20. 已知$\odot O$的直径为10，点$A,B,C$在$\odot O$上，$∠ CAB$的平分线交$\odot O$于点$D$.
（1）如图①，若$BC$为$\odot O$的直径，$AB=6$，求$AC,BD,CD$的长；
（2）如图②，若$∠ CAB=60°$，求$BD$的长.

20. （1）如图①,$\because BC$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ CAB=∠ BDC=90°. \because$在$\mathrm{Rt}△ CAB$中,$BC=10,AB=6, \therefore$由勾股定理,得 $AC = \sqrt{BC^2-AB^2} = \sqrt{10^2-6^2} = 8. \because AD$ 平分$∠ CAB, \therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}, \therefore CD=BD.$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$BC=10,CD^2+BD^2=BC^2, \therefore BD=CD=5\sqrt{2}.$ （2）如图②,连接 $OB, OD. \because AD$ 平分 $∠ CAB$, 且 $∠ CAB = 60°$,$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=30°, \therefore ∠ DOB=2∠ DAB=60°.$ 又 $OB=OD, \therefore △ OBD$ 是等边三角形, $\therefore BD=OB=OD. \because \odot O$ 的直径为 10, $\therefore OB=5, \therefore BD=5.$

21. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,以$BC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$,切线$DE$交$AC$于点$E$.
(1) 求证:$∠ A=∠ ADE$;
(2) 若$AD=8$,$DE=5$,求$BC$的长.

21. （1）证明:连接 $OD. \because DE$ 是切线, $\therefore ∠ ODE=90°, \therefore ∠ ADE+∠ BDO=90°. \because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ A+∠ B=90°. \because OD=OB, \therefore ∠ B=∠ BDO, \therefore ∠ A=∠ ADE.$ （2）连接 $CD. \because ∠ ADE=∠ A, \therefore AE=DE. \because BC$ 是 $\odot O$ 的直径, $∠ ACB=90°, \therefore EC$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore ED=EC, \therefore AE=EC. \because DE=5, \therefore AC=2DE=10.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=6, \therefore BD^2+6^2=(BD+8)^2-10^2,$ 解得 $BD=\frac{9}{2}, \therefore BC=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}.$