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8. 中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让分拣效率大大提升。某分拣仓库采用智能装备系统计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天分拣量与计划量相比有出入，超过计划量记为正，未达计划量记为负，下面是该仓库10月份第一周每天分拣包裹的情况（单位：万件）：+5，-1，-3，+6，-1，+4，-8，求该仓库本周实际分拣包裹的总件数。
答案
8. 解:该仓库本周实际分拣量与计划量的差值之和为$(+5)+(-1)+(-3)+(+6)+(-1)+(+4)+(-8)=2$(万件),$20×7+2=142$(万件),
所以该仓库本周实际分拣包裹的总件数为142万件。
所以该仓库本周实际分拣包裹的总件数为142万件。
解析
【分析】
解题时首先明确题中正负数的含义，“+”表示超过每日计划分拣量，“-”表示低于每日计划分拣量。我们可以先求出本周7天实际分拣量和计划量的总差值，再计算本周计划分拣的总件数，二者相加即可得到实际总分拣量，该方法比分别计算每日实际分拣量再求和更简便。
【解析】
1. 先计算本周实际分拣量与计划量的差值总和：
$\begin{aligned}&(+5)+(-1)+(-3)+(+6)+(-1)+(+4)+(-8)\\=&5-1-3+6-1+4-8\\=&2(\mathrm{万件})\end{aligned}$
2. 计算本周计划分拣的总件数：
计划日均分拣20万件，一周共7天，计划总件数为 $20×7=140(\mathrm{万件})$
3. 计算本周实际总分拣量：
实际总件数=计划总件数+总差值，即 $140+2=142(\mathrm{万件})$
【答案】
142万件
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加法运算
【点评】
本题结合快递分拣的生活场景命题，既考查对正负数实际意义的理解，也考查有理数加法的计算能力，解题核心是正确求出实际分拣量与计划量的总差值，贴近生活实际，能体现数学的实用价值。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题中正负数的含义，“+”表示超过每日计划分拣量，“-”表示低于每日计划分拣量。我们可以先求出本周7天实际分拣量和计划量的总差值，再计算本周计划分拣的总件数，二者相加即可得到实际总分拣量，该方法比分别计算每日实际分拣量再求和更简便。
【解析】
1. 先计算本周实际分拣量与计划量的差值总和：
$\begin{aligned}&(+5)+(-1)+(-3)+(+6)+(-1)+(+4)+(-8)\\=&5-1-3+6-1+4-8\\=&2(\mathrm{万件})\end{aligned}$
2. 计算本周计划分拣的总件数：
计划日均分拣20万件，一周共7天，计划总件数为 $20×7=140(\mathrm{万件})$
3. 计算本周实际总分拣量：
实际总件数=计划总件数+总差值，即 $140+2=142(\mathrm{万件})$
【答案】
142万件
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加法运算
【点评】
本题结合快递分拣的生活场景命题，既考查对正负数实际意义的理解，也考查有理数加法的计算能力，解题核心是正确求出实际分拣量与计划量的总差值，贴近生活实际，能体现数学的实用价值。
【难度系数】
0.8
9. 某只股票一星期的涨跌情况如表2-2-2(正号表示价格比前一天上涨;负号表示价格比前一天下跌;股市周末不开盘,股价无变化)
表2-2-2
该只股票星期五的价格与上星期五相比情况如何？
表2-2-2
该只股票星期五的价格与上星期五相比情况如何？
答案
9. 解:$(+3.18)+(-2.24)+(+1.25)+(-2.73)+(+1.46)$
$=3.18-2.24+1.25-2.73+1.46$
$=3.18+1.25+1.46-2.24-2.73$
$=5.89-4.97$
$=0.92$,
所以该只股票星期五的价格与上星期五相比上涨了0.92元。
$=3.18-2.24+1.25-2.73+1.46$
$=3.18+1.25+1.46-2.24-2.73$
$=5.89-4.97$
$=0.92$,
所以该只股票星期五的价格与上星期五相比上涨了0.92元。
解析
【分析】
首先明确表格中正负号的含义：正号表示当日股价比前一日上涨，负号表示当日股价比前一日下跌。要得到本周五与上周五的股价差值，只需将五天的涨跌数值累加，最终结果的正负表示涨跌，绝对值表示涨跌的金额。计算时可利用加法交换律、结合律，将正数和负数分别归类计算，简化运算过程。
【解析】
解：将五天的涨跌情况相加，计算本周五相对上周五的股价总变化：
$\begin{split}&(+3.18)+(-2.24)+(+1.25)+(-2.73)+(+1.46)\\=&3.18-2.24+1.25-2.73+1.46\\=&(3.18+1.25+1.46)-(2.24+2.73)\\=&5.89-4.97\\=&0.92\end{split}$
