9. 如图，AD⊥BE于点D，BD=DE，点E在线段AC的垂直平分线上，若AB=6 cm，BD=3 cm，则DC的长为（）

A.3 cm
B.6 cm
C.9 cm
D.12 cm

9.C

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AD垂直BE且BD=DE，可判定AD是BE的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得AB=AE；再结合点E在AC的垂直平分线上，可得AE=CE，即可推出CE的长度；最后DC由DE和CE两段组成，代入已知长度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD⊥BE，BD=DE=3cm，
∴AD是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∵AB=6cm，
∴AE=6cm，
又
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴CE=6cm，
∴DC=DE+CE=3+6=9cm。
故选C。
【答案】
C

【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础类题型，重点考查线段垂直平分线的性质与判定的应用，解题时只需结合已知条件，逐步推导对应线段的等量关系，再结合线段和差计算即可求解，是垂直平分线相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.8

10. 如图，在$△ ABC$中，线段$AC$的垂直平分线和线段$BC$的垂直平分线与边$AB$分别交于点$M$，$N(M$在$N$的左边$)$，设$∠ ACB=y$，$∠ MCN=x$，则$y$与$x$的函数表达式为________.

10.$y=\frac{1}{2}x+90°$ 【点拨】如图,根据垂直平分线的性质知 $MA=MC,NB=NC,\therefore ∠ A=∠ 1,∠ B=∠ 2.$
$\therefore ∠ A+∠ B=∠ 1+∠ 2=y-x.$
又$\because ∠ A+∠ B+y=180°,$
$\therefore y=\frac{1}{2}x+90°.$

【分析】
解题时先从已知的垂直平分线条件入手，回忆垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得到两组相等的边，再利用等边对等角得到两组相等的角；接下来观察角的组成，∠ACB由∠1、∠MCN、∠2三部分组成，因此可得∠1+∠2=y-x，而∠A=∠1、∠B=∠2，因此∠A+∠B可替换为y-x；最后结合三角形内角和为180°的定理，将∠A+∠B的表达式代入内角和公式，整理即可得到y与x的函数关系。
【解析】
∵ 线段AC的垂直平分线交AB于M，线段BC的垂直平分线交AB于N
∴ $MA=MC$，$NB=NC$
∴ $∠A=∠1$，$∠B=∠2$
∴ $∠A+∠B=∠1+∠2$
又
∵ $∠1+∠2+∠MCN=∠ACB$，即$∠1+∠2 = y - x$
∴ $∠A+∠B = y - x$
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：$∠A+∠B+∠ACB=180°$
将$∠A+∠B = y - x$，$∠ACB=y$代入得：
$(y - x) + y = 180°$
整理得：$2y = x + 180°$，即$y=\frac{1}{2}x+90°$
【答案】
$y=\frac{1}{2}x+90°$ 【点拨】如图,根据垂直平分线的性质知 $MA=MC,NB=NC,\therefore ∠ A=∠ 1,∠ B=∠ 2.$
$\therefore ∠ A+∠ B=∠ 1+∠ 2=y-x.$
又$\because ∠ A+∠ B+y=180°,$
$\therefore y=\frac{1}{2}x+90°.$

【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何与函数结合的基础综合题，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成等角的转化，再结合三角形内角和定理建立角的等量关系，通过代数整理得到函数表达式，能有效考查学生对几何性质的应用和等量代换的能力。
【难度系数】
0.7

11. （1）在$△ ABC$中，$AB=AC$，$OB=OC$，且点$A$到$BC$的距离为8，点$O$到$BC$的距离为3，则$AO$的长为________；
（2）已知$C,D$两点在线段$AB$的垂直平分线上，且$∠ ACB=50°$，$∠ ADB=86°$，则$∠ CAD$的度数为________。

