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3.如图,直线$AB// CD$,直线$EF$分别与$AB$,$CD$交于点$E$,$F$,小明同学利用尺规按以下步骤作图:
(1)以点$E$为圆心,以任意长为半径作弧交射线$EB$于点$M$,交射线$EF$于点$N$;
(2)分别以点$M$,$N$为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ BEF$内交于点$P$;
(3)作射线$EP$交直线$CD$于点$G$.
若$∠ EGF=29°$,则$∠ BEF=$
(1)以点$E$为圆心,以任意长为半径作弧交射线$EB$于点$M$,交射线$EF$于点$N$;
(2)分别以点$M$,$N$为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在$∠ BEF$内交于点$P$;
(3)作射线$EP$交直线$CD$于点$G$.
若$∠ EGF=29°$,则$∠ BEF=$
58°
.答案
3.58°
解析
【分析】
解题思路：首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断出射线EP是∠BEF的角平分线，得到∠BEF与∠BEG的数量关系；再结合AB//CD的条件，利用平行线内错角相等的性质求出∠BEG的度数，最后代入数量关系计算出∠BEF的度数即可。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，EP是∠BEF的角平分线，
∴ $∠ BEF = 2∠ BEG$，
∵ $AB// CD$，EG为截线，根据两直线平行，内错角相等，
∴ $∠ BEG = ∠ EGF = 29°$，
∴ $∠ BEF = 2×29° = 58°$。
【答案】
$58°$
【知识点】
角平分线的尺规作图；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，将尺规作图的识别与平行线的性质结合考查，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，再结合平行线的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断出射线EP是∠BEF的角平分线，得到∠BEF与∠BEG的数量关系；再结合AB//CD的条件，利用平行线内错角相等的性质求出∠BEG的度数，最后代入数量关系计算出∠BEF的度数即可。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，EP是∠BEF的角平分线，
∴ $∠ BEF = 2∠ BEG$，
∵ $AB// CD$，EG为截线，根据两直线平行，内错角相等，
∴ $∠ BEG = ∠ EGF = 29°$，
∴ $∠ BEF = 2×29° = 58°$。
【答案】
$58°$
【知识点】
角平分线的尺规作图；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，将尺规作图的识别与平行线的性质结合考查，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，再结合平行线的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=10$,$AC=8$,$CB=6$,$I$是三条角平分线的交点,$ID⊥ BC$于点$D$,则$ID$的长为
2
.答案
4.2
解析
【分析】
首先，I是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此I到△ABC三边AB、BC、AC的距离相等，即ID等于I到另外两边的距离。我们可以利用“△ABC的总面积等于I与三个顶点连线分割出的三个小三角形的面积和”这一关系，列等式计算出ID的长度。
【解析】
因为I是△ABC三条角平分线的交点，ID⊥BC，根据角平分线的性质可知，点I到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为$r$，即$ID=r$。
先计算$Rt△ABC$的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×6=24$
同时，△ABC的面积等于△IAC、△IBC、△IAB的面积之和：
$S_{△ABC}=S_{△IAC}+S_{△IBC}+S_{△IAB}$
代入面积公式得：
$24=\frac{1}{2}×AC×r+\frac{1}{2}×BC×r+\frac{1}{2}×AB×r$
整理得：
$24=\frac{1}{2}×(AC+BC+AB)×r$
将$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$代入：
$24=\frac{1}{2}×(8+6+10)×r$
$24=12r$
解得$r=2$，即$ID=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，等积法应用
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是明确三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，再结合面积法建立等量关系求解，解题时要灵活运用等积法简化计算。
【难度系数】
0.7
首先，I是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此I到△ABC三边AB、BC、AC的距离相等，即ID等于I到另外两边的距离。我们可以利用“△ABC的总面积等于I与三个顶点连线分割出的三个小三角形的面积和”这一关系，列等式计算出ID的长度。
【解析】
因为I是△ABC三条角平分线的交点，ID⊥BC，根据角平分线的性质可知，点I到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为$r$，即$ID=r$。
先计算$Rt△ABC$的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×6=24$
同时，△ABC的面积等于△IAC、△IBC、△IAB的面积之和：
$S_{△ABC}=S_{△IAC}+S_{△IBC}+S_{△IAB}$
代入面积公式得：
$24=\frac{1}{2}×AC×r+\frac{1}{2}×BC×r+\frac{1}{2}×AB×r$
整理得：
$24=\frac{1}{2}×(AC+BC+AB)×r$
将$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$代入：
$24=\frac{1}{2}×(8+6+10)×r$
$24=12r$
解得$r=2$，即$ID=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，等积法应用
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是明确三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，再结合面积法建立等量关系求解，解题时要灵活运用等积法简化计算。
【难度系数】
0.7
5.(1)如图①，OP是∠MON的平分线，请你在该图形上进行如下操作:在射线OP上任意取一点S，分别在射线OM，ON上取点Q，R，使OQ=OR，可知△OSQ≌△OSR，其理由是
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系.(不需要证明)
(3)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(2)中的其他条件不变，你在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
SAS
.(2)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系.(不需要证明)
(3)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(2)中的其他条件不变，你在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
答案
5.解:(1)图略,SAS
(2)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.
