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1. 在$Rt△ ABC$中，若各边都扩大为原来的3倍，则$∠ A$的正弦值 （
A.也扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.不能确定
C
）A.也扩大为原来的3倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.不变
D.不能确定
答案
C
锐角三角函数值的大小只与锐角的大小有关,而与锐角所在的直角三角形边长的大小无关.
锐角三角函数值的大小只与锐角的大小有关,而与锐角所在的直角三角形边长的大小无关.
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。我们可以从两个角度思考：一是直接计算边长扩大前后∠A的对边和斜边的比值，判断比值是否变化；二是根据相似三角形的判定，各边扩大相同倍数后的三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，因此其正弦值也不变。
【解析】
设原$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边长为$a$，斜边长为$c$，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\frac{a}{c}$
若各边都扩大为原来的3倍，则新的$∠ A$对边长为$3a$，新的斜边长为$3c$，此时：
$\sin A'=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}=\sin A$
另外，边长扩大后的三角形与原三角形三边对应成比例，两三角形相似，$∠ A$的大小保持不变，因此它的正弦值也不变。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义；锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对锐角三角函数本质的理解，解题的关键是明确锐角三角函数值仅由锐角的大小决定，与所在直角三角形的边长缩放无关，做题时避免误将边长的变化直接等同于比值的变化。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。我们可以从两个角度思考：一是直接计算边长扩大前后∠A的对边和斜边的比值，判断比值是否变化；二是根据相似三角形的判定，各边扩大相同倍数后的三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，因此其正弦值也不变。
【解析】
设原$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边长为$a$，斜边长为$c$，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\frac{a}{c}$
若各边都扩大为原来的3倍，则新的$∠ A$对边长为$3a$，新的斜边长为$3c$，此时：
$\sin A'=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}=\sin A$
另外，边长扩大后的三角形与原三角形三边对应成比例，两三角形相似，$∠ A$的大小保持不变，因此它的正弦值也不变。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义；锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对锐角三角函数本质的理解，解题的关键是明确锐角三角函数值仅由锐角的大小决定，与所在直角三角形的边长缩放无关，做题时避免误将边长的变化直接等同于比值的变化。
【难度系数】
0.9
2. [2025常州中考]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,则sin B的值是 (
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$
C
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
C 在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,由勾股定理可得BC=$\sqrt{AB^2+AC^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5,$\therefore \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$.
解析
【分析】
要计算sinB的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定Rt△ABC中∠B的对边和斜边：∠A是直角，因此斜边为BC，∠B的对边是AC，已知AC=4但斜边BC未知，所以需要先利用勾股定理求出BC的长度，再代入正弦的定义式计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠A=90°，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理 2. 正弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题，解题核心是准确区分所求锐角对应的对边、邻边和斜边，结合勾股定理求出未知边长后，代入三角函数定义式即可求解，注意不要混淆各边的对应关系。
【难度系数】
0.8
要计算sinB的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定Rt△ABC中∠B的对边和斜边：∠A是直角，因此斜边为BC，∠B的对边是AC，已知AC=4但斜边BC未知，所以需要先利用勾股定理求出BC的长度，再代入正弦的定义式计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠A=90°，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
根据正弦的定义，$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理 2. 正弦的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题，解题核心是准确区分所求锐角对应的对边、邻边和斜边，结合勾股定理求出未知边长后，代入三角函数定义式即可求解，注意不要混淆各边的对应关系。
【难度系数】
0.8
3. [2025哈尔滨113中期中] 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD ⊥ AB$于点$D$.若$CD:AC=2:3$,则$\sin∠ BCD$的值是 (
A.$\frac{2\sqrt{2}}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