11.(1)5或11 (2)$18°$或$112°$
【点拨】(1)分两种情况讨论:当点 $O$ 在 $△ ABC$ 内时,延长 $AO$ 交 $BC$ 于点 $M$,如图①.$\because AB=AC,OB=OC,$
$\therefore AM$ 为 $BC$ 的垂直平分线, $\therefore AM=8,OM=3, \therefore AO=AM-OM=8-3=5;$ 当点 $O$ 在 $△ ABC$ 外时,设 $AO$ 交 $BC$ 于点 $M$,如图②.$\because AB=AC,OB=OC, \therefore AM$ 为 $BC$ 的垂直平分线, $\therefore AM=8,OM=3, \therefore AO=AM+OM=8+3=11.$ 故 $AO$ 的长为 5 或 11.
(2)如图③.$\because C,D$ 两点在线段 $AB$ 的垂直平分线上, $\therefore CA=CB,DA=DB,CD⊥ AB, \therefore$ 易得 $∠ CAB=∠ CBA=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=65°, ∠ DAB=∠ DBA=\frac{1}{2}(180°-∠ ADB)=47°.$ 当点 $C$ 与点 $D$ 在线段 $AB$ 两侧时, $∠ CAD=∠ CAB+∠ DAB=112°;$ 当点 $C$ 与点 $D$ 在线段 $AB$ 同侧即点 $D$ 在点 $D'$ 处时, 易知 $∠ D'AB = 47°,$
$\therefore ∠ CAD'=∠ CAB-∠ D'AB=18°.$ 故 $∠ CAD$ 的度数为 $18°$ 或 $112°.$

【分析】
（1）由$AB=AC$、$OB=OC$可知点A和点O都在BC的垂直平分线上，因此A、O、BC中点三点共线。接下来分两种情况讨论点O的位置：①点O在$△ ABC$内部，此时AO长度为A到BC的距离减去O到BC的距离；②点O在$△ ABC$外部，此时AO长度为两个距离相加。
（2）根据线段垂直平分线的性质可得$CA=CB$、$DA=DB$，即$△ ACB$和$△ ADB$均为等腰三角形，先利用三角形内角和算出两个等腰三角形的底角$∠ CAB$和$∠ DAB$的度数，再分C、D在AB同侧、C、D在AB两侧两种情况计算$∠ CAD$的度数即可。
【解析】
（1）$\because AB=AC$，$OB=OC$，$\therefore$A、O都在BC的垂直平分线上，设BC中点为M，则$AM⊥ BC$，$OM⊥ BC$，即A、O、M三点共线。
①当点O在$△ ABC$内部时，如图①：A到BC的距离$AM=8$，O到BC的距离$OM=3$，$\therefore AO=AM-OM=8-3=5$；
②当点O在$△ ABC$外部时，如图②：同理$AM=8$，$OM=3$，$\therefore AO=AM+OM=8+3=11$。
（2）$\because$C、D都在AB的垂直平分线上，$\therefore CA=CB$，$DA=DB$，CD垂直平分AB。
由三角形内角和可得：$∠ CAB=∠ CBA=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，$∠ DAB=∠ DBA=\frac{1}{2}(180°-∠ ADB)=\frac{1}{2}×(180°-86°)=47°$。
①当C、D在线段AB同侧时，如图③中$D'$的位置：$∠ CAD=∠ CAB-∠ D'AB=65°-47°=18°$；
②当C、D在线段AB两侧时：$∠ CAD=∠ CAB+∠ DAB=65°+47°=112°$。
【答案】
（1）5或11；（2）$18°$或$112°$

【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是结合题意分情况讨论点的位置关系，容易因遗漏某一种位置情况导致漏解，解题时要结合图形分析所有可能的位置，避免思维定式出错。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°,AB=AC$,点 $D$ 是 $AB$ 的中点,$AF⊥ CD$ 于点 $H$,交 $BC$ 于点 $F$,$BE// AC$ 交 $AF$ 的延长线于点 $E$,连接 $DE$ 交 $BC$ 于点 $P$.求证:(1)$△ ACD≌△ BAE$;(2)$BC$ 垂直平分 $DE$

