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13. [2026 泉州晋江学校期末]
将正方体的一种展开图按如图所示的方式放置在直角三角形纸片ABC上，则$\tan B$的值为（
A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
将正方体的一种展开图按如图所示的方式放置在直角三角形纸片ABC上，则$\tan B$的值为（
B
）A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
B 如图,根据题意可得 $DF// BC,\therefore ∠ B = ∠ EDF$(等角转化),$\therefore \tan B = \tan∠EDF = \frac{EF}{FD} = \frac{1}{2}.$
解析
【分析】
要求$\tan B$的值，首先回忆正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。本题中直接求$△ ABC$中$∠ B$的对边和邻边长度不方便，观察图形可得小正方形的边$DF$与$BC$平行，可利用平行线的性质将$∠ B$转化为与它相等的$∠ EDF$，再结合小正方形的边长，计算$∠ EDF$的正切值即可得到$\tan B$的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
$\because DF// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ B=∠ EDF$。
根据正切的定义，$\tan B=\tan∠ EDF$，在包含$∠ EDF$的直角三角形中，$∠ EDF$的对边$EF$长为1，邻边$FD$长为2，因此：
$\tan B=\frac{EF}{FD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义、平行线的性质、等角代换
【点评】
本题结合正方体展开图的背景考查锐角三角函数的计算，解题的关键是利用平行线的性质完成角的转化，将未知角的三角函数值转化为边长可求的直角三角形的内角的三角函数值，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
要求$\tan B$的值，首先回忆正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值。本题中直接求$△ ABC$中$∠ B$的对边和邻边长度不方便，观察图形可得小正方形的边$DF$与$BC$平行，可利用平行线的性质将$∠ B$转化为与它相等的$∠ EDF$，再结合小正方形的边长，计算$∠ EDF$的正切值即可得到$\tan B$的值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
$\because DF// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ B=∠ EDF$。
根据正切的定义，$\tan B=\tan∠ EDF$，在包含$∠ EDF$的直角三角形中，$∠ EDF$的对边$EF$长为1，邻边$FD$长为2，因此：
$\tan B=\frac{EF}{FD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正切的定义、平行线的性质、等角代换
【点评】
本题结合正方体展开图的背景考查锐角三角函数的计算，解题的关键是利用平行线的性质完成角的转化，将未知角的三角函数值转化为边长可求的直角三角形的内角的三角函数值，是对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
14. [2026泉州九中期末] 三角函数$\sin 70°, \cos 70°, \tan 70°$的大小关系是$( )$
A.$\sin 70° ＞ \cos 70° ＞ \tan 70°$
B.$\tan 70° ＞ \cos 70° ＞ \sin 70°$
C.$\tan 70° ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°$
D.$\cos 70° ＞ \tan 70° ＞ \sin 70°$
A.$\sin 70° ＞ \cos 70° ＞ \tan 70°$
B.$\tan 70° ＞ \cos 70° ＞ \sin 70°$
C.$\tan 70° ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°$
D.$\cos 70° ＞ \tan 70° ＞ \sin 70°$
答案
C $\because \cos 70° = \sin 20°,\sin 70° ＞ \sin 20°,\therefore 1 ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°. \because \tan 70° ＞ \tan 45°,\tan 45° = 1,\therefore \tan 70° ＞ 1 ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°.$
(1)互余的两个锐角三角函数间的关系:$\sin A = \cos(90° - ∠A),\cos A = \sin(90° - ∠A)$(二级结论);(2)锐角三角函数值随锐角的大小变化情况:$\sin A,\tan A$的值随$∠A$的增大而增大,$\cos A$的值随$∠A$的增大而减小.
(1)互余的两个锐角三角函数间的关系:$\sin A = \cos(90° - ∠A),\cos A = \sin(90° - ∠A)$(二级结论);(2)锐角三角函数值随锐角的大小变化情况:$\sin A,\tan A$的值随$∠A$的增大而增大,$\cos A$的值随$∠A$的增大而减小.