D.$\frac{2}{13}$
B
)A.$\frac{2\sqrt{2}}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
D.$\frac{2}{13}$
答案
B 根据题意可得 $\sin A = \frac{CD}{AC} = \frac{2}{3}.\because ∠ ACB = 90°,CD ⊥ AB,\therefore ∠ A + ∠ B = 90°, ∠ BCD + ∠ B = 90°,\therefore ∠ A = ∠ BCD,\therefore \sin∠ BCD = \sin A = \frac{2}{3}.$
解析
【分析】
要求$\sin∠ BCD$的值，直接分析$△ BCD$的边长关系较复杂，可先通过角的关系找与$∠ BCD$相等的角。已知$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，可得$∠ A$和$∠ BCD$都与$∠ B$互余，根据同角的余角相等，可推出$∠ BCD=∠ A$，因此只需计算$\sin A$的值即可得到$\sin∠ BCD$的值，在$Rt△ ACD$中可直接利用已知的$CD:AC$求出$\sin A$。
【解析】
在$Rt△ ACD$中，根据正弦的定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{CD}{AC}$，
已知$CD:AC=2:3$，因此$\sin A=\frac{2}{3}$。
∵ $∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴ $∠ A+∠ B=90°$，$∠ BCD+∠ B=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴ $∠ A=∠ BCD$（同角的余角相等），
∴ $\sin∠ BCD=\sin A=\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
同角的余角相等；锐角三角函数的定义
【点评】
本题解题核心是利用余角的性质实现角的转化，将未知角的三角函数值转化为易求的角的三角函数值，是锐角三角函数章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠ BCD$的值，直接分析$△ BCD$的边长关系较复杂，可先通过角的关系找与$∠ BCD$相等的角。已知$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，可得$∠ A$和$∠ BCD$都与$∠ B$互余，根据同角的余角相等，可推出$∠ BCD=∠ A$，因此只需计算$\sin A$的值即可得到$\sin∠ BCD$的值，在$Rt△ ACD$中可直接利用已知的$CD:AC$求出$\sin A$。
【解析】
在$Rt△ ACD$中，根据正弦的定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{CD}{AC}$，
已知$CD:AC=2:3$，因此$\sin A=\frac{2}{3}$。
∵ $∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴ $∠ A+∠ B=90°$，$∠ BCD+∠ B=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴ $∠ A=∠ BCD$（同角的余角相等），
∴ $\sin∠ BCD=\sin A=\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
同角的余角相等；锐角三角函数的定义
【点评】
本题解题核心是利用余角的性质实现角的转化，将未知角的三角函数值转化为易求的角的三角函数值，是锐角三角函数章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ A = 90°$,点 D 在边 AB 上,连接 CD.若 $BD = CD$, $\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}$,则 $\tan B =$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 已知$\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}$,设 $AD = t$,则 $BD = CD = 3t$(设参法,把相关线段用含参数的代数式表示),$\therefore AC = \sqrt{CD^2 - AD^2} = 2\sqrt{2}t,AB = AD + BD = 4t,\therefore \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{2}t}{4t} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
解析
【分析】
拿到本题可按以下思路推导：首先已知线段比例关系和等腰条件，优先采用设参法简化计算：①根据$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，设$AD=t$，结合$BD=CD$可得$BD=CD=3t$；②$△ ACD$是直角三角形，利用勾股定理可求出$AC$的长度；③线段$AB$为$AD$与$BD$之和，可求出$AB$的长度；④根据正切的定义，$\tan B$是$∠ B$的对边与邻边的比值，代入对应长度消去参数$t$即可得到结果。
【解析】
设$AD = t$，
$\because \frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，$\therefore BD=3t$，
又$\because BD=CD$，$\therefore CD=3t$，
$\because ∠ A=90°$，$\therefore △ ACD$为直角三角形，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{CD^2 - AD^2}=\sqrt{(3t)^2 - t^2}=\sqrt{8t^2}=2\sqrt{2}t$，
$AB=AD + BD=t + 3t=4t$，
在$Rt△ ABC$中，$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{AB}$，
代入得：$\tan B=\frac{2\sqrt{2}t}{4t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，综合考查了直角三角形、等腰三角形的性质和三角函数的定义，解题关键是通过比例设参数的方法表示各线段长度，消参后即可求得结果，掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
