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如图3-4,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$. 画一个$△ DEF$,使$DF=3\ \mathrm{cm}$,$EF=4\ \mathrm{cm}$,$DE=5\ \mathrm{cm}$. $△ ABC$与$△ DEF$全等吗? $△ DEF$是直角三角形吗? 请说明理由.
答案
解：
△ABC与△DEF全等，△DEF是直角三角形，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
因此 $AB = 5\ \mathrm{cm}$。
在$△ DEF$中，$DF=3\ \mathrm{cm}$，$EF=4\ \mathrm{cm}$，$DE=5\ \mathrm{cm}$，
可得 $DF^2 + EF^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，$DE^2 = 5^2 = 25$，
所以 $DF^2 + EF^2 = DE^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DEF$是直角三角形，且$∠ F=90°$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC = DF = 3\ \mathrm{cm} \\BC = EF = 4\ \mathrm{cm} \\AB = DE = 5\ \mathrm{cm}\end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
△ABC与△DEF全等，△DEF是直角三角形，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
因此 $AB = 5\ \mathrm{cm}$。
在$△ DEF$中，$DF=3\ \mathrm{cm}$，$EF=4\ \mathrm{cm}$，$DE=5\ \mathrm{cm}$，
可得 $DF^2 + EF^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，$DE^2 = 5^2 = 25$，
所以 $DF^2 + EF^2 = DE^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DEF$是直角三角形，且$∠ F=90°$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC = DF = 3\ \mathrm{cm} \\BC = EF = 4\ \mathrm{cm} \\AB = DE = 5\ \mathrm{cm}\end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
解析
【分析】
要解决本题的两个问题，可按以下思路逐步推导：首先，已知Rt△ABC的两条直角边长，先利用勾股定理计算出斜边AB的长度，得到△ABC的三边长；其次，针对△DEF的三边长，通过计算较短两边的平方和与最长边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，即可判断△DEF是否为直角三角形；最后，对比△ABC和△DEF的三边长，若三边对应相等，即可根据SSS判定定理判断两个三角形全等。
【解析】
△ABC与△DEF全等，△DEF是直角三角形，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
因此 $AB = 5\ \mathrm{cm}$。
在$△ DEF$中，$DF=3\ \mathrm{cm}$，$EF=4\ \mathrm{cm}$，$DE=5\ \mathrm{cm}$，
可得 $DF^2 + EF^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，$DE^2 = 5^2 = 25$，
所以 $DF^2 + EF^2 = DE^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DEF$是直角三角形，且$∠ F=90°$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC = DF = 3\ \mathrm{cm} \\BC = EF = 4\ \mathrm{cm} \\AB = DE = 5\ \mathrm{cm}\end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
【答案】
$\boldsymbol{△ABC}$与$\boldsymbol{△DEF}$全等，$\boldsymbol{△DEF}$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形SSS判定
【点评】
本题属于基础综合题，将勾股定理、勾股定理的逆定理和全等三角形判定结合考查，解题时按逻辑逐步推导即可，能有效检验对基础几何定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题的两个问题，可按以下思路逐步推导：首先，已知Rt△ABC的两条直角边长，先利用勾股定理计算出斜边AB的长度，得到△ABC的三边长；其次，针对△DEF的三边长，通过计算较短两边的平方和与最长边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，即可判断△DEF是否为直角三角形；最后，对比△ABC和△DEF的三边长，若三边对应相等，即可根据SSS判定定理判断两个三角形全等。
【解析】
△ABC与△DEF全等，△DEF是直角三角形，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
因此 $AB = 5\ \mathrm{cm}$。
在$△ DEF$中，$DF=3\ \mathrm{cm}$，$EF=4\ \mathrm{cm}$，$DE=5\ \mathrm{cm}$，
可得 $DF^2 + EF^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，$DE^2 = 5^2 = 25$，
所以 $DF^2 + EF^2 = DE^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DEF$是直角三角形，且$∠ F=90°$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC = DF = 3\ \mathrm{cm} \\BC = EF = 4\ \mathrm{cm} \\AB = DE = 5\ \mathrm{cm}\end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
【答案】
$\boldsymbol{△ABC}$与$\boldsymbol{△DEF}$全等，$\boldsymbol{△DEF}$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形SSS判定
【点评】
本题属于基础综合题，将勾股定理、勾股定理的逆定理和全等三角形判定结合考查，解题时按逻辑逐步推导即可，能有效检验对基础几何定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
例1 如图3-5，在四边形ABCD中，AB=20，AD=15，CD=7，BC=24，∠A=90°. 求证：∠C=90°. 