解析
【分析】要比较三个锐角三角函数值的大小，可按以下思路推导：首先利用互余角的三角函数关系，将余弦转化为正弦，方便和正弦值比较大小；再根据锐角正弦函数的增减性，判断$\sin70°$和$\cos70°$的大小，明确锐角的正弦值均小于1；最后结合正切函数的增减性和特殊角$45°$的正切值，判断$\tan70°$和1的大小，以1为中间量整合三者的大小关系即可。
【解析】根据互余两角的三角函数关系，可得$\cos 70° = \sin(90°-70°)=\sin 20°$，
因为锐角的正弦值随角度增大而增大，所以$\sin 70° ＞ \sin 20°$，即$\sin 70° ＞ \cos 70°$，且锐角的正弦值小于1，因此$1 ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°$；
又因为锐角的正切值随角度增大而增大，$\tan 45°=1$，$70°＞45°$，所以$\tan 70° ＞ \tan 45°=1$，
综上可得$\tan 70° ＞ 1 ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°$，即$\tan 70° ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°$。
【答案】C
【知识点】互余角三角函数关系；锐角三角函数增减性；特殊角的三角函数值
【点评】本题是锐角三角函数大小比较的基础题型，解题核心是通过互余关系统一三角函数类型，利用增减性比较同类型函数大小，再借助中间量“1”衔接正切与正弦、余弦的大小，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】根据互余两角的三角函数关系，可得$\cos 70° = \sin(90°-70°)=\sin 20°$，
因为锐角的正弦值随角度增大而增大，所以$\sin 70° ＞ \sin 20°$，即$\sin 70° ＞ \cos 70°$，且锐角的正弦值小于1，因此$1 ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°$；
又因为锐角的正切值随角度增大而增大，$\tan 45°=1$，$70°＞45°$，所以$\tan 70° ＞ \tan 45°=1$，
综上可得$\tan 70° ＞ 1 ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°$，即$\tan 70° ＞ \sin 70° ＞ \cos 70°$。
【答案】C
【知识点】互余角三角函数关系；锐角三角函数增减性；特殊角的三角函数值
【点评】本题是锐角三角函数大小比较的基础题型，解题核心是通过互余关系统一三角函数类型，利用增减性比较同类型函数大小，再借助中间量“1”衔接正切与正弦、余弦的大小，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】0.7
15. [2026遂宁射洪中学考]在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且$∠ B$和$∠ C$均为锐角.若$c · \cos B = b · \cos C$，则$△ ABC$一定是（
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
C
）A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案
C $\because ∠ B$和$∠ C$均为锐角,$\therefore ∠ A$可能是直角、锐角或钝角. ①如图1,当$∠A$是直角时,$\because \cos B = \frac{c}{a},\cos C = \frac{b}{a}$,$c · \cos B = b · \cos C$,$\therefore c · \frac{c}{a} = b · \frac{b}{a}$,$\therefore c^2 = b^2. \because b,c$均为正数,$\therefore c = b$,$\therefore △ABC$是等腰直角三角形. ②如图2,当$∠A$为锐角或钝角时,过点A作$AD ⊥ BC$于点D,$\because \cos B = \frac{BD}{c}$,$\cos C = \frac{CD}{b}$,$c · \cos B = b · \cos C$,$\therefore c · \frac{BD}{c} = b · \frac{CD}{b}$,$\therefore BD = CD. \because AD ⊥ BC$,$\therefore AB = AC$,$\therefore △ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需结合已知的边角等式推导边或角的关系。已知∠B、∠C均为锐角，我们可以利用锐角三角函数的定义，将余弦转化为直角三角形中边的比值，代入等式推导边的关系。解题时分两种情况讨论：当∠A为直角时，直接在Rt△ABC中表示cosB和cosC；当∠A为锐角或钝角时，通过作BC边上的高构造直角三角形，再表示两个角的余弦，代入等式即可得到边的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