拿到本题可按以下思路推导：首先已知线段比例关系和等腰条件，优先采用设参法简化计算：①根据$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，设$AD=t$，结合$BD=CD$可得$BD=CD=3t$；②$△ ACD$是直角三角形，利用勾股定理可求出$AC$的长度；③线段$AB$为$AD$与$BD$之和，可求出$AB$的长度；④根据正切的定义，$\tan B$是$∠ B$的对边与邻边的比值，代入对应长度消去参数$t$即可得到结果。
【解析】
设$AD = t$，
$\because \frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，$\therefore BD=3t$，
又$\because BD=CD$，$\therefore CD=3t$，
$\because ∠ A=90°$，$\therefore △ ACD$为直角三角形，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{CD^2 - AD^2}=\sqrt{(3t)^2 - t^2}=\sqrt{8t^2}=2\sqrt{2}t$，
$AB=AD + BD=t + 3t=4t$，
在$Rt△ ABC$中，$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{AB}$，
代入得：$\tan B=\frac{2\sqrt{2}t}{4t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正切的定义；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，综合考查了直角三角形、等腰三角形的性质和三角函数的定义，解题关键是通过比例设参数的方法表示各线段长度，消参后即可求得结果，掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. [2025福州期末] 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，则$\frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B$的值是常数吗？并证明你的结论。
答案
解:是.证明如下：
$\because \cos A = \frac{b}{c},\cos B = \frac{a}{c},a^2 + b^2 = c^2,$
$\therefore \frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B = \frac{a^2}{bc} · \frac{b}{c} + \frac{b^2}{ac} · \frac{a}{c} = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1,$
$\therefore \frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B$ 的值是常数,为1.
$\because \cos A = \frac{b}{c},\cos B = \frac{a}{c},a^2 + b^2 = c^2,$
$\therefore \frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B = \frac{a^2}{bc} · \frac{b}{c} + \frac{b^2}{ac} · \frac{a}{c} = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1,$
$\therefore \frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B$ 的值是常数,为1.
解析
【分析】
要判断该代数式的值是否为常数，需将式子中的三角函数转化为边的关系后代入化简，观察最终结果是否为固定值。首先回忆直角三角形中锐角余弦的定义：锐角的余弦等于其邻边与斜边的比值，可据此将$\cos A$、$\cos B$用三边$a$、$b$、$c$表示，再代入原式进行约分、合并化简，最后结合直角三角形的勾股定理$a^2+b^2=c^2$即可得出最终结果，判断是否为常数。
【解析】
解：$\frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B$的值是常数，证明如下：
在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$，$\cos B = \frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，
同时由勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
将上述关系代入原式：
$\frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B = \frac{a^2}{bc} · \frac{b}{c} + \frac{b^2}{ac} · \frac{a}{c}$
约分后得：$=\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}$
合并分式得：$=\frac{a^2 + b^2}{c^2}$
将勾股定理代入得：$=\frac{c^2}{c^2} = 1$
因此该代数式的值是常数。
【答案】
是常数，值为1
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 勾股定理
3. 分式化简运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是考查直角三角形中锐角三角函数定义和勾股定理的结合使用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，将三角函数值转化为边的比值代入化简，只要基础概念掌握扎实，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断该代数式的值是否为常数，需将式子中的三角函数转化为边的关系后代入化简，观察最终结果是否为固定值。首先回忆直角三角形中锐角余弦的定义：锐角的余弦等于其邻边与斜边的比值，可据此将$\cos A$、$\cos B$用三边$a$、$b$、$c$表示，再代入原式进行约分、合并化简，最后结合直角三角形的勾股定理$a^2+b^2=c^2$即可得出最终结果，判断是否为常数。
【解析】
解：$\frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B$的值是常数，证明如下：
在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos A = \frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$，$\cos B = \frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，
同时由勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
