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12.计算:$6(ab^m - 2) - (3a + 3)(b^m - 3) - (b^m + 1)(1 + 6a).$
答案
12.解:原式$=6ab^m - 12 - 3ab^m + 9a - 3b^m + 9 - b^m - 6ab^m - 1 - 6a = -3ab^m - 4b^m + 3a - 4.$
解析
【分析】
这是一道整式混合运算题，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：第一步先分别计算各乘法部分，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式，计算时要用前一个多项式的每一项乘后一个多项式的每一项，避免漏乘；第二步去括号，注意括号前是负号时，括号内的每一项都要变号；第三步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到化简结果。
【解析】
解：先分别展开各乘法项，再去括号、合并同类项：
原式$=6ab^m - 12 - [3a· b^m +3a· (-3)+3· b^m +3× (-3)] - [b^m· 1 +b^m· 6a +1· 1 +1× 6a]$
$=6ab^m - 12 - (3ab^m -9a +3b^m -9) - (b^m +6ab^m +1 +6a)$
$=6ab^m - 12 - 3ab^m + 9a - 3b^m + 9 - b^m - 6ab^m - 1 - 6a$
合并同类项：
$ab^m$项：$6ab^m -3ab^m -6ab^m=-3ab^m$
$b^m$项：$-3b^m -b^m=-4b^m$
$a$项：$9a -6a=3a$
常数项：$-12+9-1=-4$
最终得结果：$-3ab^m -4b^m +3a -4$
【答案】
$-3ab^m -4b^m +3a -4$
【知识点】
多项式乘多项式；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题核心是熟练掌握整式乘法的运算法则，易错点是去括号时符号处理错误、多项式相乘时漏乘项，计算时逐项检查可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
这是一道整式混合运算题，解题遵循“先乘除后加减”的运算顺序：第一步先分别计算各乘法部分，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式，计算时要用前一个多项式的每一项乘后一个多项式的每一项，避免漏乘；第二步去括号，注意括号前是负号时，括号内的每一项都要变号；第三步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到化简结果。
【解析】
解：先分别展开各乘法项，再去括号、合并同类项：
原式$=6ab^m - 12 - [3a· b^m +3a· (-3)+3· b^m +3× (-3)] - [b^m· 1 +b^m· 6a +1· 1 +1× 6a]$
$=6ab^m - 12 - (3ab^m -9a +3b^m -9) - (b^m +6ab^m +1 +6a)$
$=6ab^m - 12 - 3ab^m + 9a - 3b^m + 9 - b^m - 6ab^m - 1 - 6a$
合并同类项：
$ab^m$项：$6ab^m -3ab^m -6ab^m=-3ab^m$
$b^m$项：$-3b^m -b^m=-4b^m$
$a$项：$9a -6a=3a$
常数项：$-12+9-1=-4$
最终得结果：$-3ab^m -4b^m +3a -4$
【答案】
$-3ab^m -4b^m +3a -4$
【知识点】
多项式乘多项式；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题核心是熟练掌握整式乘法的运算法则，易错点是去括号时符号处理错误、多项式相乘时漏乘项，计算时逐项检查可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
1.下列计算结果正确的是(
A.$(a+1)(a^2+a+1)=a^3+1$
B.$(x-3)(x^2-3x+9)=x^3-27$
C.$(x+y)(2x-3y)=2x^2-3xy+9y^2$
D.$(2a-3b)(2a+3b)=4a^2-9b^2$
D
).A.$(a+1)(a^2+a+1)=a^3+1$
B.$(x-3)(x^2-3x+9)=x^3-27$
C.$(x+y)(2x-3y)=2x^2-3xy+9y^2$
D.$(2a-3b)(2a+3b)=4a^2-9b^2$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查整式乘法的相关计算，解题思路是逐一将每个选项中等式左边的整式乘法按照运算法则展开、合并同类项，再和等式右边的结果对比，判断是否相等，最终选出正确的选项。计算时可以直接用多项式乘多项式的通用法则，也可以结合对应的乘法公式简化计算，同时要注意公式的适用条件，不要错用公式。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(a+1)(a^2+a+1)&=a· a^2 + a· a + a·1 + 1· a^2 +1· a +1·1\\&=a^3+a^2+a+a^2+a+1\\&=a^3+2a^2+2a+1\end{aligned}$
结果与右边$a^3+1$不相等，A错误。