已知∠B和∠C均为锐角，因此∠A可能为直角、锐角或钝角，分情况讨论：
① 当∠A为直角时，在Rt△ABC中，根据余弦的定义：$\cos B=\frac{c}{a}$，$\cos C=\frac{b}{a}$。
将其代入$c·\cos B = b·\cos C$，得：
$c·\frac{c}{a}=b·\frac{b}{a}$
两边同乘非零的$a$，可得$c^2=b^2$，因为$b、c$均为正数，所以$c=b$，此时△ABC为等腰直角三角形，属于等腰三角形。
② 当∠A为锐角或钝角时，过点A作$AD⊥ BC$于点D：
在Rt△ABD中，$\cos B=\frac{BD}{c}$；在Rt△ACD中，$\cos C=\frac{CD}{b}$。
代入$c·\cos B = b·\cos C$，得：
$c·\frac{BD}{c}=b·\frac{CD}{b}$
化简得$BD=CD$，即AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AB=AC$，因此△ABC为等腰三角形。
综上，△ABC一定是等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查利用锐角三角函数判断三角形的形状，解题的核心是通过构造直角三角形，将三角函数值转化为线段的比值，进而推导边的相等关系。解题时要注意对∠A的类型进行分类讨论，避免忽略直角的情况导致漏判。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，需结合已知的边角等式推导边或角的关系。已知∠B、∠C均为锐角，我们可以利用锐角三角函数的定义，将余弦转化为直角三角形中边的比值，代入等式推导边的关系。解题时分两种情况讨论：当∠A为直角时，直接在Rt△ABC中表示cosB和cosC；当∠A为锐角或钝角时，通过作BC边上的高构造直角三角形，再表示两个角的余弦，代入等式即可得到边的关系，进而判断三角形形状。
【解析】
已知∠B和∠C均为锐角，因此∠A可能为直角、锐角或钝角，分情况讨论：
① 当∠A为直角时，在Rt△ABC中，根据余弦的定义：$\cos B=\frac{c}{a}$，$\cos C=\frac{b}{a}$。
将其代入$c·\cos B = b·\cos C$，得：
$c·\frac{c}{a}=b·\frac{b}{a}$
两边同乘非零的$a$，可得$c^2=b^2$，因为$b、c$均为正数，所以$c=b$，此时△ABC为等腰直角三角形，属于等腰三角形。
② 当∠A为锐角或钝角时，过点A作$AD⊥ BC$于点D：
在Rt△ABD中，$\cos B=\frac{BD}{c}$；在Rt△ACD中，$\cos C=\frac{CD}{b}$。
代入$c·\cos B = b·\cos C$，得：
$c·\frac{BD}{c}=b·\frac{CD}{b}$
化简得$BD=CD$，即AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AB=AC$，因此△ABC为等腰三角形。
综上，△ABC一定是等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查利用锐角三角函数判断三角形的形状，解题的核心是通过构造直角三角形，将三角函数值转化为线段的比值，进而推导边的相等关系。解题时要注意对∠A的类型进行分类讨论，避免忽略直角的情况导致漏判。
【难度系数】
0.7
16. 一题多解 如图,在平面直角坐标系中,有三点$A(0,1)$,$B(4,1)$,$C(5,6)$,则$\sin∠ BAC$的值为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
C 通解 如图1,过点C作$CD ⊥ AB$交AB的延长线于点D. $\because A(0,1),B(4,1),C(5,6),\therefore D(5,1),\therefore CD = 5,AD = 5$,由勾股定理可得$AC = 5\sqrt{2}$,$\therefore \sin∠BAC = \frac{CD}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
另解1 如图2,在AC上取格点$D(4,5)$,连接BD. 结合$A(0,1),B(4,1)$,易得$AD = 4\sqrt{2},BD = 4,∠ABD = 90°$,$\therefore \sin∠BAC = \sin∠BAD = \frac{BD}{AD} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
另解2 如图3,在AC上取格点$D(2,3)$,连接BD,结合$A(0,1),B(4,1)$,易得$AD = 2\sqrt{2},BD = 2\sqrt{2},AB = 4$,$\therefore AD^2 + BD^2 = AB^2$(勾股定理的逆定理),$\therefore ∠ADB = 90°$,$\therefore \sin∠BAC = \sin∠BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
解题通法
在网格中构造直角三角形
(1)在网格中找到一点,使要求的三角函数的锐角在该直角三角形中;(2)利用网格求出各边长;(3)求该锐角的三角函数值.