将上述关系代入原式：
$\frac{a^2}{bc}\cos A + \frac{b^2}{ac}\cos B = \frac{a^2}{bc} · \frac{b}{c} + \frac{b^2}{ac} · \frac{a}{c}$
约分后得：$=\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}$
合并分式得：$=\frac{a^2 + b^2}{c^2}$
将勾股定理代入得：$=\frac{c^2}{c^2} = 1$
因此该代数式的值是常数。
【答案】
是常数，值为1
【知识点】
1. 余弦的定义
2. 勾股定理
3. 分式化简运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是考查直角三角形中锐角三角函数定义和勾股定理的结合使用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，将三角函数值转化为边的比值代入化简，只要基础概念掌握扎实，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ C$的对边为$c$，$∠ A$的对边为$a$，已知$a$和$∠ A$，则下列关系式正确的是（
A.$c = a · \sin A$
B.$c = \dfrac{a}{\sin A}$
C.$c = a · \cos A$
D.$c = \dfrac{a}{\cos A}$
B
）A.$c = a · \sin A$
B.$c = \dfrac{a}{\sin A}$
C.$c = a · \cos A$
D.$c = \dfrac{a}{\cos A}$
答案
B 在Rt△ABC中,$∠C=90°$,$\therefore \sin A = \frac{a}{c}$,$\therefore c = \frac{a}{\sin A}.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。我们已知∠A的对边为a，斜边为c，先写出∠A的正弦表达式，再通过等式变形推导c的表达式，最后匹配选项即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{a}{c}$
对上述等式变形，两边同时乘以$c$得：$c·\sin A = a$
因为$0°＜∠ A＜90°$，所以$\sin A≠0$，两边同时除以$\sin A$可得：
$c = \frac{a}{\sin A}$
因此选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
锐角正弦的定义、直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查锐角正弦的定义应用，只要准确记忆锐角三角函数的对应边比例关系，正确进行等式变形即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。我们已知∠A的对边为a，斜边为c，先写出∠A的正弦表达式，再通过等式变形推导c的表达式，最后匹配选项即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{a}{c}$
对上述等式变形，两边同时乘以$c$得：$c·\sin A = a$
因为$0°＜∠ A＜90°$，所以$\sin A≠0$，两边同时除以$\sin A$可得：
$c = \frac{a}{\sin A}$
因此选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
锐角正弦的定义、直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查锐角正弦的定义应用，只要准确记忆锐角三角函数的对应边比例关系，正确进行等式变形即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
7. [2026包头第九中学外国语学校期末] 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°,AB=5,\sin A=\dfrac{4}{5}$,则 $AC$ 的长为（
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
A
）A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
A 在Rt△ABC中,由勾股定理可得 $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$.
$\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5},AB = 5,\therefore BC = 4,\therefore AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3.$
$\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5},AB = 5,\therefore BC = 4,\therefore AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3.$
解析
【分析】
这道题是直角三角形中结合锐角三角函数求边长的基础题，解题思路分两步：第一步，根据锐角正弦的定义，正弦值等于对应角的对边与斜边的比值，已知∠A的正弦值和斜边AB的长度，可先求出∠A的对边BC的长度；第二步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，利用勾股定理就能求出另一条直角边AC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义可得：$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
已知$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB=5$，代入得：$\frac{BC}{5}=\frac{4}{5}$，解得$BC=4$，
再根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题考查基础公式的应用，解题核心是准确识别锐角对应的对边、斜边，熟记正弦定义和勾股定理即可快速算出结果。
【难度系数】
0.85
这道题是直角三角形中结合锐角三角函数求边长的基础题，解题思路分两步：第一步，根据锐角正弦的定义，正弦值等于对应角的对边与斜边的比值，已知∠A的正弦值和斜边AB的长度，可先求出∠A的对边BC的长度；第二步，已知直角三角形的斜边和一条直角边，利用勾股定理就能求出另一条直角边AC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦的定义可得：$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
