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8.如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,且CD:BD=3:4.若BC=21,则点D到边AB的距离为
9
.答案
8.9
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，因此点D到AB的距离等于CD的长度，所以我们只需要根据CD与BD的比例以及BC的总长度求出CD的长度即可得到答案。第一步先根据线段比例关系求出CD的长，第二步结合角平分线性质得到所求距离。
【解析】
解：已知CD:BD=3:4，设CD=3x，BD=4x。
因为BC=CD+BD=21，所以3x+4x=21，
解得7x=21，x=3，
因此CD=3x=9。
又因为AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB的距离等于CD的长度，即所求距离为9。
【答案】
9
【知识点】
1.角平分线的性质
2.按比例计算线段长度
【点评】
本题属于基础题型，核心是对角平分线性质的理解与应用，解题的关键是能将所求的点D到AB的距离转化为已知边上的线段CD的长度，再结合比例关系计算即可，要注意牢记角平分线的性质，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，因此点D到AB的距离等于CD的长度，所以我们只需要根据CD与BD的比例以及BC的总长度求出CD的长度即可得到答案。第一步先根据线段比例关系求出CD的长，第二步结合角平分线性质得到所求距离。
【解析】
解：已知CD:BD=3:4，设CD=3x，BD=4x。
因为BC=CD+BD=21，所以3x+4x=21，
解得7x=21，x=3，
因此CD=3x=9。
又因为AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB的距离等于CD的长度，即所求距离为9。
【答案】
9
【知识点】
1.角平分线的性质
2.按比例计算线段长度
【点评】
本题属于基础题型，核心是对角平分线性质的理解与应用，解题的关键是能将所求的点D到AB的距离转化为已知边上的线段CD的长度，再结合比例关系计算即可，要注意牢记角平分线的性质，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.8
9.(2024,齐齐哈尔,12)如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当长为半径作弧,交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在第一象限交于点H,画射线OH,若$H(2a-1,a+1)$,则$a=$
2
.答案
9.2
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出OH是∠xOy的角平分线，而∠xOy是直角，因此OH是第一象限的角平分线。第一象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等，据此可列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，OH为∠xOy的角平分线，
∵∠xOy=90°，
∴OH是第一象限的角平分线，
第一象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等，
∵点H的坐标为$(2a-1,a+1)$，
∴$2a - 1 = a + 1$，
移项得：$2a - a = 1 + 1$，
解得：$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的性质；象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题将尺规作图与平面直角坐标系的知识相结合，解题的核心是先识别出OH是第一象限的角平分线，再利用其坐标特征列方程求解，属于基础题型，主要考查学生对基础作图和坐标性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的尺规作图步骤，可判断出OH是∠xOy的角平分线，而∠xOy是直角，因此OH是第一象限的角平分线。第一象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等，据此可列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，OH为∠xOy的角平分线，
∵∠xOy=90°，
∴OH是第一象限的角平分线，
第一象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等，
∵点H的坐标为$(2a-1,a+1)$，
∴$2a - 1 = a + 1$，
移项得：$2a - a = 1 + 1$，
解得：$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
尺规作角平分线；角平分线的性质；象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题将尺规作图与平面直角坐标系的知识相结合，解题的核心是先识别出OH是第一象限的角平分线，再利用其坐标特征列方程求解，属于基础题型，主要考查学生对基础作图和坐标性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
10.如图,在平面直角坐标系中,D是x轴负半轴上一点,B是第二象限内一点,OA平分∠BOD,AC⊥OB于点C,且AC=3.已知点A到y轴的距离是5,那么点A的坐标为
(-5,3)
.答案
10.(-5,3)
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中OA是∠BOD的角平分线，点A在OA上，因此点A到∠BOD两边OB、OD（即x轴）的距离相等。已知AC⊥OB，AC=3，可知点A到x轴的距离等于AC的长度，即可得到点A的纵坐标；再结合点A到y轴的距离是5，以及点A所在的象限确定横坐标的符号，最终得到点A的坐标。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，AC=3，因此点A到x轴（OD边）的距离等于AC的长度，即点A到x轴的距离为3，可得点A的纵坐标的绝对值是3。
2. 由图可知点A位于第二象限，第二象限内的点纵坐标为正，因此点A的纵坐标为3。
3. 已知点A到y轴的距离是5，第二象限内的点横坐标为负，因此点A的横坐标为-5。
综上，点A的坐标为(-5,3)。
【答案】
(-5,3)
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 点到坐标轴的距离
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，将角平分线的性质与平面直角坐标系的知识结合考查，解题的核心是熟练运用角平分线的性质得到点A到x轴的距离，再结合坐标的相关特征确定点的坐标，掌握基础概念和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中OA是∠BOD的角平分线，点A在OA上，因此点A到∠BOD两边OB、OD（即x轴）的距离相等。已知AC⊥OB，AC=3，可知点A到x轴的距离等于AC的长度，即可得到点A的纵坐标；再结合点A到y轴的距离是5，以及点A所在的象限确定横坐标的符号，最终得到点A的坐标。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，AC=3，因此点A到x轴（OD边）的距离等于AC的长度，即点A到x轴的距离为3，可得点A的纵坐标的绝对值是3。
2. 由图可知点A位于第二象限，第二象限内的点纵坐标为正，因此点A的纵坐标为3。
3. 已知点A到y轴的距离是5，第二象限内的点横坐标为负，因此点A的横坐标为-5。
综上，点A的坐标为(-5,3)。
【答案】
(-5,3)
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 点到坐标轴的距离
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，将角平分线的性质与平面直角坐标系的知识结合考查，解题的核心是熟练运用角平分线的性质得到点A到x轴的距离，再结合坐标的相关特征确定点的坐标，掌握基础概念和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB＝90°$，$CE⊥ AB$于点$E$，$AD＝AC$，$AF$平分$∠ CAB$交$CE$于点$F$，$DF$的延长线交$AC$于点$G$.求证$FG＝FE$.