解析
【分析】
要求$\sin∠BAC$的值，根据锐角三角函数的定义，需要将$∠ BAC$放在直角三角形中求解。首先观察点$A$、$B$的坐标，两点纵坐标相同，可知线段$AB$平行于$x$轴，因此我们可以过点$C$作$AB$的垂线，构造出包含$∠ BAC$的直角三角形，再结合点坐标求出直角三角形的各边长，最后根据正弦的定义计算即可，也可利用网格格点构造其他符合要求的直角三角形求解。
【解析】
采用通解方法求解：
如图1，过点$C$作$CD ⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
已知$A(0,1)$，$B(4,1)$，$C(5,6)$，$AB$所在直线上所有点的纵坐标均为1，因此点$D$的纵坐标为1，横坐标与点$C$相同，即$D(5,1)$。
计算各边长度：
$CD = 6 - 1 = 5$，
$AD = 5 - 0 = 5$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$，
根据正弦的定义，$\sin∠BAC = \frac{∠ BAC的对边}{斜边} = \frac{CD}{AC} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题型，解题核心是构造包含所求角的直角三角形，结合点坐标和勾股定理计算对应边长即可求解，方法灵活多样，能有效锻炼学生的构图能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠BAC$的值，根据锐角三角函数的定义，需要将$∠ BAC$放在直角三角形中求解。首先观察点$A$、$B$的坐标，两点纵坐标相同，可知线段$AB$平行于$x$轴，因此我们可以过点$C$作$AB$的垂线，构造出包含$∠ BAC$的直角三角形，再结合点坐标求出直角三角形的各边长，最后根据正弦的定义计算即可，也可利用网格格点构造其他符合要求的直角三角形求解。
【解析】
采用通解方法求解：
如图1，过点$C$作$CD ⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$D$。
已知$A(0,1)$，$B(4,1)$，$C(5,6)$，$AB$所在直线上所有点的纵坐标均为1，因此点$D$的纵坐标为1，横坐标与点$C$相同，即$D(5,1)$。
计算各边长度：
$CD = 6 - 1 = 5$，
$AD = 5 - 0 = 5$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$，
根据正弦的定义，$\sin∠BAC = \frac{∠ BAC的对边}{斜边} = \frac{CD}{AC} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题型，解题核心是构造包含所求角的直角三角形，结合点坐标和勾股定理计算对应边长即可求解，方法灵活多样，能有效锻炼学生的构图能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
17. [2026西安雁塔区月考]如图,在$△ Rt△ ABC$中, $∠ ACB=90°$,点D为斜边AB的中点,连接CD.若$\tan∠ BCD=\frac{3}{4},AC=6$,则CD的长为
5
.答案
5 如图,过点D作$DE// AC$交BC于点E,$\therefore ∠DEC = 180° - ∠ACB = 90°. \because$ 点D是AB的中点,$\therefore DE$是$△ABC$的中位线,$\therefore DE = \frac{1}{2}AC = 3.$ 在Rt△CDE中,$\tan∠BCD = \frac{DE}{CE} = \frac{3}{4}$,$\therefore CE = 4$,由勾股定理可得$CD = \sqrt{DE^2 + CE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.$
解析
【分析】
要解决本题，首先梳理已知条件：Rt△ABC中∠ACB=90°，D是AB中点，tan∠BCD=$\frac{3}{4}$，AC=6，目标是求CD的长。首先，已知某角的正切值，需要将该角放在直角三角形中才能利用三角函数关系计算边长，因此考虑作辅助线：过D作DE//AC交BC于E，即可得到含∠BCD的Rt△CDE；同时结合D是AB中点，可知DE是△ABC的中位线，可直接求出DE的长度；再利用tan∠BCD的数值求出CE的长度，最后在Rt△CDE中用勾股定理即可算出CD的长度。