已知$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB=5$，代入得：$\frac{BC}{5}=\frac{4}{5}$，解得$BC=4$，
再根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题考查基础公式的应用，解题核心是准确识别锐角对应的对边、斜边，熟记正弦定义和勾股定理即可快速算出结果。
【难度系数】
0.85
8. [2026 北京海淀区清华附中月考] 在 Rt △ABC 中，∠C=90°,tan A=3,则 cos A 的值为
$\frac{\sqrt{10}}{10}$
.答案
$\frac{\sqrt{10}}{10}$ 根据题意可得 $\cos A = \frac{AC}{AB}.\because \tan A = \frac{BC}{AC} = 3,\therefore BC = 3AC.$ 在Rt△ABC中,由勾股定理可得 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10}AC,\therefore \cos A = \frac{AC}{\sqrt{10}AC} = \frac{\sqrt{10}}{10}.$
解析
【分析】
要求cosA的值，首先要明确锐角余弦的定义：直角三角形中，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。已知tanA=3，根据正切的定义，tanA是∠A的对边与邻边的比值，我们可以先设出∠A的邻边长度，根据正切值表示出对边长度，再用勾股定理求出斜边长度，最后代入余弦的定义就能算出结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{BC}{AC} = 3$，因此$BC = 3AC$。
由勾股定理可得斜边长度：$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{AC^2 + (3AC)^2} = \sqrt{10}AC$。
根据余弦的定义可得：$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{\sqrt{10}AC} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握各锐角三角函数的含义，通过正切值得到两条直角边的数量关系，结合勾股定理求出斜边后代入计算即可，用设边的方法直观易懂，不易出错。
【难度系数】
0.8
要求cosA的值，首先要明确锐角余弦的定义：直角三角形中，锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。已知tanA=3，根据正切的定义，tanA是∠A的对边与邻边的比值，我们可以先设出∠A的邻边长度，根据正切值表示出对边长度，再用勾股定理求出斜边长度，最后代入余弦的定义就能算出结果。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{BC}{AC} = 3$，因此$BC = 3AC$。
由勾股定理可得斜边长度：$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{AC^2 + (3AC)^2} = \sqrt{10}AC$。
根据余弦的定义可得：$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{\sqrt{10}AC} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握各锐角三角函数的含义，通过正切值得到两条直角边的数量关系，结合勾股定理求出斜边后代入计算即可，用设边的方法直观易懂，不易出错。
【难度系数】
0.8
9. [2026长春农安期末]学过三角函数后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和$∠ BAC$的三角函数值有关. 如图，
请你用$∠ BAC$的正弦(或余弦)值的大小，描述梯子的倾斜程度：
请你用$∠ BAC$的正弦(或余弦)值的大小，描述梯子的倾斜程度：$∠BAC$的正弦值越大梯子越陡(表达合理即可)
.答案
$∠BAC$的正弦值越大梯子越陡(表达合理即可) 根据题意可得 $\sin∠BAC = \frac{BC}{AB}.\because AB$ 为定值,$\therefore BC$ 越大梯子越陡,即$∠BAC$的正弦值越大梯子越陡.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆锐角三角函数的定义，明确在Rt△ABC中∠C为直角，梯子AB的长度是固定不变的。首先写出∠BAC的正弦（或余弦）的表达式，再分析当梯子倾斜程度变化时，对应三角函数值的变化规律，即可建立二者的关联。
【解析】
由图可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据正弦的定义可得：$\sin∠BAC = \frac{BC}{AB}$。
其中梯子的长度AB是定值，当梯子越陡时，竖直高度BC越大，因此$\sin∠BAC$的值越大，即∠BAC的正弦值越大，梯子越陡。
（若用余弦描述：$\cos∠BAC=\frac{AC}{AB}$，AB为定值，梯子越陡时水平宽度AC越小，$\cos∠BAC$的值越小，即∠BAC的余弦值越小，梯子越陡，表述合理即可。）
【答案】
$∠BAC$的正弦值越大梯子越陡(表达合理即可)
【知识点】
正弦的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活中梯子倾斜的实际场景，考查锐角三角函数的实际应用，需要学生准确理解三角函数的含义，结合定值分析变量的变化规律，是一道贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆锐角三角函数的定义，明确在Rt△ABC中∠C为直角，梯子AB的长度是固定不变的。首先写出∠BAC的正弦（或余弦）的表达式，再分析当梯子倾斜程度变化时，对应三角函数值的变化规律，即可建立二者的关联。
【解析】
由图可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据正弦的定义可得：$\sin∠BAC = \frac{BC}{AB}$。
其中梯子的长度AB是定值，当梯子越陡时，竖直高度BC越大，因此$\sin∠BAC$的值越大，即∠BAC的正弦值越大，梯子越陡。
（若用余弦描述：$\cos∠BAC=\frac{AC}{AB}$，AB为定值，梯子越陡时水平宽度AC越小，$\cos∠BAC$的值越小，即∠BAC的余弦值越小，梯子越陡，表述合理即可。）
【答案】
$∠BAC$的正弦值越大梯子越陡(表达合理即可)
【知识点】
正弦的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活中梯子倾斜的实际场景，考查锐角三角函数的实际应用，需要学生准确理解三角函数的含义，结合定值分析变量的变化规律，是一道贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在锐角三角形ABC中,AB = AC = 10, tan B = 3,求BC的长.