B选项：根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x-3)(x^2-3x+9)&=x· x^2 +x·(-3x)+x·9 -3· x^2 -3·(-3x)-3·9\\&=x^3-3x^2+9x-3x^2+9x-27\\&=x^3-6x^2+18x-27\end{aligned}$
结果与右边$x^3-27$不相等，B错误。
C选项：根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x+y)(2x-3y)&=x·2x +x·(-3y)+y·2x +y·(-3y)\\&=2x^2-3xy+2xy-3y^2\\&=2x^2-xy-3y^2\end{aligned}$
结果与右边$2x^2-3xy+9y^2$不相等，C错误。
D选项：式子符合平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$的结构，其中$m=2a$，$n=3b$，代入得：
$(2a-3b)(2a+3b)=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$，结果与右边相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题侧重考查整式乘法的基本运算能力，需要学生熟练掌握多项式相乘的运算法则，同时能准确识别平方差公式的结构特征，计算时注意符号和同类项的合并，避免因粗心或者错用公式失分。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式乘法的相关计算，解题思路是逐一将每个选项中等式左边的整式乘法按照运算法则展开、合并同类项，再和等式右边的结果对比，判断是否相等，最终选出正确的选项。计算时可以直接用多项式乘多项式的通用法则，也可以结合对应的乘法公式简化计算，同时要注意公式的适用条件，不要错用公式。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(a+1)(a^2+a+1)&=a· a^2 + a· a + a·1 + 1· a^2 +1· a +1·1\\&=a^3+a^2+a+a^2+a+1\\&=a^3+2a^2+2a+1\end{aligned}$
结果与右边$a^3+1$不相等，A错误。
B选项：根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x-3)(x^2-3x+9)&=x· x^2 +x·(-3x)+x·9 -3· x^2 -3·(-3x)-3·9\\&=x^3-3x^2+9x-3x^2+9x-27\\&=x^3-6x^2+18x-27\end{aligned}$
结果与右边$x^3-27$不相等，B错误。
C选项：根据多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(x+y)(2x-3y)&=x·2x +x·(-3y)+y·2x +y·(-3y)\\&=2x^2-3xy+2xy-3y^2\\&=2x^2-xy-3y^2\end{aligned}$
结果与右边$2x^2-3xy+9y^2$不相等，C错误。
D选项：式子符合平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$的结构，其中$m=2a$，$n=3b$，代入得：
$(2a-3b)(2a+3b)=(2a)^2-(3b)^2=4a^2-9b^2$，结果与右边相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题侧重考查整式乘法的基本运算能力，需要学生熟练掌握多项式相乘的运算法则，同时能准确识别平方差公式的结构特征，计算时注意符号和同类项的合并，避免因粗心或者错用公式失分。
【难度系数】
0.8
2.(2023,随州,9)设有边长分别为$a$和$b$ ($a＞b$)的A类和B类正方形纸片、长为$a$宽为$b$的C类长方形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为$a+b$的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形,则需要C类纸片的张数为(
A.6
B.7
C.8
D.9
C
).A.6
B.7
C.8
D.9
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“拼接前后图形总面积相等”的思路。首先明确三类纸片的面积：A类正方形面积为$a^2$，B类正方形面积为$b^2$，C类长方形面积为$ab$。我们先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形的总面积，将总面积用多项式展开后，$ab$项的系数就是需要C类纸片的张数（每张C类纸片面积是$ab$，有多少个$ab$就对应多少张C类纸片）。
【解析】
首先计算待拼接大长方形的面积：
$\begin{aligned}(3a+b)(2a+2b)&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
其中$a^2$项对应A类纸片，$b^2$项对应B类纸片，$ab$项对应C类纸片，每张C类纸片面积为$ab$，因此需要C类纸片8张。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，整式乘法的几何应用，面积法
【点评】