【解析】
过点D作$DE// AC$交BC于点E，
$\because ∠ ACB=90°$，$DE// AC$，
$\therefore ∠ DEC = 180° - ∠ ACB = 90°$，即$DE⊥ BC$。
$\because$ 点D是AB的中点，$DE// AC$，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt△ CDE$中，$\tan∠ BCD = \frac{DE}{CE} = \frac{3}{4}$，
将$DE=3$代入得$\frac{3}{CE}=\frac{3}{4}$，解得$CE=4$。
由勾股定理可得：
$CD = \sqrt{DE^2 + CE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数应用的常规题型，解题核心是通过作辅助线构造含已知三角函数值的直角三角形，再结合三角形中位线性质和勾股定理求解，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先梳理已知条件：Rt△ABC中∠ACB=90°，D是AB中点，tan∠BCD=$\frac{3}{4}$，AC=6，目标是求CD的长。首先，已知某角的正切值，需要将该角放在直角三角形中才能利用三角函数关系计算边长，因此考虑作辅助线：过D作DE//AC交BC于E，即可得到含∠BCD的Rt△CDE；同时结合D是AB中点，可知DE是△ABC的中位线，可直接求出DE的长度；再利用tan∠BCD的数值求出CE的长度，最后在Rt△CDE中用勾股定理即可算出CD的长度。
【解析】
过点D作$DE// AC$交BC于点E，
$\because ∠ ACB=90°$，$DE// AC$，
$\therefore ∠ DEC = 180° - ∠ ACB = 90°$，即$DE⊥ BC$。
$\because$ 点D是AB的中点，$DE// AC$，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt△ CDE$中，$\tan∠ BCD = \frac{DE}{CE} = \frac{3}{4}$，
将$DE=3$代入得$\frac{3}{CE}=\frac{3}{4}$，解得$CE=4$。
由勾股定理可得：
$CD = \sqrt{DE^2 + CE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数应用的常规题型，解题核心是通过作辅助线构造含已知三角函数值的直角三角形，再结合三角形中位线性质和勾股定理求解，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
18. [2026衡阳船山实验中学月考]如图，在平面直角坐标系中放入矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B落在x轴上，记为点B'，折痕为CE。若$\sin∠ OB'C = \frac{3}{5}$，$CE = 5\sqrt{10}$，求点E的坐标。
答案
解:在Rt△B'OC中,$\sin∠OB'C = \frac{OC}{CB'} = \frac{3}{5}$,
设$OC = 3x$,则$CB' = 5x$,
由勾股定理可得$OB' = \sqrt{CB'^2 - OC^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = 4x.$
$\because$ 四边形ABCO是矩形,$\therefore OA = CB = CB' = 5x,∠B'AE = 90°$,
$\therefore AB' = OA - OB' = 5x - 4x = x.$
由折叠的性质可知$∠B = ∠CB'E = 90°$,
$\therefore ∠OB'C + ∠AB'E = 90°.$
$\because ∠AB'E + ∠AEB' = 90°$,
$\therefore ∠OB'C = ∠AEB'.$
$\because ∠COB' = ∠B'AE = 90°$,$\therefore △B'OC ∽ △EAB'$,
