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12.如图，$AB// CD$，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP交CD于点M.
(1)若$∠ ACD=114°$，求$∠ MAB$的度数；
(2)若$CN⊥ AM$，垂足为N，求证$△ ACN≌△ MCN$.
(1)若$∠ ACD=114°$，求$∠ MAB$的度数；
(2)若$CN⊥ AM$，垂足为N，求证$△ ACN≌△ MCN$.
答案
(1)解:
∵AB//CD,
∴∠ACD+∠CAB=180°.
又∠ACD=114°,
∴∠CAB=180°-114°=66°.
由作法知AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×66°=33°.
(2)证明:由作法知AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB.
∵AB//CD，
∴∠MAB=∠CMA.
∴∠CAM=∠CMA.
∵CN⊥AM,
∴∠CNA=∠CNM=90°.
又CN=CN，
∴△ACN≌△MCN(AAS).
∵AB//CD,
∴∠ACD+∠CAB=180°.
又∠ACD=114°,
∴∠CAB=180°-114°=66°.
由作法知AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×66°=33°.
(2)证明:由作法知AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB.
∵AB//CD，
∴∠MAB=∠CMA.
∴∠CAM=∠CMA.
∵CN⊥AM,
∴∠CNA=∠CNM=90°.
又CN=CN，
∴△ACN≌△MCN(AAS).
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先利用平行线“同旁内角互补”的性质，结合已知的∠ACD度数求出∠CAB的度数；再根据题中的尺规作图步骤，判断出射线AM是∠CAB的角平分线，根据角平分线分原角为两个相等小角的性质，即可计算得到∠MAB的度数。
(2) 证明第二问的三角形全等时，先结合角平分线的定义和平行线“内错角相等”的性质，推导得到∠CAM=∠CMA；再结合CN⊥AM的条件得到两个相等的直角，加上公共边CN，即可利用AAS全等判定定理完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵$AB// CD$，
∴$∠ACD + ∠CAB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$∠ACD=114°$，代入得：
$∠CAB = 180° - 114° = 66°$。
由题中的尺规作图步骤可知，$AM$是$∠CAB$的角平分线，
∴$∠MAB = \frac{1}{2}∠CAB = \frac{1}{2}×66° = 33°$。
(2) 证明：
由作图作法可知，$AM$平分$∠CAB$，
∴$∠CAM = ∠MAB$。
∵$AB// CD$，
∴$∠MAB = ∠CMA$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠CAM = ∠CMA$。
∵$CN⊥AM$，
∴$∠CNA = ∠CNM = 90°$。
在$△ ACN$和$△ MCN$中：
$\begin{cases}∠CNA = ∠CNM \\∠CAM = ∠CMA \\CN = CN \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ ACN ≌ △ MCN$（AAS）。
【答案】
(1) $\boxed{33°}$
(2) $△ ACN ≌ △ MCN$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的尺规作图，全等三角形判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查多个基础知识点的结合应用，解题核心是准确识别角平分线的尺规作图特征，再结合对应几何定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先利用平行线“同旁内角互补”的性质，结合已知的∠ACD度数求出∠CAB的度数；再根据题中的尺规作图步骤，判断出射线AM是∠CAB的角平分线，根据角平分线分原角为两个相等小角的性质，即可计算得到∠MAB的度数。
(2) 证明第二问的三角形全等时，先结合角平分线的定义和平行线“内错角相等”的性质，推导得到∠CAM=∠CMA；再结合CN⊥AM的条件得到两个相等的直角，加上公共边CN，即可利用AAS全等判定定理完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵$AB// CD$，
∴$∠ACD + ∠CAB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$∠ACD=114°$，代入得：
$∠CAB = 180° - 114° = 66°$。
由题中的尺规作图步骤可知，$AM$是$∠CAB$的角平分线，
∴$∠MAB = \frac{1}{2}∠CAB = \frac{1}{2}×66° = 33°$。
(2) 证明：
由作图作法可知，$AM$平分$∠CAB$，
∴$∠CAM = ∠MAB$。
∵$AB// CD$，
∴$∠MAB = ∠CMA$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠CAM = ∠CMA$。
∵$CN⊥AM$，
∴$∠CNA = ∠CNM = 90°$。
在$△ ACN$和$△ MCN$中：
$\begin{cases}∠CNA = ∠CNM \\∠CAM = ∠CMA \\CN = CN \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ ACN ≌ △ MCN$（AAS）。
【答案】
(1) $\boxed{33°}$
(2) $△ ACN ≌ △ MCN$，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的尺规作图，全等三角形判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查多个基础知识点的结合应用，解题核心是准确识别角平分线的尺规作图特征，再结合对应几何定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
1.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=40°$,以点A为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧(所在圆的半径相等)在$∠ BAC$的内部相交于点P;作射线AP,与BC相交于点D,则$∠ ADC$的大小为(
A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
(第1题) (第2题)
B