答案
证明：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=20，AD=15，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 625$。
又∵ CD=7，BC=24，
∴ $CD^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 625$。
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
∵ ∠A=90°，AB=20，AD=15，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 625$。
又∵ CD=7，BC=24，
∴ $CD^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 625$。
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
解析
【分析】
要证明∠C=90°，本质是证明△BCD为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。已知△ABD是含直角的三角形，可先连接辅助线BD，通过勾股定理计算出BD的平方值，再代入△BCD的边长验证是否满足逆定理的条件即可。
【解析】
证明：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=20，AD=15，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 625$。
又
∵ CD=7，BC=24，
∴ $CD^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 625$。
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
【答案】
证明：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=20，AD=15，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 625$。
又
∵ CD=7，BC=24，
∴ $CD^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 625$。
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与逆定理的典型综合应用题，通过连接对角线将四边形问题转化为三角形问题是解决此类图形问题的常用思路，要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用场景。
【难度系数】
0.8
要证明∠C=90°，本质是证明△BCD为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。已知△ABD是含直角的三角形，可先连接辅助线BD，通过勾股定理计算出BD的平方值，再代入△BCD的边长验证是否满足逆定理的条件即可。
【解析】
证明：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=20，AD=15，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 625$。
又
∵ CD=7，BC=24，
∴ $CD^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 625$。
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
【答案】
证明：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=20，AD=15，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 625$。
又
∵ CD=7，BC=24，
∴ $CD^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 625$。
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理与逆定理的典型综合应用题，通过连接对角线将四边形问题转化为三角形问题是解决此类图形问题的常用思路，要熟练掌握勾股定理及其逆定理的适用场景。
【难度系数】
0.8
例2 一个三角形的三边比为$1:\sqrt{3}:2$，这个三角形是直角三角形吗？请证明你的结论。
答案
证明：这个三角形是直角三角形。
设三角形的三边长分别为$k$，$\sqrt{3}k$，$2k$（其中$k＞0$）。
$\because (2k)^2 = 4k^2$，
$k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，
$\therefore k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = (2k)^2$。
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
设三角形的三边长分别为$k$，$\sqrt{3}k$，$2k$（其中$k＞0$）。
$\because (2k)^2 = 4k^2$，
$k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，
$\therefore k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = (2k)^2$。
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，可运用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。本题给出的是三边的比例关系，我们可以先设比例系数为$k$（$k＞0$，边长为正数），用含$k$的式子表示出三边长度，再分别计算最长边的平方和另外两边的平方和，比较二者是否相等即可得出结论。
【解析】
解：这个三角形是直角三角形，证明如下：
设三角形的三边长分别为$ k $，$ \sqrt{3}k $，$ 2k $（其中$ k＞0 $）。
$\because (2k)^2 = 4k^2$，
$k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，
$\therefore k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = (2k)^2$。
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
【答案】
这个三角形是直角三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理；比例的应用
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题，解题核心是通过设参数将比例关系转化为可计算的边长表达式，再结合逆定理的判定条件验证即可，掌握该方法可快速解决已知三边比例判断三角形形状的相关问题。
【难度系数】
0.8
要判断三角形是否为直角三角形，可运用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。本题给出的是三边的比例关系，我们可以先设比例系数为$k$（$k＞0$，边长为正数），用含$k$的式子表示出三边长度，再分别计算最长边的平方和另外两边的平方和，比较二者是否相等即可得出结论。
【解析】
解：这个三角形是直角三角形，证明如下：
设三角形的三边长分别为$ k $，$ \sqrt{3}k $，$ 2k $（其中$ k＞0 $）。
$\because (2k)^2 = 4k^2$，
$k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，
$\therefore k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = (2k)^2$。
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
【答案】
这个三角形是直角三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理；比例的应用
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题，解题核心是通过设参数将比例关系转化为可计算的边长表达式，再结合逆定理的判定条件验证即可，掌握该方法可快速解决已知三边比例判断三角形形状的相关问题。
【难度系数】
0.8
1. 如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。
答案
解：$a^2 + b^2 = c^2$
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的内容，解题时先回忆勾股定理逆定理的定义：勾股定理描述的是直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其逆定理是用来判定三角形为直角三角形的依据，只需验证三边满足“较短两边的平方和等于最长边的平方”即可，通常约定c为三角形三边中的最长边，对应填入对应的数量关系式即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，对应的关系式为$a^2 + b^2 = c^2$，因此横线处填写该式。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查勾股定理逆定理的核心内容，掌握相关定义即可快速得分，是直角三角形判定相关知识的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理逆定理的内容，解题时先回忆勾股定理逆定理的定义：勾股定理描述的是直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其逆定理是用来判定三角形为直角三角形的依据，只需验证三边满足“较短两边的平方和等于最长边的平方”即可，通常约定c为三角形三边中的最长边，对应填入对应的数量关系式即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，对应的关系式为$a^2 + b^2 = c^2$，因此横线处填写该式。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查勾股定理逆定理的核心内容，掌握相关定义即可快速得分，是直角三角形判定相关知识的基础题型。
【难度系数】
0.9