$\therefore \frac{OB'}{AE} = \frac{B'C}{EB'} = \frac{OC}{AB'}$,即$\frac{4x}{AE} = \frac{5x}{EB'} = \frac{3x}{x}$,$\therefore AE = \frac{4}{3}x$,$EB' = \frac{5}{3}x.$
在Rt△B'CE中,$CB' = 5x,EB' = \frac{5}{3}x$,$CE = 5\sqrt{10}$,
由勾股定理可得$(5x)^2 + (\frac{5}{3}x)^2 = (5\sqrt{10})^2$,
$\therefore x = 3$,$\therefore OA = 5x = 15,AE = \frac{4}{3}x = 4$,
$\therefore$ 点E的坐标为$(15,4).$
设$OC = 3x$,则$CB' = 5x$,
由勾股定理可得$OB' = \sqrt{CB'^2 - OC^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = 4x.$
$\because$ 四边形ABCO是矩形,$\therefore OA = CB = CB' = 5x,∠B'AE = 90°$,
$\therefore AB' = OA - OB' = 5x - 4x = x.$
由折叠的性质可知$∠B = ∠CB'E = 90°$,
$\therefore ∠OB'C + ∠AB'E = 90°.$
$\because ∠AB'E + ∠AEB' = 90°$,
$\therefore ∠OB'C = ∠AEB'.$
$\because ∠COB' = ∠B'AE = 90°$,$\therefore △B'OC ∽ △EAB'$,
$\therefore \frac{OB'}{AE} = \frac{B'C}{EB'} = \frac{OC}{AB'}$,即$\frac{4x}{AE} = \frac{5x}{EB'} = \frac{3x}{x}$,$\therefore AE = \frac{4}{3}x$,$EB' = \frac{5}{3}x.$
在Rt△B'CE中,$CB' = 5x,EB' = \frac{5}{3}x$,$CE = 5\sqrt{10}$,
由勾股定理可得$(5x)^2 + (\frac{5}{3}x)^2 = (5\sqrt{10})^2$,
$\therefore x = 3$,$\therefore OA = 5x = 15,AE = \frac{4}{3}x = 4$,
$\therefore$ 点E的坐标为$(15,4).$
解析
【分析】
解题时先从已知的三角函数值入手，在Rt△B'OC中利用正弦的定义设参数表示各边长度；再结合矩形对边相等、折叠前后对应边对应角相等的性质，推导得到边的数量关系和相等的角；通过同角的余角相等证明△B'OC和△EAB'相似，利用相似比将EB'用参数表示；最后在Rt△B'CE中用勾股定理列方程求出参数，即可计算得到点E的坐标。
【解析】
在Rt△B'OC中，$\sin∠OB'C = \frac{OC}{CB'} = \frac{3}{5}$，
设$OC = 3x$，则$CB' = 5x$，
由勾股定理可得$OB' = \sqrt{CB'^2 - OC^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = 4x$。
∵ 四边形ABCO是矩形，
∴ $OA = CB = CB' = 5x$，$∠B'AE = 90°$，
∴ $AB' = OA - OB' = 5x - 4x = x$。
由折叠的性质可知$∠B = ∠CB'E = 90°$，
∴ $∠OB'C + ∠AB'E = 90°$。
∵ $∠AB'E + ∠AEB' = 90°$，
∴ $∠OB'C = ∠AEB'$。
∵ $∠COB' = ∠B'AE = 90°$，
∴ $△B'OC ∽ △EAB'$，
∴ $\frac{OB'}{AE} = \frac{B'C}{EB'} = \frac{OC}{AB'}$，即$\frac{4x}{AE} = \frac{5x}{EB'} = \frac{3x}{x}$，解得$AE = \frac{4}{3}x$，$EB' = \frac{5}{3}x$。
在Rt△B'CE中，$CB' = 5x$，$EB' = \frac{5}{3}x$，$CE = 5\sqrt{10}$，