本题将几何图形拼接与整式乘法相结合，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的特点，通过展开多项式得到对应项的系数即可确定各类纸片的数量，能很好地考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以利用“拼接前后图形总面积相等”的思路。首先明确三类纸片的面积：A类正方形面积为$a^2$，B类正方形面积为$b^2$，C类长方形面积为$ab$。我们先计算长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形的总面积，将总面积用多项式展开后，$ab$项的系数就是需要C类纸片的张数（每张C类纸片面积是$ab$，有多少个$ab$就对应多少张C类纸片）。
【解析】
首先计算待拼接大长方形的面积：
$\begin{aligned}(3a+b)(2a+2b)&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
其中$a^2$项对应A类纸片，$b^2$项对应B类纸片，$ab$项对应C类纸片，每张C类纸片面积为$ab$，因此需要C类纸片8张。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，整式乘法的几何应用，面积法
【点评】
本题将几何图形拼接与整式乘法相结合，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的特点，通过展开多项式得到对应项的系数即可确定各类纸片的数量，能很好地考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
3.已知$(x+p)(x+q)=x^2+mx+8$，且$p,q,m$为整数，则$m$的值等于
$\pm6,\pm9$
。答案
3.$\pm6,\pm9$
解析
【分析】
解题时首先运用多项式乘多项式的运算法则展开等式左侧的式子，再根据两个多项式相等时对应项系数相等的性质，得到p、q的乘积、p与q的和和m的关系，最后结合p、q为整数的条件，找出所有乘积为8的整数对，计算整数对的和即可得到m的所有可能值，注意不要遗漏负整数的组合。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开左边：
$\begin{aligned}(x+p)(x+q)&=x^2+qx+px+pq\\&=x^2+(p+q)x+pq\end{aligned}$
已知$(x+p)(x+q)=x^2+mx+8$，根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
$pq=8$，$p+q=m$
因为p、q为整数，所以找出所有乘积为8的整数组合：
① 当$p=1,q=8$或$p=8,q=1$时，$m=1+8=9$
② 当$p=2,q=4$或$p=4,q=2$时，$m=2+4=6$
③ 当$p=-1,q=-8$或$p=-8,q=-1$时，$m=-1+(-8)=-9$
④ 当$p=-2,q=-4$或$p=-4,q=-2$时，$m=-2+(-4)=-6$
综上，m的值为±6，±9。
【答案】
$\pm6,\pm9$
【知识点】
多项式乘多项式；系数对应相等；整数因数分解
【点评】
本题是整式乘法的典型应用题型，解题的关键是通过系数对应建立p、q与m的关系，易错点是容易遗漏两个负整数相乘得正8的情况，导致少算m的负值，解题时需全面考虑所有整数组合。
【难度系数】
0.6
解题时首先运用多项式乘多项式的运算法则展开等式左侧的式子，再根据两个多项式相等时对应项系数相等的性质，得到p、q的乘积、p与q的和和m的关系，最后结合p、q为整数的条件，找出所有乘积为8的整数对，计算整数对的和即可得到m的所有可能值，注意不要遗漏负整数的组合。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开左边：
$\begin{aligned}(x+p)(x+q)&=x^2+qx+px+pq\\&=x^2+(p+q)x+pq\end{aligned}$
已知$(x+p)(x+q)=x^2+mx+8$，根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
$pq=8$，$p+q=m$
因为p、q为整数，所以找出所有乘积为8的整数组合：
① 当$p=1,q=8$或$p=8,q=1$时，$m=1+8=9$
② 当$p=2,q=4$或$p=4,q=2$时，$m=2+4=6$
③ 当$p=-1,q=-8$或$p=-8,q=-1$时，$m=-1+(-8)=-9$
④ 当$p=-2,q=-4$或$p=-4,q=-2$时，$m=-2+(-4)=-6$
综上，m的值为±6，±9。
【答案】
$\pm6,\pm9$
【知识点】
多项式乘多项式；系数对应相等；整数因数分解
【点评】
本题是整式乘法的典型应用题型，解题的关键是通过系数对应建立p、q与m的关系，易错点是容易遗漏两个负整数相乘得正8的情况，导致少算m的负值，解题时需全面考虑所有整数组合。
【难度系数】
0.6
4.若规定符号$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$的意义是$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，则当$m^3 -7m -6=0$时，$\begin{vmatrix} m^2 & m-3 \\ 1-2m & m-2 \end{vmatrix}$的值为________.