12.【证明】(1)$\because AF⊥ CD$ 于点 $H$,
$\therefore ∠ BAC=∠ AHD=90°,$
$\therefore ∠ DAH+∠ ADH=90°,∠ ACH+∠ ADH=90°,$
$\therefore ∠ DAH=∠ ACH,$ 即 $∠ BAE=∠ ACD.$
$\because ∠ BAC=90°, BE// AC,$
$\therefore ∠ ABE=∠ CAD=90°.$
在 $△ ACD$ 与 $△ BAE$ 中, $\because \begin{cases} ∠ ACD=∠ BAE, \\ AC=AB, \\ ∠ CAD=∠ ABE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BAE(\mathrm{ASA}).$
(2)$\because △ ACD≌△ BAE, \therefore AD=BE. \because$ 点 $D$ 是 $AB$ 的中点,
$\therefore AD=BD. \therefore BD=BE.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ BAC=90°,$
$AB=AC, \therefore ∠ ABC=45°. \because ∠ ABE=90°, \therefore ∠ EBF=90°-45°=45°. \therefore ∠ ABC=∠ EBF.$ 又 $\because BP = BP,$
$\therefore △ DBP≌△ EBP \ (\mathrm{SAS}). \therefore DP = EP, ∠ DPB = ∠ EPB=90°. \therefore BC$ 垂直平分 $DE.$

【分析】
要证明(1)中两个三角形全等，先结合已知条件找全等所需的对应角、对应边相等：已知AC=AB，∠BAC=90°，由AF⊥CD可得∠AHD=90°，利用同角的余角相等可推出∠BAE=∠ACD；再由BE//AC、∠BAC=90°可证得∠ABE=∠CAD=90°，满足ASA全等判定条件，即可证得全等。
要证明(2)中BC垂直平分DE，需证BC与DE垂直且BC平分DE：先由(1)的全等结论得AD=BE，结合D是AB中点可推出BD=BE；再根据等腰Rt△ABC的性质得∠ABC=45°，结合∠ABE=90°可推出∠EBF=∠ABC=45°，利用SAS可证△DBP≌△EBP，进而得到DP=EP，且∠DPB=∠EPB=90°，即可证得结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AF⊥CD$ 于点 $H$，
∴ $∠BAC=∠AHD=90°$，
∴ $∠DAH+∠ADH=90°,∠ACD+∠ADH=90°$，
∴ $∠DAH=∠ACD$，即 $∠BAE=∠ACD$。
∵ $∠BAC=90°, BE//AC$，
∴ $∠ABE=∠CAD=90°$。
在 $△ ACD$ 与 $△ BAE$ 中，
$\begin{cases} ∠ACD=∠BAE \\ AC=AB \\ ∠CAD=∠ABE \end{cases}$
∴ $△ ACD≌△ BAE(\mathrm{ASA})$。
(2) 证明：
∵ $△ ACD≌△ BAE$，
∴ $AD=BE$。
∵ 点 $D$ 是 $AB$ 的中点，
∴ $AD=BD$，
∴ $BD=BE$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°,AB=AC$，
∴ $∠ABC=45°$。
∵ $∠ABE=90°$，
∴ $∠EBF=90°-45°=45°$，
∴ $∠ABC=∠EBF$。
在 $△ DBP$ 和 $△ EBP$ 中，
$\begin{cases} BD=BE \\ ∠DBP=∠EBP \\ BP=BP \end{cases}$
∴ $△ DBP≌△ EBP \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $DP = EP, ∠ DPB = ∠ EPB=90°$，
∴ $BC$ 垂直平分 $DE$。
【答案】
(1) $△ ACD≌△ BAE$成立；
(2) $BC$垂直平分$DE$成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是几何综合证明题，解题核心是熟练运用全等三角形的判定定理找到全等条件，再结合全等的性质推导边、角的等量关系，最终完成线段垂直平分线的证明，是巩固全等三角形和垂直平分线相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7

13. ★★★ 新题型项目式学习题 已知:如图①, $MN⊥AB$,垂足为点$C$,$AC=BC$,点$P$是直线$MN$上任意一点.求证:$PA=PB$.
分析:图中有两个直角三角形,即$△ APC$和$△ BPC$,只要证明这两个三角形全等,便可证得$PA=PB$.
(1)请结合以上分析,利用图①写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.
(2)定理应用:如图②,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB$的垂直平分线交$AB$于点$N$,交$AC$于点$M$,连接$MB$,若$AB=10\ \mathrm{cm}$,$△ MBC$的周长是$18\ \mathrm{cm}$.
①求$BC$的长.
②点$P$是直线$MN$上一动点,在运动的过程中,$△ PBC$的周长是否存在最小值?若存在,标出点$P$的位置,并求出此时$△ PBC$的周长;若不存在,说明理由.