).A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
(第1题) (第2题)
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据题中的尺规作图步骤，判断出射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC；2. 利用三角形内角和为180°，结合直角三角形的已知角度，算出∠BAC的度数；3. 根据角平分线的性质，算出∠CAD的度数；4. 最后在Rt△ADC中，利用直角三角形两个锐角互余的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-40°=50°$。
由尺规作图的步骤可知，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，
因此$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
在$Rt△ADC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余，
可得$∠ ADC=90°-∠ CAD=90°-25°=65°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是准确识别角平分线的尺规作图，结合三角形角度计算的相关知识即可顺利求解，考查对基础作图和基础定理的掌握情况。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 先根据题中的尺规作图步骤，判断出射线AP是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC；2. 利用三角形内角和为180°，结合直角三角形的已知角度，算出∠BAC的度数；3. 根据角平分线的性质，算出∠CAD的度数；4. 最后在Rt△ADC中，利用直角三角形两个锐角互余的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-40°=50°$。
由尺规作图的步骤可知，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，
因此$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
在$Rt△ADC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余，
可得$∠ ADC=90°-∠ CAD=90°-25°=65°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是准确识别角平分线的尺规作图，结合三角形角度计算的相关知识即可顺利求解，考查对基础作图和基础定理的掌握情况。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知在四边形ABCD中,$∠ BCD=90°$,BD平分$∠ ABC$,$AB=6$,$BC=9$,$CD=4$,则四边形ABCD的面积是(
A.24
B.30
C.36
D.42
B
).A.24
B.30
C.36
D.42
答案
2.B 【提示】如图,过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.
∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,
∴DH=CD=4.
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}AB·DH+\frac{1}{2}BC·CD=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×9×4=30$.
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，没有直接可用的面积公式，因此考虑用割补法将其拆分为$△ ABD$和$△ BCD$两个三角形，分别计算面积后求和。已知$△ BCD$是直角三角形，边长已知可直接计算面积；$△ ABD$仅已知AB的长度，缺少AB边上的高，结合BD是$∠ ABC$的角平分线、$∠ C$为直角的条件，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB的垂线，即可得到和CD长度相等的高，进而求出$△ ABD$的面积，最终得到四边形总面积。
【解析】
解：过点D作$DH⊥ AB$，交BA的延长线于点H。
∵BD平分$∠ ABC$，$∠ BCD=90°$（即$DC⊥ BC$），
根据角平分线的性质可得：$DH=CD=4$。
分别计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DH=\frac{1}{2}×6×4=12$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× CD=\frac{1}{2}×9×4=18$，
则$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=12+18=30$。
【答案】B
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是利用角平分线的性质作辅助线获得三角形的高，将不规则图形转化为可计算面积的规则图形求解，体现了几何中常用的转化思想。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形ABCD的面积，没有直接可用的面积公式，因此考虑用割补法将其拆分为$△ ABD$和$△ BCD$两个三角形，分别计算面积后求和。已知$△ BCD$是直角三角形，边长已知可直接计算面积；$△ ABD$仅已知AB的长度，缺少AB边上的高，结合BD是$∠ ABC$的角平分线、$∠ C$为直角的条件，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB的垂线，即可得到和CD长度相等的高，进而求出$△ ABD$的面积，最终得到四边形总面积。
【解析】
解：过点D作$DH⊥ AB$，交BA的延长线于点H。
∵BD平分$∠ ABC$，$∠ BCD=90°$（即$DC⊥ BC$），
根据角平分线的性质可得：$DH=CD=4$。
分别计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DH=\frac{1}{2}×6×4=12$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× CD=\frac{1}{2}×9×4=18$，
则$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=12+18=30$。
【答案】B
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是利用角平分线的性质作辅助线获得三角形的高，将不规则图形转化为可计算面积的规则图形求解，体现了几何中常用的转化思想。
【难度系数】
0.7
