC中点的竖直直线，观察E、F、G、H四个点，只有F、H在这条竖直线上，因此排除不在此线上的E、G，即排除A、C选项；
2. 再验证剩余的F、H两点：观察图形可知点H到A、C的距离不相等，说明H不在AC的垂直平分线上，排除D选项；
点F同时在△ABC三边的垂直平分线上，因此点F到△ABC三个顶点的距离相等。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外心的定义
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关性质，解题的核心是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，通过逐步筛选排除的方法即可快速解题，能有效锻炼学生的网格识图能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.7
要找到△ABC内部到三个顶点距离相等的点，首先回忆相关性质：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形三边垂直平分线的交点。解题时可先找到其中一条边的垂直平分线，筛选出在这条线上的点，排除不符合的选项，再验证剩余点是否在另一条边的垂直平分线上，最终确定正确答案。
【解析】
解：
∵ 平面内到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，
1. 先分析边BC：BC是网格中的水平线段，其垂直平分线为过BC中点的竖直直线，观察E、F、G、H四个点，只有F、H在这条竖直线上，因此排除不在此线上的E、G，即排除A、C选项；
2. 再验证剩余的F、H两点：观察图形可知点H到A、C的距离不相等，说明H不在AC的垂直平分线上，排除D选项；
点F同时在△ABC三边的垂直平分线上，因此点F到△ABC三个顶点的距离相等。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外心的定义
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关性质，解题的核心是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，通过逐步筛选排除的方法即可快速解题，能有效锻炼学生的网格识图能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.7
6.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置。
答案
6.【解】(方法不唯一)如图，点P即为售票中心。
解析
【分析】
要找到到三个娱乐项目距离相等的售票中心，可结合线段垂直平分线的性质与判定思考：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，反过来，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。因此只需作出任意两组娱乐项目对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为到三个点距离都相等的点，也就是售票中心的位置。
【解析】
1. 分别连接海盗船与摩天轮、海盗船与碰碰车的对应点，得到两条线段；
2. 用尺规作图法分别作出这两条线段的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线相交于点P。
根据线段垂直平分线的性质，点P在海盗船与摩天轮连线的垂直平分线上，因此P到海盗船、摩天轮的距离相等；同时P在海盗船与碰碰车连线的垂直平分线上，因此P到海盗船、碰碰车的距离相等，由此可得点P到三个娱乐项目的距离均相等，即为所求的售票中心位置。
【答案】
如图，点P即为售票中心。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、尺规作垂直平分线
【点评】
本题结合实际生活中的选址场景，考查线段垂直平分线相关知识的应用，解题核心是将“到多点距离相等”的实际需求转化为作垂直平分线找交点的几何问题，侧重对知识灵活应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要找到到三个娱乐项目距离相等的售票中心，可结合线段垂直平分线的性质与判定思考：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，反过来，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。因此只需作出任意两组娱乐项目对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为到三个点距离都相等的点，也就是售票中心的位置。
【解析】
1. 分别连接海盗船与摩天轮、海盗船与碰碰车的对应点，得到两条线段；
2. 用尺规作图法分别作出这两条线段的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线相交于点P。
根据线段垂直平分线的性质，点P在海盗船与摩天轮连线的垂直平分线上，因此P到海盗船、摩天轮的距离相等；同时P在海盗船与碰碰车连线的垂直平分线上，因此P到海盗船、碰碰车的距离相等，由此可得点P到三个娱乐项目的距离均相等，即为所求的售票中心位置。
【答案】
如图，点P即为售票中心。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、尺规作垂直平分线
【点评】
本题结合实际生活中的选址场景，考查线段垂直平分线相关知识的应用，解题核心是将“到多点距离相等”的实际需求转化为作垂直平分线找交点的几何问题，侧重对知识灵活应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7. 真实情境题生活应用 某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站点E，按要求完成下列作图(保留作图痕迹，不要求写作法).
(1)如图①，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置(要求利用尺规作图)；
(2)如图②，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站点E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站点E的位置.
(1)如图①，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置(要求利用尺规作图)；
(2)如图②，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站点E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站点E的位置.
答案
7.【解】(1)如图①，点D即为所求。
(2)如图②，点E即为所求。
解析
【分析】
(1)要找到街道m上到A、B距离相等的点D，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知D既在AB的垂直平分线上，又在街道m上，因此作AB的垂直平分线，与直线m的交点即为所求点D。
(2)要找到街道m上到A、C距离之和最短的点E，这是典型的同侧两点最短路径问题，可利用轴对称的性质转化：先作C关于直线m的对称点C'，则直线m上任意点到C、C'的距离相等，此时AE+CE=AE+C'E，根据“两点之间线段最短”，连接AC'，它与直线m的交点即为所求点E。
【解析】
(1)利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与街道m的交点就是垃圾站点D的位置，此时DA=DB，满足到A、B距离相等的要求。
(2)先作点C关于街道m的对称点C'，连接AC'，线段AC'与街道m的交点就是鲜奶站点E的位置，此时AE+CE=AE+C'E=AC'，根据两点之间线段最短，此时距离之和最短。
【答案】
(1)如图①，点D即为所求。
(2)如图②，点E即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线判定；轴对称的性质；最短路径作图
【点评】
本题结合社区站点设置的生活场景，考查基础几何作图的实际应用，既要求掌握尺规作垂直平分线的技能，也要求理解最短路径问题的转化思路，贴合生活实际，能有效检验对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1)要找到街道m上到A、B距离相等的点D，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知D既在AB的垂直平分线上，又在街道m上，因此作AB的垂直平分线，与直线m的交点即为所求点D。
(2)要找到街道m上到A、C距离之和最短的点E，这是典型的同侧两点最短路径问题，可利用轴对称的性质转化：先作C关于直线m的对称点C'，则直线m上任意点到C、C'的距离相等，此时AE+CE=AE+C'E，根据“两点之间线段最短”，连接AC'，它与直线m的交点即为所求点E。
【解析】
(1)利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与街道m的交点就是垃圾站点D的位置，此时DA=DB，满足到A、B距离相等的要求。
(2)先作点C关于街道m的对称点C'，连接AC'，线段AC'与街道m的交点就是鲜奶站点E的位置，此时AE+CE=AE+C'E=AC'，根据两点之间线段最短，此时距离之和最短。
【答案】
(1)如图①，点D即为所求。
(2)如图②，点E即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线判定；轴对称的性质；最短路径作图
【点评】
本题结合社区站点设置的生活场景，考查基础几何作图的实际应用，既要求掌握尺规作垂直平分线的技能，也要求理解最短路径问题的转化思路，贴合生活实际，能有效检验对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
