登录
2. 将下列长度的3根木棒首尾顺次相接，能组成直角三角形的是().
A.1,2,3
B.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
C.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}$
D.6,8,10
A.1,2,3
B.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
C.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}$
D.6,8,10
答案
D
解析
【分析】
要判断三根木棒能否组成直角三角形，需结合勾股定理的逆定理分析：首先排除不能构成三角形的组合，再对剩余选项找到三条边中的最长边，计算最长边的平方，同时计算另外两条较短边的平方和，若二者相等，则可以组成直角三角形，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 边长为1,2,3时，1+2=3，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除；
B. 三条边中最长边为$\frac{1}{3}$，计算得$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，$\frac{1}{9}≠\frac{41}{400}$，不能组成直角三角形，排除；
C. 三条边中最长边为$\sqrt{5}$，计算得$(\sqrt{5})^2=5$，$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=3+4=7$，$5≠7$，不能组成直角三角形，排除；
D. 三条边中最长边为10，计算得$10^2=100$，$6^2+8^2=36+64=100$，满足两短边平方和等于最长边平方，符合勾股定理的逆定理，可以组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用类题目，解题核心是明确逆定理的验证方法：先确定最长边，再验证平方关系，同时不要忽略先判断能否构成三角形，熟练掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断三根木棒能否组成直角三角形，需结合勾股定理的逆定理分析：首先排除不能构成三角形的组合，再对剩余选项找到三条边中的最长边，计算最长边的平方，同时计算另外两条较短边的平方和，若二者相等，则可以组成直角三角形，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 边长为1,2,3时，1+2=3，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除；
B. 三条边中最长边为$\frac{1}{3}$，计算得$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，$\frac{1}{9}≠\frac{41}{400}$，不能组成直角三角形，排除；
C. 三条边中最长边为$\sqrt{5}$，计算得$(\sqrt{5})^2=5$，$(\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=3+4=7$，$5≠7$，不能组成直角三角形，排除；
D. 三条边中最长边为10，计算得$10^2=100$，$6^2+8^2=36+64=100$，满足两短边平方和等于最长边平方，符合勾股定理的逆定理，可以组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用类题目，解题核心是明确逆定理的验证方法：先确定最长边，再验证平方关系，同时不要忽略先判断能否构成三角形，熟练掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 以下列各组数为三边边长的三角形是否为直角三角形？为什么？
(1) 5,12,13；
(2) $\frac{2}{3},\frac{2}{3},1$；
(3) $\frac{4}{3},\frac{5}{3},1$；
(4) 6.5,6,2.5.
(1) 5,12,13；
(2) $\frac{2}{3},\frac{2}{3},1$；
(3) $\frac{4}{3},\frac{5}{3},1$；
(4) 6.5,6,2.5.
