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6. 下表中每行的第1列有三个数a,b,c,且$a＜b＜c$.
(1) 根据表中已有数的规律,用含$a$的代数式表示$b,c$；
(2) 当$a=20$时,求$b,c$的值.
(1) 根据表中已有数的规律,用含$a$的代数式表示$b,c$；
(2) 当$a=20$时,求$b,c$的值.
答案
解：
(1) 由表中数据可得 $c = b + 2$，
将其代入 $a^2 + b^2 = c^2$，得：
$a^2 + b^2 = (b+2)^2$
展开等式右侧：
$a^2 + b^2 = b^2 + 4b + 4$
消去两侧的$b^2$，整理得：
$4b = a^2 - 4$
因此 $b = \frac{a^2 - 4}{4}$，
$c = b + 2 = \frac{a^2 - 4}{4} + 2 = \frac{a^2 + 4}{4}$
(2) 当$a=20$时，
$b = \frac{20^2 - 4}{4} = \frac{400 - 4}{4} = 99$
$c = \frac{20^2 + 4}{4} = \frac{400 + 4}{4} = 101$
(1) 由表中数据可得 $c = b + 2$，
将其代入 $a^2 + b^2 = c^2$，得：
$a^2 + b^2 = (b+2)^2$
展开等式右侧：
$a^2 + b^2 = b^2 + 4b + 4$
消去两侧的$b^2$，整理得：
$4b = a^2 - 4$
因此 $b = \frac{a^2 - 4}{4}$，
$c = b + 2 = \frac{a^2 - 4}{4} + 2 = \frac{a^2 + 4}{4}$
(2) 当$a=20$时，
$b = \frac{20^2 - 4}{4} = \frac{400 - 4}{4} = 99$
$c = \frac{20^2 + 4}{4} = \frac{400 + 4}{4} = 101$
解析
【分析】
首先观察表格中给出的四组勾股数，可发现每组的最大数c都比b大2，即$c=b+2$；再结合题目给出的$a^2+b^2=c^2$的关系，将$c=b+2$代入该等式，通过整式运算消去$b^2$项，即可整理得到b关于a的代数式，进而得到c关于a的代数式；第二问只需将$a=20$代入第一问得到的代数式计算，即可求出b、c的值。
【解析】
(1) 观察表中各组数据可得$c = b + 2$，
将其代入$a^2 + b^2 = c^2$，得：
$a^2 + b^2 = (b+2)^2$
展开等式右侧：
$a^2 + b^2 = b^2 + 4b + 4$
两边消去$b^2$，整理得：
$4b = a^2 - 4$
因此 $b = \frac{a^2 - 4}{4}$，
则$c = b + 2 = \frac{a^2 - 4}{4} + 2 = \frac{a^2 + 4}{4}$
(2) 当$a=20$时，代入b的表达式：
$b = \frac{20^2 - 4}{4} = \frac{400 - 4}{4} = 99$
代入c的表达式：
$c = \frac{20^2 + 4}{4} = \frac{400 + 4}{4} = 101$
【答案】
(1) $b=\frac{a^2-4}{4}$，$c=\frac{a^2+4}{4}$；(2) $b=99$，$c=101$
【知识点】
规律探究，勾股数，代数式求值
【点评】
本题主要考查勾股数的规律推导能力，解题关键是先观察得到b和c的差值关系，再结合勾股定理的等式推导三者的数量关系，整体计算难度低，只要认真观察数据特征就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中给出的四组勾股数，可发现每组的最大数c都比b大2，即$c=b+2$；再结合题目给出的$a^2+b^2=c^2$的关系，将$c=b+2$代入该等式，通过整式运算消去$b^2$项，即可整理得到b关于a的代数式，进而得到c关于a的代数式；第二问只需将$a=20$代入第一问得到的代数式计算，即可求出b、c的值。
【解析】
(1) 观察表中各组数据可得$c = b + 2$，
将其代入$a^2 + b^2 = c^2$，得：
$a^2 + b^2 = (b+2)^2$
展开等式右侧：
$a^2 + b^2 = b^2 + 4b + 4$
两边消去$b^2$，整理得：
$4b = a^2 - 4$
因此 $b = \frac{a^2 - 4}{4}$，
则$c = b + 2 = \frac{a^2 - 4}{4} + 2 = \frac{a^2 + 4}{4}$
(2) 当$a=20$时，代入b的表达式：
$b = \frac{20^2 - 4}{4} = \frac{400 - 4}{4} = 99$
代入c的表达式：
$c = \frac{20^2 + 4}{4} = \frac{400 + 4}{4} = 101$
【答案】
(1) $b=\frac{a^2-4}{4}$，$c=\frac{a^2+4}{4}$；(2) $b=99$，$c=101$
【知识点】
规律探究，勾股数，代数式求值
【点评】
本题主要考查勾股数的规律推导能力，解题关键是先观察得到b和c的差值关系，再结合勾股定理的等式推导三者的数量关系，整体计算难度低，只要认真观察数据特征就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
7. 证明“勾股定理逆定理”.