答案
解:如图,过点A作$AD ⊥ BC$于点D.
$\because AB = AC = 10,\therefore BD = CD.$
$\because \tan B = \frac{AD}{BD} = 3,\therefore AD = 3BD.$
令 $BD = x$,则 $AD = 3x.$
$\because BD^2 + AD^2 = AB^2$,即 $x^2 + (3x)^2 = 10^2$,
$\therefore x = \sqrt{10},\therefore BC = 2BD = 2x = 2\sqrt{10}.$
解析
【分析】
题目给出等腰△ABC，要求底边BC的长，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，作底边BC的高AD，可将BC转化为2BD，只需计算BD的长度即可；构造出Rt△ABD后，结合已知tanB=3，可得到AD与BD的数量关系，再利用勾股定理列方程即可求出BD的长度，进而求得BC的长。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because AB = AC = 10$，AD是BC边上的高，
$\therefore BD = CD$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ ABD$中，$\tan B = \frac{AD}{BD} = 3$，
$\therefore AD = 3BD$。
设$BD = x$，则$AD = 3x$，
根据勾股定理得：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，
代入得：$x^2 + (3x)^2 = 10^2$，
整理得$10x^2 = 100$，即$x^2 = 10$，
$\because x＞0$，$\therefore x = \sqrt{10}$，
$\therefore BC = 2BD = 2x = 2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，作高构造直角三角形是解决等腰三角形边长问题的常用辅助线，解题时结合三角函数定义得到直角边的关系，再利用勾股定理列方程求解即可，体现了转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
题目给出等腰△ABC，要求底边BC的长，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，作底边BC的高AD，可将BC转化为2BD，只需计算BD的长度即可；构造出Rt△ABD后，结合已知tanB=3，可得到AD与BD的数量关系，再利用勾股定理列方程即可求出BD的长度，进而求得BC的长。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because AB = AC = 10$，AD是BC边上的高，
$\therefore BD = CD$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ ABD$中，$\tan B = \frac{AD}{BD} = 3$，
$\therefore AD = 3BD$。
设$BD = x$，则$AD = 3x$，
根据勾股定理得：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，
代入得：$x^2 + (3x)^2 = 10^2$，
整理得$10x^2 = 100$，即$x^2 = 10$，
$\because x＞0$，$\therefore x = \sqrt{10}$，
$\therefore BC = 2BD = 2x = 2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，作高构造直角三角形是解决等腰三角形边长问题的常用辅助线，解题时结合三角函数定义得到直角边的关系，再利用勾股定理列方程求解即可，体现了转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
11.若α为锐角，且$\sin^2α + \cos^226° = 1$，则$α =$（
A.$13°$
B.$26°$
C.$54°$
D.$25°$
B
）A.$13°$
B.$26°$
C.$54°$
D.$25°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角三角函数的基本恒等式：同角的正弦平方与余弦平方的和等于1。观察题干给出的等式$\sin^2α + \cos^226° = 1$，我们可以先将等式移项，得到$\sin^2α=1-\cos^226°$，再结合上述恒等式把右边转化为$\sin^226°$，最后根据α是锐角的条件，利用锐角正弦值的唯一性就能求出α的度数。
【解析】
解：根据同角三角函数的基本关系，对任意锐角$x$，都有$\sin^2x + \cos^2x = 1$，因此可得：
$1 - \cos^226° = \sin^226°$
已知$\sin^2α + \cos^226° = 1$，移项得：
$\sin^2α = 1 - \cos^226°$
将$1 - \cos^226° = \sin^226°$代入上式，得：
$\sin^2α = \sin^226°$
因为$α$是锐角，所以$\sinα＞0$，$\sin26°＞0$，因此$\sinα = \sin26°$。
又因为锐角的正弦值随角度增大而增大，相等的正弦值对应相等的锐角，所以$α=26°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 同角三角函数平方关系
2. 锐角正弦函数性质