答案
解：
(1) 是直角三角形，理由如下：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(2) 不是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$，$1^2 = 1$，
∴ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 ≠ 1^2$，该三角形不是直角三角形。
(3) 是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}$，$(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$，
∴ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = (\frac{5}{3})^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(4) 是直角三角形，理由如下：
∵ $6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25$，$6.5^2 = 42.25$，
∴ $6^2 + 2.5^2 = 6.5^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(1) 是直角三角形，理由如下：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(2) 不是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$，$1^2 = 1$，
∴ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 ≠ 1^2$，该三角形不是直角三角形。
(3) 是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}$，$(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$，
∴ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = (\frac{5}{3})^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(4) 是直角三角形，理由如下：
∵ $6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25$，$6.5^2 = 42.25$，
∴ $6^2 + 2.5^2 = 6.5^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
解析
【分析】
要判断给定三边长的三角形是否为直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理，解题可按三步开展：第一步先找出每组数中最大的边长；第二步分别计算两条较短边长的平方和、最大边长的平方；第三步对比两个计算结果，若相等则为直角三角形，若不相等则不是，计算时要注意分数、小数的平方运算规则，避免计算错误。
【解析】
(1) 是直角三角形，理由如下：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(2) 不是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$，$1^2 = 1$，
∴ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 ≠ 1^2$，该三角形不是直角三角形。
(3) 是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}$，$(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$，
∴ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = (\frac{5}{3})^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(4) 是直角三角形，理由如下：
∵ $6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25$，$6.5^2 = 42.25$，
∴ $6^2 + 2.5^2 = 6.5^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
【答案】
(1)是直角三角形；(2)不是直角三角形；(3)是直角三角形；(4)是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理、有理数乘方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是先确定最长边，再验证两短边平方和与最长边平方是否相等，计算过程中需注意分数、小数的乘方运算准确性，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断给定三边长的三角形是否为直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理，解题可按三步开展：第一步先找出每组数中最大的边长；第二步分别计算两条较短边长的平方和、最大边长的平方；第三步对比两个计算结果，若相等则为直角三角形，若不相等则不是，计算时要注意分数、小数的平方运算规则，避免计算错误。
【解析】
(1) 是直角三角形，理由如下：
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，
∴ $5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(2) 不是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$，$1^2 = 1$，
∴ $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 ≠ 1^2$，该三角形不是直角三角形。
(3) 是直角三角形，理由如下：
∵ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = \frac{16}{9} + 1 = \frac{25}{9}$，$(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$，
∴ $(\frac{4}{3})^2 + 1^2 = (\frac{5}{3})^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
(4) 是直角三角形，理由如下：
∵ $6^2 + 2.5^2 = 36 + 6.25 = 42.25$，$6.5^2 = 42.25$，
∴ $6^2 + 2.5^2 = 6.5^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
【答案】
(1)是直角三角形；(2)不是直角三角形；(3)是直角三角形；(4)是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理、有理数乘方运算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题关键是先确定最长边，再验证两短边平方和与最长边平方是否相等，计算过程中需注意分数、小数的乘方运算准确性，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在边$AC$上,$CE=5$,$BC=13$,$BE=12$.
