2026年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版第180页答案

1. 圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分边BC，与边BC交于点F，则弦AE的长为

$\frac{6}{5}\sqrt{5}$

。

答案

1. $\frac{6}{5}\sqrt{5}$ 提示:点 B 到弦 AE 的垂线段长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,由勾股定理或射影定理,求得弦 AE 的长为$\frac{6}{5}\sqrt{5}$.

2. 正六边形的面积是 $18\sqrt{3}$，它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为

$3π$

.(结果保留π)

答案

2. $3π$ 提示:由正六边形的面积为 $18\sqrt{3}$,得正六边形的边长为 $2\sqrt{3}$,边心距为 3,从而正六边形的外接圆半径为 $2\sqrt{3}$,内切圆半径为 3,故所围成的圆环面积为 $3π$.

3. 正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为

$1:2:3$

答案

3. $1:2:3$ 提示:设正三角形的边长为 $a$,则内切圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}a$,外接圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,故内切圆半径、外接圆半径和高的比为 $1:2:3$.

4. 在半径为$R$的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为

$\sqrt{2}:1$

答案

4. $\sqrt{2}:1$ 提示:内接正方形的边长为$\sqrt{2}R$,内接正六边形的边长为 $R$,其比为$\sqrt{2}:1$.

5. 正三角形与它的内切圆及外接圆三者面积之比为

$3\sqrt{3}:π:4π$

.(结果保留π)

答案

5. $3\sqrt{3}:π:4π$ 提示:设正三角形的边长为 $a$,则内切圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}a$,外接圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,其面积分别为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$,$\frac{1}{12}π a^2$和$\frac{1}{3}π a^2$,三者之比为 $3\sqrt{3}:π:4π$.

6. 正三角形的外接圆半径为 4，以正三角形的一边为边作正方形，此正方形的外接圆半径长为

$2\sqrt{6}$

。

答案

6. $2\sqrt{6}$ 提示:求得正三角形的边长即所作正方形的边长为 $4\sqrt{3}$,从而外接圆的半径长为 $2\sqrt{6}$.

7. 正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为

$(\frac{1}{2}π-1)r^2$

.(结果保留π)

答案

7. $(\frac{1}{2}π-1)r^2$ 提示:由已知得正方形的边长为 $2r$,从而正方形的外接圆半径为$\sqrt{2}r$,所求弓形的面积为$(\frac{1}{2}π-1)r^2$.

8. 如果正三角形的边长为$a$，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的

$2$

倍。

答案

8. $2$ 提示:边长为 $a$ 的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为$\frac{\sqrt{3}}{3}a$,$\frac{\sqrt{3}}{6}a$,其周长分别为$\frac{2\sqrt{3}}{3}π a$和$\frac{\sqrt{3}}{3}π a$,故它的外接圆周长是内切圆周长的 2 倍.

1. 如图，已知在正六边形ABCDEF中，$AC=2\sqrt{3}$，则它的边长是

$2$

。