结果为正，说明股价相比上周五上涨。
【答案】
该只股票星期五的价格与上星期五相比上涨了0.92元。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减混合运算
【点评】
本题结合生活中股票涨跌的场景考查有理数运算，解题的核心是理解每日涨跌量是相对前一天的变化值，累加所有变化量即可得到指定时间段的总变化，计算时合理运用加法运算律可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
首先明确表格中正负号的含义：正号表示当日股价比前一日上涨，负号表示当日股价比前一日下跌。要得到本周五与上周五的股价差值，只需将五天的涨跌数值累加，最终结果的正负表示涨跌，绝对值表示涨跌的金额。计算时可利用加法交换律、结合律，将正数和负数分别归类计算，简化运算过程。
【解析】
解：将五天的涨跌情况相加，计算本周五相对上周五的股价总变化：
$\begin{split}&(+3.18)+(-2.24)+(+1.25)+(-2.73)+(+1.46)\\=&3.18-2.24+1.25-2.73+1.46\\=&(3.18+1.25+1.46)-(2.24+2.73)\\=&5.89-4.97\\=&0.92\end{split}$
结果为正，说明股价相比上周五上涨。
【答案】
该只股票星期五的价格与上星期五相比上涨了0.92元。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减混合运算
【点评】
本题结合生活中股票涨跌的场景考查有理数运算，解题的核心是理解每日涨跌量是相对前一天的变化值，累加所有变化量即可得到指定时间段的总变化，计算时合理运用加法运算律可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
10. 探索研究：
【观察发现】比较下列各式的大小。（用“＞”“＜”或“=”填空）
①$|-2| + |3|$
②$\left|-\dfrac{1}{2}\right| + \left|-\dfrac{1}{3}\right|$
③$|6| + |-3|$
④$|0| + |-8|$
【类比归纳】通过以上比较，请你分析、归纳出当$a, b$为有理数时，$|a| + |b|$与$|a+b|$的大小关系为
【实践应用】如果$|a_1+a_2| + |a_3+a_4| = 12$，$|a_1+a_2+a_3+a_4| = 2$，那么$a_1 + a_2 =$
10. 探索研究：
【观察发现】比较下列各式的大小。（用“＞”“＜”或“=”填空）
①$|-2| + |3|$
＞
$|-2+3|$；②$\left|-\dfrac{1}{2}\right| + \left|-\dfrac{1}{3}\right|$
=
$\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|$；③$|6| + |-3|$
＞
$|6-3|$；④$|0| + |-8|$
=
$|0-8|$。【类比归纳】通过以上比较，请你分析、归纳出当$a, b$为有理数时，$|a| + |b|$与$|a+b|$的大小关系为
$|a| + |b| ≥ |a + b|$
（直接写出结论即可）。【实践应用】如果$|a_1+a_2| + |a_3+a_4| = 12$，$|a_1+a_2+a_3+a_4| = 2$，那么$a_1 + a_2 =$
7或－7或5或－5
。答案
10.【观察发现】①＞
解析:因为$|-2|+|3|=5$,$|-2+3|=1$,
所以$|-2|+|3|＞|-2+3|$。
②＝
解析:因为$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{5}{6}$,$\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{5}{6}$,
所以$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|$。
③＞
解析:因为$|6|+|-3|=9$,$|6-3|=3$,
所以$|6|+|-3|＞|6-3|$。
④＝
解析:因为$|0|+|-8|=8$,$|0-8|=8$,
所以$|0|+|-8|=|0-8|$。
【类比归纳】$|a|+|b|≥|a+b|$
解析:分三种情况讨论：
当$a,b$异号时，$|a|+|b|＞|a+b|$；
当$a,b$同号时，$|a|+|b|=|a+b|$；
当$a=0$或$b=0$时，$|a|+|b|=|a+b|$。
综上所述，$|a|+|b|≥|a+b|$。
故$|a|+|b|$与$|a+b|$的大小关系为$|a|+|b|≥|a+b|$。
【实践应用】7或－7或5或－5
解析:由$|a_1+a_2|+|a_3+a_4|=12$,$|a_1+a_2+a_3+a_4|=2$,
可得$a_1+a_2$和$a_3+a_4$异号，