答案
证明:
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF.
在△ACF和△ADF中,$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAF=∠DAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠ACF=∠ADF.
∵CE⊥AB,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ADF+∠CAE=90°,
∴∠AGD=180°-∠ADF-∠CAE=90°,
∴FG⊥AC.
∵AF平分∠CAB,FE⊥AB,
∴FG=FE.
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF.
在△ACF和△ADF中,$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAF=∠DAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠ACF=∠ADF.
∵CE⊥AB,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ADF+∠CAE=90°,
∴∠AGD=180°-∠ADF-∠CAE=90°,
∴FG⊥AC.
∵AF平分∠CAB,FE⊥AB,
∴FG=FE.
解析
【分析】
要证明$FG=FE$，首先观察到$AF$是$∠ CAB$的角平分线，且已知$FE⊥ AB$，根据角平分线的性质，只需证明$FG⊥ AC$即可。结合已知条件$AD=AC$、$AF$平分$∠ CAB$，可先证明$△ ACF$和$△ ADF$全等，得到对应角相等，再结合$CE⊥ AB$的条件推导$∠ AGD$为直角，即可得到$FG⊥ AC$，最后利用角平分线的性质即可得证。
【解析】
证明:
$\because AF$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAF=∠ DAF$.
在$△ ACF$和$△ ADF$中,
$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠ CAF=∠ DAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ACF=∠ ADF$.
$\because CE⊥ AB$,
$\therefore ∠ ACE+∠ CAE=90°$,
$\therefore ∠ ADF+∠ CAE=90°$,
$\therefore ∠ AGD=180°-∠ ADF-∠ CAE=90°$,
$\therefore FG⊥ AC$.
$\because AF$平分$∠ CAB$，$FE⊥ AB$，$FG⊥ AC$，
$\therefore FG=FE$.
【答案】
证明过程如上所示，最终可证得$FG=FE$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于中等难度的几何证明题，解题的核心是先通过SAS证明三角形全等完成角的等量转化，进而推导出线段垂直关系，再结合角平分线的性质得出结论，能够有效锻炼几何逻辑推理和条件转化的能力。
【难度系数】
0.65
要证明$FG=FE$，首先观察到$AF$是$∠ CAB$的角平分线，且已知$FE⊥ AB$，根据角平分线的性质，只需证明$FG⊥ AC$即可。结合已知条件$AD=AC$、$AF$平分$∠ CAB$，可先证明$△ ACF$和$△ ADF$全等，得到对应角相等，再结合$CE⊥ AB$的条件推导$∠ AGD$为直角，即可得到$FG⊥ AC$，最后利用角平分线的性质即可得证。
【解析】
证明:
$\because AF$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAF=∠ DAF$.
在$△ ACF$和$△ ADF$中,
$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠ CAF=∠ DAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ACF=∠ ADF$.
$\because CE⊥ AB$,
$\therefore ∠ ACE+∠ CAE=90°$,
$\therefore ∠ ADF+∠ CAE=90°$,
$\therefore ∠ AGD=180°-∠ ADF-∠ CAE=90°$,
$\therefore FG⊥ AC$.
$\because AF$平分$∠ CAB$，$FE⊥ AB$，$FG⊥ AC$，
$\therefore FG=FE$.
【答案】
证明过程如上所示，最终可证得$FG=FE$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于中等难度的几何证明题，解题的核心是先通过SAS证明三角形全等完成角的等量转化，进而推导出线段垂直关系，再结合角平分线的性质得出结论，能够有效锻炼几何逻辑推理和条件转化的能力。
【难度系数】
0.65