答案
证明：
已知：在△ABC中，三边长BC=a，AC=b，AB=c，满足$a^2 + b^2 = c^2$。
求证：△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$。
根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中：
$A'B'^2 = B'C'^2 + A'C'^2 = a^2 + b^2$
由已知$a^2 + b^2 = c^2$，可得$A'B'^2 = c^2$。
因为边长为正数，因此$A'B' = c$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}BC = B'C' = a \\AC = A'C' = b \\AB = A'B' = c\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'$（SSS）
$\therefore ∠ C = ∠ C' = 90°$，即△ABC是直角三角形。
综上，如果三角形的三边长a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，勾股定理逆定理得证。
已知：在△ABC中，三边长BC=a，AC=b，AB=c，满足$a^2 + b^2 = c^2$。
求证：△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$。
根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中：
$A'B'^2 = B'C'^2 + A'C'^2 = a^2 + b^2$
由已知$a^2 + b^2 = c^2$，可得$A'B'^2 = c^2$。
因为边长为正数，因此$A'B' = c$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}BC = B'C' = a \\AC = A'C' = b \\AB = A'B' = c\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'$（SSS）
$\therefore ∠ C = ∠ C' = 90°$，即△ABC是直角三角形。
综上，如果三角形的三边长a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，勾股定理逆定理得证。
解析
【分析】
要证明勾股定理的逆定理，即已知三角形三边长满足$a^2+b^2=c^2$，需证该三角形为直角三角形。直接证明原三角形有直角难度较大，可采用构造转化的思路：先作一个两条直角边分别等于原三角形a、b边长的直角三角形，利用已学的勾股定理算出所作直角三角形的斜边，证明该斜边与原三角形最长边c相等，再通过SSS判定两个三角形全等，借助全等三角形对应角相等的性质，即可推得原三角形中对应角为直角，完成证明。
【解析】
1. 明确已知与求证
已知：在△ABC中，三边长$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，满足$a^2 + b^2 = c^2$。
求证：△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
2. 构造辅助直角三角形
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$。
3. 利用勾股定理计算所作三角形的斜边
在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，由勾股定理得：
$A'B'^2 = B'C'^2 + A'C'^2 = a^2 + b^2$
4. 推导两三角形三边对应相等
结合已知$a^2 + b^2 = c^2$，可得$A'B'^2 = c^2$，因为边长为正数，因此$A'B' = c$。
5. 证明三角形全等
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}BC = B'C' = a \\AC = A'C' = b \\AB = A'B' = c\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'$（SSS）
6. 推导最终结论
由全等三角形对应角相等，得$∠ C = ∠ C' = 90°$，即△ABC是直角三角形，勾股定理逆定理得证。
【答案】
证明：
已知：在△ABC中，三边长BC=a，AC=b，AB=c，满足$a^2 + b^2 = c^2$。
求证：△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$。
根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中：
$A'B'^2 = B'C'^2 + A'C'^2 = a^2 + b^2$
由已知$a^2 + b^2 = c^2$，可得$A'B'^2 = c^2$。
因为边长为正数，因此$A'B' = c$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}BC = B'C' = a \\AC = A'C' = b \\AB = A'B' = c\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'$（SSS）
$\therefore ∠ C = ∠ C' = 90°$，即△ABC是直角三角形。
综上，如果三角形的三边长a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，勾股定理逆定理得证。
【知识点】
勾股定理；全等三角形判定与性质；勾股定理逆定理
【点评】
本题是基础的定理证明题，核心用到了构造法和转化的数学思想，将待证的直角问题转化为已掌握的勾股定理、全等三角形相关知识解决，能够帮助理解定理的推导逻辑，锻炼严谨的几何推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明勾股定理的逆定理，即已知三角形三边长满足$a^2+b^2=c^2$，需证该三角形为直角三角形。直接证明原三角形有直角难度较大，可采用构造转化的思路：先作一个两条直角边分别等于原三角形a、b边长的直角三角形，利用已学的勾股定理算出所作直角三角形的斜边，证明该斜边与原三角形最长边c相等，再通过SSS判定两个三角形全等，借助全等三角形对应角相等的性质，即可推得原三角形中对应角为直角，完成证明。
【解析】
1. 明确已知与求证
已知：在△ABC中，三边长$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，满足$a^2 + b^2 = c^2$。
求证：△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。
2. 构造辅助直角三角形
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$。
3. 利用勾股定理计算所作三角形的斜边
在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，由勾股定理得：
$A'B'^2 = B'C'^2 + A'C'^2 = a^2 + b^2$
4. 推导两三角形三边对应相等
结合已知$a^2 + b^2 = c^2$，可得$A'B'^2 = c^2$，因为边长为正数，因此$A'B' = c$。
5. 证明三角形全等
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}BC = B'C' = a \\AC = A'C' = b \\AB = A'B' = c\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'$（SSS）
6. 推导最终结论
由全等三角形对应角相等，得$∠ C = ∠ C' = 90°$，即△ABC是直角三角形，勾股定理逆定理得证。
【答案】
证明：
已知：在△ABC中，三边长BC=a，AC=b，AB=c，满足$a^2 + b^2 = c^2$。
求证：△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$。
根据勾股定理，在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中：
$A'B'^2 = B'C'^2 + A'C'^2 = a^2 + b^2$
由已知$a^2 + b^2 = c^2$，可得$A'B'^2 = c^2$。
因为边长为正数，因此$A'B' = c$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中：
$\begin{cases}BC = B'C' = a \\AC = A'C' = b \\AB = A'B' = c\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'$（SSS）
$\therefore ∠ C = ∠ C' = 90°$，即△ABC是直角三角形。
综上，如果三角形的三边长a、b、c满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，勾股定理逆定理得证。
【知识点】
勾股定理；全等三角形判定与性质；勾股定理逆定理
【点评】
本题是基础的定理证明题，核心用到了构造法和转化的数学思想，将待证的直角问题转化为已掌握的勾股定理、全等三角形相关知识解决，能够帮助理解定理的推导逻辑，锻炼严谨的几何推理能力。
【难度系数】
0.7