由勾股定理可得$(5x)^2 + (\frac{5}{3}x)^2 = (5\sqrt{10})^2$，
解得$x = 3$，
∴ $OA = 5x = 15$，$AE = \frac{4}{3}x = 4$，
∴ 点E的坐标为$(15,4)$。
【答案】
$(15,4)$
【知识点】
锐角三角函数的定义，折叠的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类常考题，融合了三角函数、图形变换、相似三角形、勾股定理等多个知识点，考查数形结合思想和方程思想的应用，解题的关键是合理设参数，通过几何关系建立方程求解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的三角函数值入手，在Rt△B'OC中利用正弦的定义设参数表示各边长度；再结合矩形对边相等、折叠前后对应边对应角相等的性质，推导得到边的数量关系和相等的角；通过同角的余角相等证明△B'OC和△EAB'相似，利用相似比将EB'用参数表示；最后在Rt△B'CE中用勾股定理列方程求出参数，即可计算得到点E的坐标。
【解析】
在Rt△B'OC中，$\sin∠OB'C = \frac{OC}{CB'} = \frac{3}{5}$，
设$OC = 3x$，则$CB' = 5x$，
由勾股定理可得$OB' = \sqrt{CB'^2 - OC^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = 4x$。
∵ 四边形ABCO是矩形，
∴ $OA = CB = CB' = 5x$，$∠B'AE = 90°$，
∴ $AB' = OA - OB' = 5x - 4x = x$。
由折叠的性质可知$∠B = ∠CB'E = 90°$，
∴ $∠OB'C + ∠AB'E = 90°$。
∵ $∠AB'E + ∠AEB' = 90°$，
∴ $∠OB'C = ∠AEB'$。
∵ $∠COB' = ∠B'AE = 90°$，
∴ $△B'OC ∽ △EAB'$，
∴ $\frac{OB'}{AE} = \frac{B'C}{EB'} = \frac{OC}{AB'}$，即$\frac{4x}{AE} = \frac{5x}{EB'} = \frac{3x}{x}$，解得$AE = \frac{4}{3}x$，$EB' = \frac{5}{3}x$。
在Rt△B'CE中，$CB' = 5x$，$EB' = \frac{5}{3}x$，$CE = 5\sqrt{10}$，
由勾股定理可得$(5x)^2 + (\frac{5}{3}x)^2 = (5\sqrt{10})^2$，
解得$x = 3$，
∴ $OA = 5x = 15$，$AE = \frac{4}{3}x = 4$，
∴ 点E的坐标为$(15,4)$。
【答案】
$(15,4)$
【知识点】
锐角三角函数的定义，折叠的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类常考题，融合了三角函数、图形变换、相似三角形、勾股定理等多个知识点，考查数形结合思想和方程思想的应用，解题的关键是合理设参数，通过几何关系建立方程求解。
【难度系数】
0.6
19. 推理能力 [2025 淄博期末] 如图,根据提供的数据回答下列问题.
(1)在数学教材华东师大版九年级上册第123页给出$\sin^2 A + \cos^2 A =1$,请你证明该等式.
(2)①在图1中,$\tan A =$
②在图2中,$\tan A_1 =$
③通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律?用式子表示出来,并证明.
(1)在数学教材华东师大版九年级上册第123页给出$\sin^2 A + \cos^2 A =1$,请你证明该等式.
(2)①在图1中,$\tan A =$
$\frac{4}{3}$
,$\frac{\sin A}{\cos A} =$$\frac{4}{3}$
.②在图2中,$\tan A_1 =$
$\frac{12}{5}$
,$\frac{\sin A_1}{\cos A_1} =$$\frac{12}{5}$
.③通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律?用式子表示出来,并证明.