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对同角三角函数基本恒等式的掌握和应用，解题核心是熟练运用$\sin^2x + \cos^2x = 1$这一恒等式做变形，结合锐角的取值范围即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆锐角三角函数的基本恒等式：同角的正弦平方与余弦平方的和等于1。观察题干给出的等式$\sin^2α + \cos^226° = 1$，我们可以先将等式移项，得到$\sin^2α=1-\cos^226°$，再结合上述恒等式把右边转化为$\sin^226°$，最后根据α是锐角的条件，利用锐角正弦值的唯一性就能求出α的度数。
【解析】
解：根据同角三角函数的基本关系，对任意锐角$x$，都有$\sin^2x + \cos^2x = 1$，因此可得：
$1 - \cos^226° = \sin^226°$
已知$\sin^2α + \cos^226° = 1$，移项得：
$\sin^2α = 1 - \cos^226°$
将$1 - \cos^226° = \sin^226°$代入上式，得：
$\sin^2α = \sin^226°$
因为$α$是锐角，所以$\sinα＞0$，$\sin26°＞0$，因此$\sinα = \sin26°$。
又因为锐角的正弦值随角度增大而增大，相等的正弦值对应相等的锐角，所以$α=26°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 同角三角函数平方关系
2. 锐角正弦函数性质
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对同角三角函数基本恒等式的掌握和应用，解题核心是熟练运用$\sin^2x + \cos^2x = 1$这一恒等式做变形，结合锐角的取值范围即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
12. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$,若$\sin A = \frac{5}{13}$,则$\cos A$的值为
$\frac{12}{13}$
.答案
$\frac{12}{13}$ $\because \sin^2A + \cos^2A = 1,\therefore \cos^2A = 1 - \sin^2A = 1 - (\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} = (\pm\frac{12}{13})^2.$ 在Rt△ABC中,$\because ∠ C = 90°$,$\therefore ∠ A$ 为锐角,$\therefore \cos A ＞ 0,\therefore \cos A = \frac{12}{13}.$
解析
【分析】
解题时首先回忆同角三角函数的基本关系：对于任意角A，都有$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，我们已知$\sin A$的值，就可以代入这个公式求出$\cos^2 A$的值；接下来结合题目给出的$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$的条件，可知$∠ A$是锐角，锐角的余弦值为正数，因此对$\cos^2 A$开平方时取正的结果，就能得到$\cos A$的值。
【解析】
根据同角三角函数的平方关系可得：
$\sin^2A + \cos^2A = 1$
将$\sin A = \frac{5}{13}$代入得：
$\cos^2A = 1 - \sin^2A = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$
$\therefore ∠ A$为锐角，$\cos A ＞ 0$
$\therefore \cos A = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$
【答案】
$\frac{12}{13}$
【知识点】
1. 同角三角函数平方关系
2. 锐角三角函数符号特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查同角三角函数平方关系的应用，易错点是忽略角A为锐角的限制，开方时错误保留负的结果，解题时要注意结合题目给出的三角形条件判断三角函数值的符号。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同角三角函数的基本关系：对于任意角A，都有$\sin^2 A + \cos^2 A =1$，我们已知$\sin A$的值，就可以代入这个公式求出$\cos^2 A$的值；接下来结合题目给出的$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C=90°$的条件，可知$∠ A$是锐角，锐角的余弦值为正数，因此对$\cos^2 A$开平方时取正的结果，就能得到$\cos A$的值。
【解析】
根据同角三角函数的平方关系可得：
$\sin^2A + \cos^2A = 1$
将$\sin A = \frac{5}{13}$代入得：
$\cos^2A = 1 - \sin^2A = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$
$\therefore ∠ A$为锐角，$\cos A ＞ 0$
$\therefore \cos A = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$
【答案】
$\frac{12}{13}$
【知识点】
1. 同角三角函数平方关系
2. 锐角三角函数符号特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查同角三角函数平方关系的应用，易错点是忽略角A为锐角的限制，开方时错误保留负的结果，解题时要注意结合题目给出的三角形条件判断三角函数值的符号。
【难度系数】
0.8