则$a_1+a_2=7$或－7或5或－5。
解析:因为$|-2|+|3|=5$,$|-2+3|=1$,
所以$|-2|+|3|＞|-2+3|$。
②＝
解析:因为$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{5}{6}$,$\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{5}{6}$,
所以$\left|-\dfrac{1}{2}\right|+\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|$。
③＞
解析:因为$|6|+|-3|=9$,$|6-3|=3$,
所以$|6|+|-3|＞|6-3|$。
④＝
解析:因为$|0|+|-8|=8$,$|0-8|=8$,
所以$|0|+|-8|=|0-8|$。
【类比归纳】$|a|+|b|≥|a+b|$
解析:分三种情况讨论：
当$a,b$异号时，$|a|+|b|＞|a+b|$；
当$a,b$同号时，$|a|+|b|=|a+b|$；
当$a=0$或$b=0$时，$|a|+|b|=|a+b|$。
综上所述，$|a|+|b|≥|a+b|$。
故$|a|+|b|$与$|a+b|$的大小关系为$|a|+|b|≥|a+b|$。
【实践应用】7或－7或5或－5
解析:由$|a_1+a_2|+|a_3+a_4|=12$,$|a_1+a_2+a_3+a_4|=2$,
可得$a_1+a_2$和$a_3+a_4$异号，
则$a_1+a_2=7$或－7或5或－5。
解析
【分析】
本题是绝对值性质的探究类题目，解题可分三步思考：1. 观察发现部分：先分别计算每个式子左右两边的绝对值及运算结果，再比较大小即可；2. 类比归纳部分：结合前面4组式子的结果，分a、b同号、异号、其中一个为0三种情况讨论，总结出$|a|+|b|$与$|a+b|$的大小关系；3. 实践应用部分：把$a_1+a_2$和$a_3+a_4$看作两个整体，结合刚归纳的结论判断两个整体异号，再根据绝对值和与和的绝对值的关系列等式求解即可。
【解析】
观察发现
① 计算左边：$|-2|+|3|=2+3=5$，右边：$|-2+3|=|1|=1$，$5＞1$；
② 计算左边：$\left|-\dfrac{1}{2}\right| + \left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$，右边：$\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|=\left|-\dfrac{5}{6}\right|=\dfrac{5}{6}$，$\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{6}$；
③ 计算左边：$|6|+|-3|=6+3=9$，右边：$|6-3|=|3|=3$，$9＞3$；
④ 计算左边：$|0|+|-8|=0+8=8$，右边：$|0-8|=|-8|=8$，$8=8$。
类比归纳
分三种情况分析：
当a、b异号时，如①③，可得$|a|+|b|＞|a+b|$；
当a、b同号，或其中一个为0时，如②④，可得$|a|+|b|=|a+b|$；
综上可得$|a|+|b|\ge|a+b|$。
实践应用
设$x=a_1+a_2$，$y=a_3+a_4$，则已知$|x|+|y|=12$，$|x+y|=2$。
根据归纳的结论，$|x|+|y|＞|x+y|$，说明x和y异号，因此$|x+y|=||x|-|y||=2$。
分两种情况求解：
1. $\begin{cases}|x|-|y|=2\\|x|+|y|=12\end{cases}$，解得$|x|=7$，即$x=\pm7$；
2. $\begin{cases}|y|-|x|=2\\|x|+|y|=12\end{cases}$，解得$|x|=5$，即$x=\pm5$；
因此$a_1+a_2$的值为7或-7或5或-5。
【答案】
【观察发现】①$\boldsymbol{＞}$；②$\boldsymbol{=}$；③$\boldsymbol{＞}$；④$\boldsymbol{=}$
【类比归纳】$\boldsymbol{|a|+|b|\ge|a+b|}$
【实践应用】$\boldsymbol{7或-7或5或-5}$
【知识点】
绝对值运算，绝对值性质，分类讨论思想
【点评】
本题遵循“特殊实例-归纳规律-实践应用”的探究逻辑，既考查了绝对值的基础计算能力，又锻炼了归纳推理和知识迁移应用的能力，是典型的规律探究类题目。
【难度系数】
0.6
本题是绝对值性质的探究类题目，解题可分三步思考：1. 观察发现部分：先分别计算每个式子左右两边的绝对值及运算结果，再比较大小即可；2. 类比归纳部分：结合前面4组式子的结果，分a、b同号、异号、其中一个为0三种情况讨论，总结出$|a|+|b|$与$|a+b|$的大小关系；3. 实践应用部分：把$a_1+a_2$和$a_3+a_4$看作两个整体，结合刚归纳的结论判断两个整体异号，再根据绝对值和与和的绝对值的关系列等式求解即可。
【解析】
观察发现