答案
(1)证明:如图1,在Rt△ABC中,$∠C=90°.$
$\because \sin A = \frac{a}{c},\cos A = \frac{b}{c},c^2 = a^2 + b^2$,
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1.$
(2)①$\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$
②$\frac{12}{5}$ $\frac{12}{5}$
③对于任意锐角α,有$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$.证明如下:
如图2,$\because \tan α = \frac{a}{b}$,$\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b}$,$\therefore \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}.$
解析
【分析】
(1) 要证明$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，首先结合直角三角形中锐角三角函数的定义，写出$\sin A$和$\cos A$的表达式，再结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，将两者平方后相加化简即可完成证明。
(2) ①②问直接依据锐角三角函数的定义，分别在两个直角三角形中找到对应角的对边、邻边、斜边，代入计算$\tan A$、$\sin A$、$\cos A$的值，再计算$\frac{\sin A}{\cos A}$即可。③问对比前两问的计算结果总结规律，再利用三角函数的定义，将$\sinα$、$\cosα$、$\tanα$的表达式代入验证即可证明规律。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数定义：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，根据勾股定理可知$a^2+b^2=c^2$。
因此$\sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$，等式得证。
(2) ①图1的$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$；$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，因此$\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$。
②图2的$Rt△ A_1B_1C_1$中，$∠ C_1=90°$，$A_1C_1=5$，$B_1C_1=12$，$A_1B_1=13$：
$\tan A_1=\frac{B_1C_1}{A_1C_1}=\frac{12}{5}$；$\sin A_1=\frac{B_1C_1}{A_1B_1}=\frac{12}{13}$，$\cos A_1=\frac{A_1C_1}{A_1B_1}=\frac{5}{13}$，因此$\frac{\sin A_1}{\cos A_1}=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{5}$。
③规律：对于任意锐角$α$，有$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$。
证明：在含锐角$α$的直角三角形中，设$α$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，根据定义：$\tanα=\frac{a}{b}$，$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$，因此$\frac{\sinα}{\cosα}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=\tanα$，规律得证。
【答案】
(1)证明:如图1,在Rt△ABC中,$∠C=90°.$
$\because \sin A = \frac{a}{c},\cos A = \frac{b}{c},c^2 = a^2 + b^2$,
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1.$
(2)①$\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$
②$\frac{12}{5}$ $\frac{12}{5}$
③对于任意锐角α,有$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$.证明如下:
如图2,$\because \tan α = \frac{a}{b}$,$\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b}$,$\therefore \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}.$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数关系
【点评】
本题从特殊直角三角形的三角函数计算入手，推导同角三角函数的基本关系，侧重对概念的理解与运用，引导学生经历从特殊到一般的探究过程，加深对锐角三角函数内涵的认识。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，首先结合直角三角形中锐角三角函数的定义，写出$\sin A$和$\cos A$的表达式，再结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，将两者平方后相加化简即可完成证明。
(2) ①②问直接依据锐角三角函数的定义，分别在两个直角三角形中找到对应角的对边、邻边、斜边，代入计算$\tan A$、$\sin A$、$\cos A$的值，再计算$\frac{\sin A}{\cos A}$即可。③问对比前两问的计算结果总结规律，再利用三角函数的定义，将$\sinα$、$\cosα$、$\tanα$的表达式代入验证即可证明规律。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数定义：$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，根据勾股定理可知$a^2+b^2=c^2$。
因此$\sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$，等式得证。
(2) ①图1的$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$；$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，因此$\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$。
②图2的$Rt△ A_1B_1C_1$中，$∠ C_1=90°$，$A_1C_1=5$，$B_1C_1=12$，$A_1B_1=13$：
$\tan A_1=\frac{B_1C_1}{A_1C_1}=\frac{12}{5}$；$\sin A_1=\frac{B_1C_1}{A_1B_1}=\frac{12}{13}$，$\cos A_1=\frac{A_1C_1}{A_1B_1}=\frac{5}{13}$，因此$\frac{\sin A_1}{\cos A_1}=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{5}$。
③规律：对于任意锐角$α$，有$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$。
证明：在含锐角$α$的直角三角形中，设$α$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，根据定义：$\tanα=\frac{a}{b}$，$\sinα=\frac{a}{c}$，$\cosα=\frac{b}{c}$，因此$\frac{\sinα}{\cosα}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=\tanα$，规律得证。
【答案】
(1)证明:如图1,在Rt△ABC中,$∠C=90°.$
$\because \sin A = \frac{a}{c},\cos A = \frac{b}{c},c^2 = a^2 + b^2$,
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1.$
(2)①$\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$
②$\frac{12}{5}$ $\frac{12}{5}$
③对于任意锐角α,有$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$.证明如下:
如图2,$\because \tan α = \frac{a}{b}$,$\frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b}$,$\therefore \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}.$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数关系
【点评】
本题从特殊直角三角形的三角函数计算入手，推导同角三角函数的基本关系，侧重对概念的理解与运用，引导学生经历从特殊到一般的探究过程，加深对锐角三角函数内涵的认识。
【难度系数】
0.8
