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如图3-6,在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,且AB=AC.由于某种原因,C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=1.5 km,CH=1.2 km,HB=0.9 km.CH是否为从村庄C到河边的最近路?如果是,新路CH比原路CA短多少千米?
答案
解：
在△CHB中，
∵ $CH^2 + HB^2 = 1.2^2 + 0.9^2 = 1.44 + 0.81 = 2.25$，
$CB^2 = 1.5^2 = 2.25$，
∴ $CH^2 + HB^2 = CB^2$，
∴ △CHB是直角三角形，且$∠ CHB = 90°$，
∴ $CH ⊥ AB$。
根据垂线段最短的性质，可知CH是从村庄C到河边的最近路。
设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AB = AC$，
∴ $AB = x\ \mathrm{km}$，
∴ $AH = AB - HB = (x - 0.9)\ \mathrm{km}$。
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
即 $x^2 = (x - 0.9)^2 + 1.2^2$，
展开得 $x^2 = x^2 - 1.8x + 0.81 + 1.44$，
整理得 $1.8x = 2.25$，
解得 $x = 1.25$。
∴ $CA - CH = 1.25 - 1.2 = 0.05\ (\mathrm{km})$。
答：CH是从村庄C到河边的最近路，新路CH比原路CA短0.05千米。
在△CHB中，
∵ $CH^2 + HB^2 = 1.2^2 + 0.9^2 = 1.44 + 0.81 = 2.25$，
$CB^2 = 1.5^2 = 2.25$，
∴ $CH^2 + HB^2 = CB^2$，
∴ △CHB是直角三角形，且$∠ CHB = 90°$，
∴ $CH ⊥ AB$。
根据垂线段最短的性质，可知CH是从村庄C到河边的最近路。
设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AB = AC$，
∴ $AB = x\ \mathrm{km}$，
∴ $AH = AB - HB = (x - 0.9)\ \mathrm{km}$。
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
即 $x^2 = (x - 0.9)^2 + 1.2^2$，
展开得 $x^2 = x^2 - 1.8x + 0.81 + 1.44$，
整理得 $1.8x = 2.25$，
解得 $x = 1.25$。
∴ $CA - CH = 1.25 - 1.2 = 0.05\ (\mathrm{km})$。
答：CH是从村庄C到河边的最近路，新路CH比原路CA短0.05千米。
解析
【分析】
要判断CH是否为村庄C到河边的最近路，根据垂线段最短的性质，只需验证CH是否垂直AB即可。已知△CHB的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断△CHB是否为直角三角形、∠CHB是否为直角。确认CH垂直AB后，要求CH比CA短多少，已知AB=AC，可设AC的长度为x，用含x的式子表示出AH的长度，再在Rt△ACH中利用勾股定理列方程求解AC的长度，最后计算AC与CH的差值即可。
【解析】
在△CHB中，
∵ $CH^2 + HB^2 = 1.2^2 + 0.9^2 = 1.44 + 0.81 = 2.25$，
$CB^2 = 1.5^2 = 2.25$，
∴ $CH^2 + HB^2 = CB^2$，
∴ △CHB是直角三角形，且$∠ CHB = 90°$，
∴ $CH ⊥ AB$。
根据垂线段最短的性质，可知CH是从村庄C到河边的最近路。
设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AB = AC$，
∴ $AB = x\ \mathrm{km}$，
∴ $AH = AB - HB = (x - 0.9)\ \mathrm{km}$。
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
即 $x^2 = (x - 0.9)^2 + 1.2^2$，
展开得 $x^2 = x^2 - 1.8x + 0.81 + 1.44$，
整理得 $1.8x = 2.25$，
解得 $x = 1.25$。
∴ $CA - CH = 1.25 - 1.2 = 0.05\ (\mathrm{km})$。
【答案】
CH是从村庄C到河边的最近路，新路CH比原路CA短0.05千米。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类典型题，解题时需先利用勾股定理的逆定理判断垂直关系，再通过设未知数结合勾股定理列方程求解，将几何计算与方程思想结合，考查对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断CH是否为村庄C到河边的最近路，根据垂线段最短的性质，只需验证CH是否垂直AB即可。已知△CHB的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断△CHB是否为直角三角形、∠CHB是否为直角。确认CH垂直AB后，要求CH比CA短多少，已知AB=AC，可设AC的长度为x，用含x的式子表示出AH的长度，再在Rt△ACH中利用勾股定理列方程求解AC的长度，最后计算AC与CH的差值即可。
【解析】
在△CHB中，