① 计算左边：$|-2|+|3|=2+3=5$，右边：$|-2+3|=|1|=1$，$5＞1$；
② 计算左边：$\left|-\dfrac{1}{2}\right| + \left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$，右边：$\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|=\left|-\dfrac{5}{6}\right|=\dfrac{5}{6}$，$\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{6}$；
③ 计算左边：$|6|+|-3|=6+3=9$，右边：$|6-3|=|3|=3$，$9＞3$；
④ 计算左边：$|0|+|-8|=0+8=8$，右边：$|0-8|=|-8|=8$，$8=8$。
类比归纳
分三种情况分析：
当a、b异号时，如①③，可得$|a|+|b|＞|a+b|$；
当a、b同号，或其中一个为0时，如②④，可得$|a|+|b|=|a+b|$；
综上可得$|a|+|b|\ge|a+b|$。
实践应用
设$x=a_1+a_2$，$y=a_3+a_4$，则已知$|x|+|y|=12$，$|x+y|=2$。
根据归纳的结论，$|x|+|y|＞|x+y|$，说明x和y异号，因此$|x+y|=||x|-|y||=2$。
分两种情况求解：
1. $\begin{cases}|x|-|y|=2\\|x|+|y|=12\end{cases}$，解得$|x|=7$，即$x=\pm7$；
2. $\begin{cases}|y|-|x|=2\\|x|+|y|=12\end{cases}$，解得$|x|=5$，即$x=\pm5$；
因此$a_1+a_2$的值为7或-7或5或-5。
【答案】
【观察发现】①$\boldsymbol{＞}$；②$\boldsymbol{=}$；③$\boldsymbol{＞}$；④$\boldsymbol{=}$
【类比归纳】$\boldsymbol{|a|+|b|\ge|a+b|}$
【实践应用】$\boldsymbol{7或-7或5或-5}$
【知识点】
绝对值运算，绝对值性质，分类讨论思想
【点评】
本题遵循“特殊实例-归纳规律-实践应用”的探究逻辑，既考查了绝对值的基础计算能力，又锻炼了归纳推理和知识迁移应用的能力，是典型的规律探究类题目。
【难度系数】
0.6
11. 我们可以利用数、形来表示数量关系。
(1)对于“$1+2+3+4+5+4+3+2+1=25$”，用下列图形(如图2-2-4)
(2)对于“$2+4+6+8=20$”，请画出可最直观得到此结论的图形；
(3)计算$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=$
(1)对于“$1+2+3+4+5+4+3+2+1=25$”，用下列图形(如图2-2-4)
②
（填序号）可以最直观得到结论；(2)对于“$2+4+6+8=20$”，请画出可最直观得到此结论的图形；
(3)计算$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=$
$15\dfrac{3}{4}$
，请画出图形，并结合图形说明该结论成立。答案
11. 解:(1)②
(2)(答案不唯一)
方法一(如答图2-2-1)：
答图2-2-1
方法二(如答图2-2-2)：
答图2-2-2
(3)$15\dfrac{3}{4}$
示意图如答图2-2-3所示(答案不唯一)：
答图2-2-3
画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，
即$8,4,2,1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}$,最后剩余面积$\dfrac{1}{4}$,
则有$8+4+2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=16-\dfrac{1}{4}=15\dfrac{3}{4}$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问的核心是理解算式“$1+2+3+4+5+4+3+2+1$”的特征：这是从1到5再回到1的连续自然数求和，结果为$5^2=25$，对应边长为5的正方形总格子数。我们只需观察两个5×5的方格图，看哪个图的阴影块数量正好对应算式的每一项相加，就能选出答案。
(2) 第二问要直观表示“$2+4+6+8=20$”，只需要构造图形，让图形中不同部分的数量分别对应加数2、4、6、8，所有对应部分的总数量为20即可，画法不唯一。
(3) 第三问计算可以直接按有理数加法规则计算，也可以用数形结合的面积法更直观求解：先画总面积为16的正方形，每次取剩余面积的一半作为加数，最后用总面积减去剩余的空白面积，就能快速得到求和结果，同时对应的图形也能直观说明结论。
【解析】
(1) 算式$1+2+3+4+5+4+3+2+1$的和为25，恰好是边长为5的正方形的总格子数。观察题图：