(1) 判断$△ ABE$的形状,并说明理由;
(2) 求边$AB$的长.
(1) 判断$△ ABE$的形状,并说明理由;
(2) 求边$AB$的长.
答案
解：
(1) $△ ABE$是直角三角形，理由如下：
在$△ BCE$中，$CE=5$，$BE=12$，$BC=13$，
$\because CE^2 + BE^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
$\therefore CE^2 + BE^2 = BC^2$，
$\therefore △ BCE$是直角三角形，且$∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ AEB = 180° - ∠ BEC = 90°$，
$\therefore △ ABE$是直角三角形。
(2) 设$AB=AC=x$，
$\because AC = AE + CE$，$CE=5$，
$\therefore AE = x - 5$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(x-5)^2 + 12^2 = x^2$，
展开整理得$10x = 169$，
解得$x=\frac{169}{10}=16.9$。
综上，$AB$的长为$16.9$（或$\frac{169}{10}$）。
(1) $△ ABE$是直角三角形，理由如下：
在$△ BCE$中，$CE=5$，$BE=12$，$BC=13$，
$\because CE^2 + BE^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
$\therefore CE^2 + BE^2 = BC^2$，
$\therefore △ BCE$是直角三角形，且$∠ BEC=90°$，
$\therefore ∠ AEB = 180° - ∠ BEC = 90°$，
$\therefore △ ABE$是直角三角形。
(2) 设$AB=AC=x$，
$\because AC = AE + CE$，$CE=5$，
$\therefore AE = x - 5$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(x-5)^2 + 12^2 = x^2$，
展开整理得$10x = 169$，
解得$x=\frac{169}{10}=16.9$。
综上，$AB$的长为$16.9$（或$\frac{169}{10}$）。
解析
【分析】
(1) 要判断△ABE的形状，首先观察△BCE的三边长度：5、12、13是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△BCE是否为直角三角形，若得到∠BEC=90°，再根据平角的性质可得∠AEB=90°，即可得出△ABE的形状；
(2) 已知AB=AC，可设AB的长为x，那么AC也为x，结合CE=5可表示出AE=x-5，再在Rt△ABE中利用勾股定理列方程，求解即可得到AB的长度。
【解析】
(1) △ABE是直角三角形，理由如下：
在△BCE中，CE=5，BE=12，BC=13，
∵$CE^2 + BE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴$CE^2 + BE^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△BCE是直角三角形，且$∠BEC=90°$，
∴$∠AEB = 180° - ∠BEC = 180° - 90° = 90°$，
∴△ABE是直角三角形。
(2) 设$AB=AC=x$，
∵$AC = AE + CE$，CE=5，
∴$AE = x - 5$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，由勾股定理得：$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
代入数据得：$(x-5)^2 + 12^2 = x^2$，
展开得：$x^2 -10x +25 +144 = x^2$，
整理得：$10x = 169$，
解得：$x=\frac{169}{10}=16.9$。
【答案】
(1) △ABE是直角三角形；(2) AB的长为16.9（或$\frac{169}{10}$）。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理与逆定理的综合应用题型，解题的关键是先通过勾股逆定理得到直角，再结合等腰三角形的边长关系，利用方程思想求解边长，属于几何基础应用类题目，需要熟练掌握勾股相关定理的使用条件。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ABE的形状，首先观察△BCE的三边长度：5、12、13是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△BCE是否为直角三角形，若得到∠BEC=90°，再根据平角的性质可得∠AEB=90°，即可得出△ABE的形状；
(2) 已知AB=AC，可设AB的长为x，那么AC也为x，结合CE=5可表示出AE=x-5，再在Rt△ABE中利用勾股定理列方程，求解即可得到AB的长度。
【解析】
(1) △ABE是直角三角形，理由如下：
在△BCE中，CE=5，BE=12，BC=13，
∵$CE^2 + BE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$BC^2 = 13^2 = 169$，
∴$CE^2 + BE^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△BCE是直角三角形，且$∠BEC=90°$，
∴$∠AEB = 180° - ∠BEC = 180° - 90° = 90°$，
∴△ABE是直角三角形。
(2) 设$AB=AC=x$，
∵$AC = AE + CE$，CE=5，
∴$AE = x - 5$，
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，由勾股定理得：$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
代入数据得：$(x-5)^2 + 12^2 = x^2$，
展开得：$x^2 -10x +25 +144 = x^2$，
整理得：$10x = 169$，
解得：$x=\frac{169}{10}=16.9$。
【答案】
(1) △ABE是直角三角形；(2) AB的长为16.9（或$\frac{169}{10}$）。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理与逆定理的综合应用题型，解题的关键是先通过勾股逆定理得到直角，再结合等腰三角形的边长关系，利用方程思想求解边长，属于几何基础应用类题目，需要熟练掌握勾股相关定理的使用条件。
【难度系数】
0.7
5. 如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C，D均在网格格点上.
（1）求四边形ABCD的面积.
（2）∠C是直角吗？为什么？
（1）求四边形ABCD的面积.