∵ $CH^2 + HB^2 = 1.2^2 + 0.9^2 = 1.44 + 0.81 = 2.25$，
$CB^2 = 1.5^2 = 2.25$，
∴ $CH^2 + HB^2 = CB^2$，
∴ △CHB是直角三角形，且$∠ CHB = 90°$，
∴ $CH ⊥ AB$。
根据垂线段最短的性质，可知CH是从村庄C到河边的最近路。
设$AC = x\ \mathrm{km}$，
∵ $AB = AC$，
∴ $AB = x\ \mathrm{km}$，
∴ $AH = AB - HB = (x - 0.9)\ \mathrm{km}$。
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
即 $x^2 = (x - 0.9)^2 + 1.2^2$，
展开得 $x^2 = x^2 - 1.8x + 0.81 + 1.44$，
整理得 $1.8x = 2.25$，
解得 $x = 1.25$。
∴ $CA - CH = 1.25 - 1.2 = 0.05\ (\mathrm{km})$。
【答案】
CH是从村庄C到河边的最近路，新路CH比原路CA短0.05千米。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类典型题，解题时需先利用勾股定理的逆定理判断垂直关系，再通过设未知数结合勾股定理列方程求解，将几何计算与方程思想结合，考查对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
例1 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题.如图3-7,有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
图3-7
图3-7
答案
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺。
由题意得，水池正中央到岸边的水平距离为10÷2=5尺，
根据勾股定理，得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$2x=24$
解得：$x=12$
则芦苇的长度为$x+1=12+1=13$（尺）。
答：这个水池的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺。
由题意得，水池正中央到岸边的水平距离为10÷2=5尺，
根据勾股定理，得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$2x=24$
解得：$x=12$
则芦苇的长度为$x+1=12+1=13$（尺）。
答：这个水池的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺。
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，首先要把实际场景转化为直角三角形数学模型：水池深度是直角三角形的一条直角边，水池正中央到岸边的水平距离是另一条直角边，芦苇长度是直角三角形的斜边。已知芦苇比水深多1尺，水面是边长为10尺的正方形，可先设水池深度为未知数，用含未知数的式子表示芦苇长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺。
由题意得，水池正中央到岸边的水平距离为$10÷2=5$尺，
水深、水平距离、芦苇长度构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$2x=24$
解得：$x=12$
则芦苇的长度为$x+1=12+1=13$（尺）
答：这个水池的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺。
【答案】
水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺。
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；数学建模
【点评】
本题是勾股定理实际应用的经典题型，将生活场景与直角三角形边长关系结合，需要学生合理转化问题，运用方程思想求解，能有效考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道勾股定理的实际应用题，首先要把实际场景转化为直角三角形数学模型：水池深度是直角三角形的一条直角边，水池正中央到岸边的水平距离是另一条直角边，芦苇长度是直角三角形的斜边。已知芦苇比水深多1尺，水面是边长为10尺的正方形，可先设水池深度为未知数，用含未知数的式子表示芦苇长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺。
由题意得，水池正中央到岸边的水平距离为$10÷2=5$尺，
水深、水平距离、芦苇长度构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$2x=24$
解得：$x=12$
则芦苇的长度为$x+1=12+1=13$（尺）
答：这个水池的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺。
【答案】
水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺。
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；数学建模
【点评】
本题是勾股定理实际应用的经典题型，将生活场景与直角三角形边长关系结合，需要学生合理转化问题，运用方程思想求解，能有效考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