图②的阴影格子每行数量依次为1、2、3、4、5、4、3、2、1，所有阴影格子总数正好对应算式的和，因此选②。
(2) 可通过两种典型画法直观表示$2+4+6+8=20$：
方法一：画2行10列的方格，阴影部分总块数为$2+4+6+8=20$；
方法二：画4行5列的方格，每行阴影块数依次为2、4、6、8，总和为20。
(3) 计算：
方法一：直接按有理数加法规则计算：$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=15+\frac{3}{4}=15\frac{3}{4}$。
方法二：面积法验证：画边长为4的正方形，总面积为$4×4=16$，依次分割取面积的一半，对应加数为$8、4、2、1、\frac{1}{2}、\frac{1}{4}$，最后剩余的空白面积为$\frac{1}{4}$，因此总和为$16-\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$
(2) 画法不唯一，示例：
(3) $\boldsymbol{15\dfrac{3}{4}}$，示意图：
说明：画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即$8,4,2,1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}$，最后剩余面积$\dfrac{1}{4}$，则有$8+4+2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=16-\dfrac{1}{4}=15\dfrac{3}{4}$。
【知识点】
数形结合思想，有理数加法运算，面积法求和
【点评】
这道题将代数求和与几何图形结合，充分体现了数形结合思想的优势，既可以用常规运算求解，也可以通过图形直观快速得到结果，有助于培养转化思维和动手作图能力，题型灵活，能很好地检验学生对数学思想方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问的核心是理解算式“$1+2+3+4+5+4+3+2+1$”的特征：这是从1到5再回到1的连续自然数求和，结果为$5^2=25$，对应边长为5的正方形总格子数。我们只需观察两个5×5的方格图，看哪个图的阴影块数量正好对应算式的每一项相加，就能选出答案。
(2) 第二问要直观表示“$2+4+6+8=20$”，只需要构造图形，让图形中不同部分的数量分别对应加数2、4、6、8，所有对应部分的总数量为20即可，画法不唯一。
(3) 第三问计算可以直接按有理数加法规则计算，也可以用数形结合的面积法更直观求解：先画总面积为16的正方形，每次取剩余面积的一半作为加数，最后用总面积减去剩余的空白面积，就能快速得到求和结果，同时对应的图形也能直观说明结论。
【解析】
(1) 算式$1+2+3+4+5+4+3+2+1$的和为25，恰好是边长为5的正方形的总格子数。观察题图：
图②的阴影格子每行数量依次为1、2、3、4、5、4、3、2、1，所有阴影格子总数正好对应算式的和，因此选②。
(2) 可通过两种典型画法直观表示$2+4+6+8=20$：
方法一：画2行10列的方格，阴影部分总块数为$2+4+6+8=20$；
方法二：画4行5列的方格，每行阴影块数依次为2、4、6、8，总和为20。
(3) 计算：
方法一：直接按有理数加法规则计算：$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=15+\frac{3}{4}=15\frac{3}{4}$。
方法二：面积法验证：画边长为4的正方形，总面积为$4×4=16$，依次分割取面积的一半，对应加数为$8、4、2、1、\frac{1}{2}、\frac{1}{4}$，最后剩余的空白面积为$\frac{1}{4}$，因此总和为$16-\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$
(2) 画法不唯一，示例：
(3) $\boldsymbol{15\dfrac{3}{4}}$，示意图：
说明：画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即$8,4,2,1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}$，最后剩余面积$\dfrac{1}{4}$，则有$8+4+2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=16-\dfrac{1}{4}=15\dfrac{3}{4}$。
【知识点】
数形结合思想，有理数加法运算，面积法求和
【点评】
这道题将代数求和与几何图形结合，充分体现了数形结合思想的优势，既可以用常规运算求解，也可以通过图形直观快速得到结果，有助于培养转化思维和动手作图能力，题型灵活，能很好地检验学生对数学思想方法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
