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29.「2025山东青岛中考，★★」(10分)小明为了自家花园用水方便，设计了一个自动储水水箱，其模型如图所示。底面积为0.01 m²，高为1 m的浮体A(不吸水)通过一轻质细杆与力传感器相连，浮体A的底面与水箱底的距离为0.1 m，柱形薄壁水箱的底面积为1 m²。当水箱内水位低于最低水位线a时，注水系统自动往水箱内注水；当水位到达0.6 m时，轻质细杆对力传感器的作用力恰好为0；当水位到达最高水位线b时，注水系统停止注水。当水位位于a、b水位线时，轻质细杆对力传感器的作用力大小均为40 N。($g=10\ \mathrm{N/kg}$,$\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)求：
(1)浮体A的重力；
(2)当水位位于最低水位线a时，水对浮体A底面的压强；
(3)当水位位于最高水位线b时，水箱内水的质量。
(1)浮体A的重力；
(2)当水位位于最低水位线a时，水对浮体A底面的压强；
(3)当水位位于最高水位线b时，水箱内水的质量。
答案
29.解析 (1)当水位到达0.6 m时,轻质细杆对力传感器的作用力恰好为0,则此时浮体A受到的重力和浮力互相平衡,浮体A排开水的体积$V_排=S_Ah=0.01\ \mathrm{m}^2×(0.6\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m})=0.005\ \mathrm{m}^3$;浮体A受到的浮力$F_浮=\rho_水gV_排=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.005\ \mathrm{m}^3=50\ \mathrm{N}$,则浮体A的重力$G=F_浮=50\ \mathrm{N}$。
…………………………………………………………… (3分)
(2)当水位位于a水位线时,轻质细杆对力传感器的作用力大小为40 N,此时浮体A受到的浮力小于重力,轻质细杆对浮体A向上的拉力$F_1=40\ \mathrm{N}$,浮体A受到的浮力$F_浮'=G-F_1=50\ \mathrm{N}-40\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$;浮体A受到的浮力等于浮体上下表面受到的压力差,浮体A上表面在水面上,上表面受的压力为0,因此水对浮体A底面的压力$F=F_浮'=10\ \mathrm{N}$,水对浮体A底面的压强$p=\frac{F}{S_A}=\frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2}=1000\ \mathrm{Pa}$。 …… (3分)
(3)当水位位于最高水位线b时,轻质细杆对力传感器的作用力大小为40 N,此时浮体A受到的浮力大于重力,轻质细杆对浮体A向下的压力$F_2=40\ \mathrm{N}$,浮体A受到的浮力$F_浮''=G+F_2=50\ \mathrm{N}+40\ \mathrm{N}=90\ \mathrm{N}$,浮体A浸入水中的体积$V_排''=\frac{F_浮''}{\rho_水g}=\frac{90\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.009\ \mathrm{m}^3$;浮体A浸入水中的深度$h'=\frac{V_排''}{S_A}=\frac{0.009\ \mathrm{m}^3}{0.01\ \mathrm{m}^2}=0.9\ \mathrm{m}$;水箱内水的深度$h_水=0.9\ \mathrm{m}+0.1\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{m}$;水箱内水的体积$V_水=Sh_水-V_排''=1\ \mathrm{m}^2×1\ \mathrm{m}-0.009\ \mathrm{m}^3=0.991\ \mathrm{m}^3$;水箱内水的质量$m_水=\rho_水V_水=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.991\ \mathrm{m}^3=991\ \mathrm{kg}$。 ……… (4分)
…………………………………………………………… (3分)
(2)当水位位于a水位线时,轻质细杆对力传感器的作用力大小为40 N,此时浮体A受到的浮力小于重力,轻质细杆对浮体A向上的拉力$F_1=40\ \mathrm{N}$,浮体A受到的浮力$F_浮'=G-F_1=50\ \mathrm{N}-40\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$;浮体A受到的浮力等于浮体上下表面受到的压力差,浮体A上表面在水面上,上表面受的压力为0,因此水对浮体A底面的压力$F=F_浮'=10\ \mathrm{N}$,水对浮体A底面的压强$p=\frac{F}{S_A}=\frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2}=1000\ \mathrm{Pa}$。 …… (3分)
(3)当水位位于最高水位线b时,轻质细杆对力传感器的作用力大小为40 N,此时浮体A受到的浮力大于重力,轻质细杆对浮体A向下的压力$F_2=40\ \mathrm{N}$,浮体A受到的浮力$F_浮''=G+F_2=50\ \mathrm{N}+40\ \mathrm{N}=90\ \mathrm{N}$,浮体A浸入水中的体积$V_排''=\frac{F_浮''}{\rho_水g}=\frac{90\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.009\ \mathrm{m}^3$;浮体A浸入水中的深度$h'=\frac{V_排''}{S_A}=\frac{0.009\ \mathrm{m}^3}{0.01\ \mathrm{m}^2}=0.9\ \mathrm{m}$;水箱内水的深度$h_水=0.9\ \mathrm{m}+0.1\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{m}$;水箱内水的体积$V_水=Sh_水-V_排''=1\ \mathrm{m}^2×1\ \mathrm{m}-0.009\ \mathrm{m}^3=0.991\ \mathrm{m}^3$;水箱内水的质量$m_水=\rho_水V_水=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.991\ \mathrm{m}^3=991\ \mathrm{kg}$。 ……… (4分)
解析
【分析】
本题结合浮体的受力平衡与浮力相关知识解题，需分三种水位状态分析浮体受力：①水位0.6m时，细杆作用力为0，浮体重力等于浮力；②最低水位a时，细杆对浮体有向上拉力，浮力为重力减拉力；③最高水位b时，细杆对浮体有向下压力，浮力为重力加拉力。再结合阿基米德原理、压强公式、密度公式逐步计算各问。
【解析】
(1) 当水位到达0.6m时，细杆作用力为0，浮体A受力平衡，重力等于浮力。