例2 某校修建如图3-8 ①所示的自行车棚，钢架已完成。现需要在棚顶覆盖铁皮，图3-8 ②是自行车棚顶的示意图。
已知$AD=BD$，$DC⊥ AB$，垂足为$C$，棚宽$AB=6\ \mathrm{m}$，棚高$DC=1.6\ \mathrm{m}$，棚长$BE=20\ \mathrm{m}$，求覆盖一个车棚顶需要的铁皮面积（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮）。
已知$AD=BD$，$DC⊥ AB$，垂足为$C$，棚宽$AB=6\ \mathrm{m}$，棚高$DC=1.6\ \mathrm{m}$，棚长$BE=20\ \mathrm{m}$，求覆盖一个车棚顶需要的铁皮面积（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮）。
答案
解：
∵ $AD=BD$，$DC⊥ AB$，
∴ $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+DC^2=3^2+1.6^2=9+2.56=11.56$
∴ $BD=3.4\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=BD=3.4\ \mathrm{m}$。
由题意可知，车棚顶铁皮由两个长为$BE=20\ \mathrm{m}$，宽分别为$AD$、$BD$的长方形组成，因此铁皮总面积：
$S=AD· BE + BD· BE=3.4×20 + 3.4×20=136\ \mathrm{m^2}$
答：覆盖一个车棚顶需要的铁皮面积为$\boldsymbol{136\ \mathrm{m^2}}$。
∵ $AD=BD$，$DC⊥ AB$，
∴ $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+DC^2=3^2+1.6^2=9+2.56=11.56$
∴ $BD=3.4\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=BD=3.4\ \mathrm{m}$。
由题意可知，车棚顶铁皮由两个长为$BE=20\ \mathrm{m}$，宽分别为$AD$、$BD$的长方形组成，因此铁皮总面积：
$S=AD· BE + BD· BE=3.4×20 + 3.4×20=136\ \mathrm{m^2}$
答：覆盖一个车棚顶需要的铁皮面积为$\boldsymbol{136\ \mathrm{m^2}}$。
解析
【分析】
要计算车棚顶的铁皮面积，首先需明确棚顶由两个长均为20m的长方形组成，长方形的宽分别为AD、BD。已知AD=BD，因此只需求出BD的长度即可计算总面积。首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由AD=BD、DC⊥AB可推出C是AB的中点，求出BC的长度；再在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长；最后根据长方形面积公式计算两个长方形的面积和，就是所需铁皮的总面积。
【解析】
∵ $AD=BD$，$DC⊥ AB$，
∴ $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+DC^2=3^2+1.6^2=9+2.56=11.56$
∴ $BD=3.4\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=BD=3.4\ \mathrm{m}$。
由题意可知，车棚顶铁皮由两个长为$BE=20\ \mathrm{m}$，宽分别为$AD$、$BD$的长方形组成，因此铁皮总面积：
$S=AD· BE + BD· BE=3.4×20 + 3.4×20=136\ \mathrm{m^2}$
【答案】
$\boldsymbol{136\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用类问题，解题核心是将实际场景转化为几何模型，先通过等腰三角形的性质得到直角三角形的边长，再用勾股定理求出坡面长度，最后结合面积公式求解，能有效考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.75
要计算车棚顶的铁皮面积，首先需明确棚顶由两个长均为20m的长方形组成，长方形的宽分别为AD、BD。已知AD=BD，因此只需求出BD的长度即可计算总面积。首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由AD=BD、DC⊥AB可推出C是AB的中点，求出BC的长度；再在Rt△BCD中利用勾股定理求出BD的长；最后根据长方形面积公式计算两个长方形的面积和，就是所需铁皮的总面积。
【解析】
∵ $AD=BD$，$DC⊥ AB$，
∴ $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+DC^2=3^2+1.6^2=9+2.56=11.56$
∴ $BD=3.4\ \mathrm{m}$，
∴ $AD=BD=3.4\ \mathrm{m}$。
由题意可知，车棚顶铁皮由两个长为$BE=20\ \mathrm{m}$，宽分别为$AD$、$BD$的长方形组成，因此铁皮总面积：
$S=AD· BE + BD· BE=3.4×20 + 3.4×20=136\ \mathrm{m^2}$
【答案】
$\boldsymbol{136\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用类问题，解题核心是将实际场景转化为几何模型，先通过等腰三角形的性质得到直角三角形的边长，再用勾股定理求出坡面长度，最后结合面积公式求解，能有效考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.75