答案
4.9
解析
【分析】
首先要理解题目给出的新定义运算规则，先将二阶行列式按照规定转化为整式运算的代数式，再按照整式乘法的法则展开、合并同类项化简，最后结合已知的等式$m^3 -7m -6=0$，通过整体代入的方法求出代数式的值，不需要单独求解m的具体数值，简化计算过程。
【解析】
根据题中给出的行列式运算规则$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{aligned}\begin{vmatrix} m^2 & m-3 \\ 1-2m & m-2 \end{vmatrix}&=m^2(m-2) - (m-3)(1-2m)\\&=m^3 - 2m^2 - [m(1-2m) -3(1-2m)]\\&=m^3 - 2m^2 - (m - 2m^2 -3 + 6m)\\&=m^3 - 2m^2 - (7m - 2m^2 -3)\\&=m^3 - 2m^2 -7m + 2m^2 +3\\&=m^3 -7m +3\end{aligned}$
已知$m^3 -7m -6=0$，移项可得$m^3 -7m=6$，将其代入化简后的式子：
原式$=6 + 3 =9$
【答案】
9
【知识点】
新定义运算，整式的乘法，整体代入求值
【点评】
本题将新定义运算和整式化简求值结合，解题的核心是正确按照新定义展开代数式，化简过程中要注意去括号时的符号变化，最后利用整体代入思想避免求解高次方程，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
首先要理解题目给出的新定义运算规则，先将二阶行列式按照规定转化为整式运算的代数式，再按照整式乘法的法则展开、合并同类项化简，最后结合已知的等式$m^3 -7m -6=0$，通过整体代入的方法求出代数式的值，不需要单独求解m的具体数值，简化计算过程。
【解析】
根据题中给出的行列式运算规则$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{aligned}\begin{vmatrix} m^2 & m-3 \\ 1-2m & m-2 \end{vmatrix}&=m^2(m-2) - (m-3)(1-2m)\\&=m^3 - 2m^2 - [m(1-2m) -3(1-2m)]\\&=m^3 - 2m^2 - (m - 2m^2 -3 + 6m)\\&=m^3 - 2m^2 - (7m - 2m^2 -3)\\&=m^3 - 2m^2 -7m + 2m^2 +3\\&=m^3 -7m +3\end{aligned}$
已知$m^3 -7m -6=0$，移项可得$m^3 -7m=6$，将其代入化简后的式子：
原式$=6 + 3 =9$
【答案】
9
【知识点】
新定义运算，整式的乘法，整体代入求值
【点评】
本题将新定义运算和整式化简求值结合，解题的核心是正确按照新定义展开代数式，化简过程中要注意去括号时的符号变化，最后利用整体代入思想避免求解高次方程，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
5.已知多项式$ax+b$与多项式$2x^2-3x+5$的乘积的结果中，含$x^2$项的系数是$-2$，含$x$项的系数是5，求$a,b$的值。
答案
5.解:$\because (ax+b)(2x^2-3x+5)=2ax^3+(2b-3a)x^2+5ax-3bx+5b,\therefore (2b-3a)x^2=-2x^2.$
$5ax-3bx=(5a-3b)x=5x.$
解方程组$\begin{cases}2b-3a=-2,\\5a-3b=5,\end{cases}$得$\begin{cases}a=4,\\b=5.\end{cases}$
$5ax-3bx=(5a-3b)x=5x.$
解方程组$\begin{cases}2b-3a=-2,\\5a-3b=5,\end{cases}$得$\begin{cases}a=4,\\b=5.\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要将两个多项式相乘展开，再合并同类项，分别找到$x^2$项和$x$项的系数，再结合题目给出的两项系数条件，列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，最后解方程组即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}(ax+b)(2x^2-3x+5)&=ax·2x^2+ax·(-3x)+ax·5 + b·2x^2 + b·(-3x)+b·5\\&=2ax^3-3ax^2+5ax+2bx^2-3bx+5b\\&=2ax^3+(2b-3a)x^2+(5a-3b)x+5b\end{aligned}$
根据题意，含$x^2$项的系数是$-2$，含$x$项的系数是$5$，可列方程组：
$\begin{cases}2b-3a=-2\\5a-3b=5\end{cases}$
解方程组：
给第一个方程两边乘3得：$6b-9a=-6$ ①
给第二个方程两边乘2得：$10a-6b=10$ ②
①+②得$a=4$，将$a=4$代入$2b-3a=-2$，得$2b-12=-2$，解得$b=5$。
【答案】
$\begin{cases}a=4\\b=5\end{cases}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；解二元一次方程组
【点评】
本题是整式乘法与方程结合的典型基础题，解题核心是准确展开多项式并合并同类项，利用“对应同类项的系数相等”建立方程组求解，计算时要注意符号，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将两个多项式相乘展开，再合并同类项，分别找到$x^2$项和$x$项的系数，再结合题目给出的两项系数条件，列出关于$a$、$b$的二元一次方程组，最后解方程组即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}(ax+b)(2x^2-3x+5)&=ax·2x^2+ax·(-3x)+ax·5 + b·2x^2 + b·(-3x)+b·5\\&=2ax^3-3ax^2+5ax+2bx^2-3bx+5b\\&=2ax^3+(2b-3a)x^2+(5a-3b)x+5b\end{aligned}$
根据题意，含$x^2$项的系数是$-2$，含$x$项的系数是$5$，可列方程组：
$\begin{cases}2b-3a=-2\\5a-3b=5\end{cases}$
解方程组：
给第一个方程两边乘3得：$6b-9a=-6$ ①
给第二个方程两边乘2得：$10a-6b=10$ ②
①+②得$a=4$，将$a=4$代入$2b-3a=-2$，得$2b-12=-2$，解得$b=5$。
【答案】
$\begin{cases}a=4\\b=5\end{cases}$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；解二元一次方程组
【点评】
本题是整式乘法与方程结合的典型基础题，解题核心是准确展开多项式并合并同类项，利用“对应同类项的系数相等”建立方程组求解，计算时要注意符号，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