浮体A排开水的体积：$V_排 = S_A h = 0.01\ \mathrm{m}^2 × (0.6\ \mathrm{m} - 0.1\ \mathrm{m}) = 0.005\ \mathrm{m}^3$
浮体A受到的浮力：$F_浮 = \rho_水 g V_排 = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 0.005\ \mathrm{m}^3 = 50\ \mathrm{N}$
因此浮体A的重力：$G = F_浮 = 50\ \mathrm{N}$
(2) 当水位在最低水位线a时，细杆对浮体A向上的拉力$F_1 = 40\ \mathrm{N}$，此时浮体A受力平衡，浮力$F_浮' = G - F_1 = 50\ \mathrm{N} - 40\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$。
浮体A上表面在水面上，上表面压力为0，浮力等于水对底面的压力，即$F = F_浮' = 10\ \mathrm{N}$。
水对浮体A底面的压强：$p = \frac{F}{S_A} = \frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2} = 1000\ \mathrm{Pa}$
(3) 当水位在最高水位线b时，细杆对浮体A向下的压力$F_2 = 40\ \mathrm{N}$，此时浮体A受力平衡，浮力$F_浮'' = G + F_2 = 50\ \mathrm{N} + 40\ \mathrm{N} = 90\ \mathrm{N}$。
浮体A排开水的体积：$V_排'' = \frac{F_浮''}{\rho_水 g} = \frac{90\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg}} = 0.009\ \mathrm{m}^3$
浮体A浸入水中的深度：$h' = \frac{V_排''}{S_A} = \frac{0.009\ \mathrm{m}^3}{0.01\ \mathrm{m}^2} = 0.9\ \mathrm{m}$
水箱内水的深度：$h_水 = h' + 0.1\ \mathrm{m} = 0.9\ \mathrm{m} + 0.1\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{m}$
水箱内水的体积：$V_水 = S h_水 - V_排'' = 1\ \mathrm{m}^2 × 1\ \mathrm{m} - 0.009\ \mathrm{m}^3 = 0.991\ \mathrm{m}^3$
水箱内水的质量：$m_水 = \rho_水 V_水 = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.991\ \mathrm{m}^3 = 991\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) 50 N；(2) 1000 Pa；(3) 991 kg
【知识点】
浮力、压强、密度计算
【点评】
本题为力学综合题，需结合受力分析、阿基米德原理、压强公式及密度公式，关键是明确不同水位下浮体的受力关系，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
本题结合浮体的受力平衡与浮力相关知识解题，需分三种水位状态分析浮体受力：①水位0.6m时，细杆作用力为0，浮体重力等于浮力；②最低水位a时，细杆对浮体有向上拉力，浮力为重力减拉力；③最高水位b时，细杆对浮体有向下压力，浮力为重力加拉力。再结合阿基米德原理、压强公式、密度公式逐步计算各问。
【解析】
(1) 当水位到达0.6m时，细杆作用力为0，浮体A受力平衡，重力等于浮力。
浮体A排开水的体积：$V_排 = S_A h = 0.01\ \mathrm{m}^2 × (0.6\ \mathrm{m} - 0.1\ \mathrm{m}) = 0.005\ \mathrm{m}^3$
浮体A受到的浮力：$F_浮 = \rho_水 g V_排 = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg} × 0.005\ \mathrm{m}^3 = 50\ \mathrm{N}$
因此浮体A的重力：$G = F_浮 = 50\ \mathrm{N}$
(2) 当水位在最低水位线a时，细杆对浮体A向上的拉力$F_1 = 40\ \mathrm{N}$，此时浮体A受力平衡，浮力$F_浮' = G - F_1 = 50\ \mathrm{N} - 40\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$。
浮体A上表面在水面上，上表面压力为0，浮力等于水对底面的压力，即$F = F_浮' = 10\ \mathrm{N}$。
水对浮体A底面的压强：$p = \frac{F}{S_A} = \frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2} = 1000\ \mathrm{Pa}$
(3) 当水位在最高水位线b时，细杆对浮体A向下的压力$F_2 = 40\ \mathrm{N}$，此时浮体A受力平衡，浮力$F_浮'' = G + F_2 = 50\ \mathrm{N} + 40\ \mathrm{N} = 90\ \mathrm{N}$。
浮体A排开水的体积：$V_排'' = \frac{F_浮''}{\rho_水 g} = \frac{90\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 10\ \mathrm{N/kg}} = 0.009\ \mathrm{m}^3$
浮体A浸入水中的深度：$h' = \frac{V_排''}{S_A} = \frac{0.009\ \mathrm{m}^3}{0.01\ \mathrm{m}^2} = 0.9\ \mathrm{m}$
水箱内水的深度：$h_水 = h' + 0.1\ \mathrm{m} = 0.9\ \mathrm{m} + 0.1\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{m}$
水箱内水的体积：$V_水 = S h_水 - V_排'' = 1\ \mathrm{m}^2 × 1\ \mathrm{m} - 0.009\ \mathrm{m}^3 = 0.991\ \mathrm{m}^3$
水箱内水的质量：$m_水 = \rho_水 V_水 = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.991\ \mathrm{m}^3 = 991\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1) 50 N；(2) 1000 Pa；(3) 991 kg
【知识点】
浮力、压强、密度计算
【点评】
本题为力学综合题，需结合受力分析、阿基米德原理、压强公式及密度公式，关键是明确不同水位下浮体的受力关系，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