(3)结论FE=FD仍然成立.
证明:如图,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵∠1=∠2,AF为公共边,AG=AE,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.
∵∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°.
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°.
∴∠CFG=60°,即∠CFG=∠CFD.
又∠3=∠4,FC=FC,
∴△CFG≌△CFD(ASA).
∴FG=FD.
∴FE=FD.
解析
【分析】
(1) 已知OP是∠MON的平分线，可得∠QOS=∠ROS，结合已知OQ=OR，OS是△OSQ和△OSR的公共边，满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，即可确定全等依据。
(2) 结合直角三角形的性质、60°内角的特点和角平分线的性质，可直接得出FE和FD的数量关系。
(3) 要证明FE=FD，可通过构造全等三角形求解：利用AD是∠BAC的平分线，在AC上截取AG=AE，先证△AEF≌△AGF得到FE=FG；再结合∠B=60°和角平分线的定义，计算相关角的度数，证△CFG≌△CFD得到FG=FD，等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵OP平分∠MON，
∴∠QOS=∠ROS，
在△OSQ和△OSR中：
$\begin{cases}OQ=OR\\∠ QOS=∠ ROS\\OS=OS\end{cases}$
∴△OSQ≌△OSR，依据为SAS。
(2) 结合已知条件可直接得出FE=FD。
(3) 结论FE=FD仍然成立，证明过程如下：
在AC上截取AG=AE，连接FG。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中：
$\begin{cases}AE=AG\\∠1=∠2\\AF=AF\end{cases}$
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG。
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴$∠2+∠3=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=60°$，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=60°，即∠CFG=∠CFD。
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中：
$\begin{cases}∠ CFG=∠ CFD\\FC=FC\\∠3=∠4\end{cases}$
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
结合FE=FG，可得FE=FD。
【答案】
(1) SAS
(2) FE=FD
(3) 结论FE=FD仍然成立，证明如下：
如图,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵∠1=∠2,AF为公共边,AG=AE,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.
∵∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°.
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°.
∴∠CFG=60°,即∠CFG=∠CFD.
又∠3=∠4,FC=FC,
∴△CFG≌△CFD(ASA).
∴FG=FD.
∴FE=FD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题从基础的全等判定出发逐层递进，既考查了全等三角形判定、角平分线性质等基础知识点，也考查了构造全等三角形的辅助线做法，需要学生结合角度计算推导全等条件，对几何逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
(1) 已知OP是∠MON的平分线，可得∠QOS=∠ROS，结合已知OQ=OR，OS是△OSQ和△OSR的公共边，满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，即可确定全等依据。
(2) 结合直角三角形的性质、60°内角的特点和角平分线的性质，可直接得出FE和FD的数量关系。
(3) 要证明FE=FD，可通过构造全等三角形求解：利用AD是∠BAC的平分线，在AC上截取AG=AE，先证△AEF≌△AGF得到FE=FG；再结合∠B=60°和角平分线的定义，计算相关角的度数，证△CFG≌△CFD得到FG=FD，等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵OP平分∠MON，
∴∠QOS=∠ROS，
在△OSQ和△OSR中：
$\begin{cases}OQ=OR\\∠ QOS=∠ ROS\\OS=OS\end{cases}$
∴△OSQ≌△OSR，依据为SAS。
(2) 结合已知条件可直接得出FE=FD。
(3) 结论FE=FD仍然成立，证明过程如下：
在AC上截取AG=AE，连接FG。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中：
$\begin{cases}AE=AG\\∠1=∠2\\AF=AF\end{cases}$
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG。
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴$∠2+∠3=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)=\frac{1}{2}(180°-∠ B)=60°$，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=60°，即∠CFG=∠CFD。
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中：
$\begin{cases}∠ CFG=∠ CFD\\FC=FC\\∠3=∠4\end{cases}$
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
结合FE=FG，可得FE=FD。
【答案】
(1) SAS
(2) FE=FD
(3) 结论FE=FD仍然成立，证明如下：
如图,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵∠1=∠2,AF为公共边,AG=AE,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.
∵∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°.
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°.
∴∠CFG=60°,即∠CFG=∠CFD.
又∠3=∠4,FC=FC,
∴△CFG≌△CFD(ASA).
∴FG=FD.
∴FE=FD.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题从基础的全等判定出发逐层递进，既考查了全等三角形判定、角平分线性质等基础知识点，也考查了构造全等三角形的辅助线做法，需要学生结合角度计算推导全等条件，对几何逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