13.(1)【证明】$\because MN⊥ AB, \therefore ∠ ACP=∠ BCP=90°.$
在 $△ ACP$ 和 $△ BCP$ 中, $\because \begin{cases} AC=BC, \\ ∠ ACP=∠ BCP, \\ PC=PC, \end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ BCP(\mathrm{SAS}), \therefore PA=PB.$
(2)【解】①$\because MN$ 垂直平分 $AB, \therefore MB=MA.$
又$\because △ MBC$ 的周长是 18 cm,
$\therefore MB+MC+BC=MA+MC+BC=AC+BC=18\ \mathrm{cm}.$
$\because AC=AB=10\ \mathrm{cm}, \therefore BC=8\ \mathrm{cm}.$
②存在.点 $P$ 的位置如图所示.$\because AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $N$,交 $AC$ 于点 $M$,点 $P$ 是直线 $MN$ 上一动点,
$\therefore$ 连接 $PA$, 则有 $PA = PB, \therefore △ PBC$ 的周长 $= PB + PC + BC = PA + PC + BC ≥ AC + BC, \therefore$ 当 $A,P,C$ 三点共线,即点 $P$ 与点 $M$ 重合时, $△ PBC$ 的周长最小,最小值为 $AC+BC=18\ \mathrm{cm}.$

【分析】
(1) 要证$PA=PB$，可通过证明$△ ACP$和$△ BCP$全等实现：已知$MN⊥ AB$可得两个直角相等，结合已知$AC=BC$、公共边$PC$相等，用SAS即可判定两三角形全等，由全等三角形对应边相等即可得证结论。
(2) ① 求$BC$的长时，先利用线段垂直平分线的性质得$MB=MA$，将$△ MBC$的周长转化为$AC+BC$的和，再结合已知$AC=AB=10\mathrm{cm}$，即可求出$BC$的长度。
② 要判断$△ PBC$周长是否有最小值，利用线段垂直平分线的性质得$PB=PA$，将$△ PBC$的周长转化为$PA+PC+BC$，$BC$为定值，因此只需$PA+PC$取最小值即可；根据两点之间线段最短，当$P、A、C$三点共线时$PA+PC$最小，此时$P$与$MN$和$AC$的交点$M$重合，即可求出最小周长。
【解析】
(1) 证明：
$\because MN⊥ AB$，垂足为$C$，
$\therefore ∠ ACP=∠ BCP=90°$，
在$△ ACP$和$△ BCP$中：
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ ACP=∠ BCP \\ PC=PC \end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ BCP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore PA=PB$。
(2) ① 解：
$\because MN$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore MB=MA$，
$\because △ MBC$的周长为$18\mathrm{cm}$，
$\therefore MB+MC+BC=18\mathrm{cm}$，
将$MB$替换为$MA$得：$MA+MC+BC=AC+BC=18\mathrm{cm}$，
又$\because AB=AC=10\mathrm{cm}$，
$\therefore BC=18-10=8\mathrm{cm}$。
② 存在最小值：
$\because$点$P$在$AB$的垂直平分线$MN$上，$\therefore PB=PA$，
$\therefore △ PBC$的周长$=PB+PC+BC=PA+PC+BC$，
$\because BC$长度固定为$8\mathrm{cm}$，要使周长最小，只需$PA+PC$最小，
根据两点之间线段最短，当$A、P、C$三点共线时，$PA+PC$的最小值等于$AC$的长度，此时点$P$与$MN$和$AC$的交点$M$重合，
$\therefore$最小周长$=AC+BC=10+8=18\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $PA=PB$得证，证明过程见解析；
(2) ① $BC$的长为$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$；
② 存在最小值，当点$P$与点$M$重合时$△ PBC$的周长最小，最小周长为$\boldsymbol{18\ \mathrm{cm}}$，点$P$位置如图：

【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；最短路径问题
【点评】
本题围绕线段垂直平分线展开，既考查了定理的推导过程，又考查了定理的实际应用，要求熟练掌握全等三角形的判定方法，同时能将周长最值问题通过性质转化为线段和最值问题，兼顾基础能力和逻辑思维能力的考查。
【难度系数】
0.7