3.如图,已知△ABC的周长是20,BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是().

A.20
B.25
C.30
D.35

3.C

【分析】
遇到角平分线和垂线段的问题，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，可推出O到△ABC三边的距离都等于OD=3。接下来将△ABC的面积拆分为△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，三个小三角形的高均为3，底的和恰好是△ABC的周长，代入面积公式即可求解。
【解析】
连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3。
△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF$
将OE=OF=OD=3，$AB+BC+AC=20$代入上式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×3×20=30$
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题目，解题的关键是通过拆分大三角形面积，结合角平分线性质得到三个小三角形的高相等，将周长条件代入即可快速求出结果，掌握这种面积拆分的思路能极大提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

4.(2024,烟台,7)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有().


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

4.D

【分析】
要判断射线OP是否为∠AOB的平分线，核心是验证∠AOP=∠BOP，可结合尺规作图的痕迹，利用全等三角形的判定与性质，对4个图形逐一分析：
1. 第一个图是标准的角平分线尺规作图，可通过SSS证明△OCP≌△ODP得到两角相等；
2. 第二个图由作图痕迹可得OA=OB、AP=BP，结合公共边OP可证△OAP≌△OBP得到两角相等；
3. 第三个图由作图痕迹可得OC=CP且CP//OB，结合等腰三角形性质和平行线性质可推导两角相等；
4. 第四个图由作图痕迹可得OC=OD、CP=DP，结合公共边OP可证△OCP≌△ODP得到两角相等。
四个图形的OP都满足角平分线的条件。
【解析】
我们逐个分析4个图形：
1. 第一个图：由作图可知OC=OD，CP=DP，又OP为公共边，根据SSS可证△OCP≌△ODP，因此∠AOP=∠BOP，OP是∠AOB的平分线。
2. 第二个图：由作图可知OA=OB，AP=BP，又OP为公共边，根据SSS可证△OAP≌△OBP，因此∠AOP=∠BOP，OP是∠AOB的平分线。
3. 第三个图：由作图可知OC=OD=CP，且CP//OB，因此∠CPO=∠BOP；又OC=CP，根据等腰三角形等边对等角得∠CPO=∠COP，因此∠COP=∠BOP，OP是∠AOB的平分线。
4. 第四个图：由作图可知OC=OD，CP=DP，又OP为公共边，根据SSS可证△OCP≌△ODP，因此∠AOP=∠BOP，OP是∠AOB的平分线。
综上，4个图形的射线OP都是∠AOB的平分线。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题关键是结合尺规作图痕迹，灵活运用全等三角形、等腰三角形、平行线的性质推导角相等，需要熟悉常见尺规作图的底层原理。
【难度系数】
0.7

5.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点O,A,B均为格点，则图中到∠AOB两边距离相等的点应是().


A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q

5.A

【分析】
解题的核心依据是角平分线的判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。因此我们只需要判断四个点中哪个点落在∠AOB的角平分线上即可。首先观察∠AOB在网格中的位置，确定该角的平分线走向，再比对四个点的位置就能得出结果。
【解析】
根据角平分线的相关结论：角的平分线上的点到角两边的距离相等，反之，在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
观察正方形网格中∠AOB的位置，画出∠AOB的角平分线，可发现只有点M在这条角平分线上，点P、Q、N都不在∠AOB的角平分线上，因此到∠AOB两边距离相等的点是点M。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题结合网格背景考查角平分线的性质与判定的应用，解题的关键是明确“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，只要准确识别出角平分线经过的格点即可快速得出答案，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8

6.(2024,湖南,17)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM=.

6.6

【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出射线BP是∠ABC的角平分线；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知M在BP上，且MD⊥BC、MN⊥AB，可得MD=MN，求出MD的长度；最后根据AD=4MD求出AD的长，利用AM=AD-MD即可算出AM的长度。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，射线BP是∠ABC的角平分线。
∵ AD⊥BC，MN⊥AB，点M在∠ABC的角平分线BP上，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ MD = MN。
∵ MN=2，
∴ MD=2。
又
∵ AD=4MD，
∴ AD=4×2=8，
∴ AM = AD - MD = 8 - 2 = 6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是准确识别角平分线的尺规作图，再结合性质推导线段相等，最后结合线段关系计算即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

7.(2024,凉山州,15)如图,在$△ ABC$中,$∠ BCD=30°$,$∠ ACB=80°$,$CD$是边$AB$上的高,$AE$是$∠ CAB$的平分线,则$∠ AEB$的度数是.

7.100°

【分析】
要求∠AEB的度数，需先求出△ABE中另外两个内角∠B和∠EAB的度数，解题思路如下：①先利用CD是AB边上的高，结合∠BCD的度数，通过直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；②再在△ABC中，利用三角形内角和定理求出∠CAB的度数；③根据AE是角平分线的性质，求出∠EAB的度数；④最后在△AEB中，再次利用三角形内角和定理计算∠AEB的度数。
【解析】
1. 解：
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD = 90°，
已知∠BCD=30°，
∴∠B = 90° - 30° = 60°。
2. 在△ABC中，∠CAB + ∠ACB + ∠B = 180°，
已知∠ACB=80°，∠B=60°，
∴∠CAB = 180° - 80° - 60° = 40°。
3.
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB = $\frac{1}{2}$∠CAB = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
4. 在△AEB中，∠AEB + ∠EAB + ∠B = 180°，
∴∠AEB = 180° - 20° - 60° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形基础计算类题型，难度不大，解题时需要理清各个角之间的关系，逐步推导未知角的度数即可，要求学生熟练掌握三角形的相关基础性质。
【难度系数】
0.7