（2）∠C是直角吗？为什么？
答案
解：
(1) 用割补法，将四边形ABCD置于长为6、宽为5的大矩形内，大矩形面积为$6×5=30$。
减去四边形外4个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×1×5=2.5$，
$S_2=\frac{1}{2}×2×4=4$，
$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$，
$S_4=\frac{1}{2}×1×4=2$，
因此四边形ABCD的面积为$30-2.5-4-1-2=12.5$。
(2) $∠ C$是直角，理由如下：
连接BD，由勾股定理得：
$BC^2=2^2+4^2=20$，
$CD^2=2^2+1^2=5$，
$BD^2=4^2+3^2=25$，
$\therefore BC^2+CD^2=20+5=25=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$∠ C$是直角。
(1) 用割补法，将四边形ABCD置于长为6、宽为5的大矩形内，大矩形面积为$6×5=30$。
减去四边形外4个直角三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}×1×5=2.5$，
$S_2=\frac{1}{2}×2×4=4$，
$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$，
$S_4=\frac{1}{2}×1×4=2$，
因此四边形ABCD的面积为$30-2.5-4-1-2=12.5$。
(2) $∠ C$是直角，理由如下：
连接BD，由勾股定理得：
$BC^2=2^2+4^2=20$，
$CD^2=2^2+1^2=5$，
$BD^2=4^2+3^2=25$，
$\therefore BC^2+CD^2=20+5=25=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$∠ C$是直角。
解析
【分析】
(1) 求解网格中不规则四边形的面积，优先选择割补法：先将四边形框在一个面积易求的大矩形内，算出大矩形的面积，再减去四边形外侧多余的几个直角三角形的面积，就能得到四边形的面积。解题时要先数准大矩形的长、宽，以及各直角三角形的直角边长度，再代入面积公式计算。
(2) 判断∠C是否为直角，可使用勾股定理的逆定理：先连接辅助线BD，分别计算BC、CD、BD的平方，若BC²与CD²的和等于BD²，就说明△BCD是直角三角形，且∠C为直角，反之则不是。
【解析】
(1) 用割补法计算，将四边形ABCD置于长为6、宽为5的大矩形内：
大矩形面积 = $6×5=30$
四边形外侧4个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×1×5=2.5$，$S_2=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_4=\frac{1}{2}×1×4=2$
因此四边形ABCD的面积 = $30-2.5-4-1-2=12.5$
(2) ∠C是直角，理由如下：
连接BD，由勾股定理可得：
$BC^2=2^2+4^2=20$，$CD^2=2^2+1^2=5$，$BD^2=4^2+3^2=25$
$\therefore BC^2+CD^2=20+5=25=BD^2$
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$∠ C$是直角。
【答案】
(1) 四边形ABCD的面积为$\boxed{12.5}$；
(2) $∠ C$是直角，理由见解析。
【知识点】
割补法求面积、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格类典型考题，同时考查了不规则图形的面积计算和直角三角形的判定方法。割补法是求解网格中不规则图形面积的常用技巧，勾股定理与其逆定理结合是判断直角的重要依据，解题时要注意准确数取格点间的长度，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解网格中不规则四边形的面积，优先选择割补法：先将四边形框在一个面积易求的大矩形内，算出大矩形的面积，再减去四边形外侧多余的几个直角三角形的面积，就能得到四边形的面积。解题时要先数准大矩形的长、宽，以及各直角三角形的直角边长度，再代入面积公式计算。
(2) 判断∠C是否为直角，可使用勾股定理的逆定理：先连接辅助线BD，分别计算BC、CD、BD的平方，若BC²与CD²的和等于BD²，就说明△BCD是直角三角形，且∠C为直角，反之则不是。
【解析】
(1) 用割补法计算，将四边形ABCD置于长为6、宽为5的大矩形内：
大矩形面积 = $6×5=30$
四边形外侧4个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×1×5=2.5$，$S_2=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_3=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_4=\frac{1}{2}×1×4=2$
因此四边形ABCD的面积 = $30-2.5-4-1-2=12.5$
(2) ∠C是直角，理由如下：
连接BD，由勾股定理可得：
$BC^2=2^2+4^2=20$，$CD^2=2^2+1^2=5$，$BD^2=4^2+3^2=25$
$\therefore BC^2+CD^2=20+5=25=BD^2$
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$∠ C$是直角。
【答案】
(1) 四边形ABCD的面积为$\boxed{12.5}$；
(2) $∠ C$是直角，理由见解析。
【知识点】
割补法求面积、勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是网格类典型考题，同时考查了不规则图形的面积计算和直角三角形的判定方法。割补法是求解网格中不规则图形面积的常用技巧，勾股定理与其逆定理结合是判断直角的重要依据，解题时要注意准确数取格点间的长度，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
