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1.方程$(x+2)(x-3)=0$的解是(
A.$x_1=-2,x_2=-3$
B.$x_1=2,x_2=-3$
C.$x_1=-2,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
C
).A.$x_1=-2,x_2=-3$
B.$x_1=2,x_2=-3$
C.$x_1=-2,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
答案
1.C
解析
【分析】
观察方程发现左边已经是两个一次因式相乘、右边为0的形式，符合因式分解法解一元二次方程的特征，无需再整理方程。解题时利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知方程$(x+2)(x-3)=0$，根据零乘积性质可得：
$x+2=0$ 或 $x-3=0$
解$x+2=0$，得$x_1=-2$；
解$x-3=0$，得$x_2=3$。
因此原方程的解为$x_1=-2,x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、零乘积性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查因式分解法的应用，计算难度低，熟练掌握零乘积性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
观察方程发现左边已经是两个一次因式相乘、右边为0的形式，符合因式分解法解一元二次方程的特征，无需再整理方程。解题时利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知方程$(x+2)(x-3)=0$，根据零乘积性质可得：
$x+2=0$ 或 $x-3=0$
解$x+2=0$，得$x_1=-2$；
解$x-3=0$，得$x_2=3$。
因此原方程的解为$x_1=-2,x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、零乘积性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查因式分解法的应用，计算难度低，熟练掌握零乘积性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.方程$4x^2 - 3 = 0$的解是(
A.$x_1=-\dfrac{3}{4},x_2=\dfrac{3}{4}$
B.$x_1=-\dfrac{3}{2},x_2=\dfrac{3}{2}$
C.$x_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{4},x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
D.$x_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D
).A.$x_1=-\dfrac{3}{4},x_2=\dfrac{3}{4}$
B.$x_1=-\dfrac{3}{2},x_2=\dfrac{3}{2}$
C.$x_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{4},x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
D.$x_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
这是缺一次项的一元二次方程求解问题，优先采用直接开平方法解题。首先将常数项移到方程右侧，再把$x^2$的系数化为1，最后对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，化简根式后即可得到方程的解，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程移项，得$4x^2=3$，
将$x^2$的系数化为1，得$x^2=\dfrac{3}{4}$，
两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
即方程的解为$x_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的基础解法，选择直接开平方法计算更简便，解题时要注意正数开平方有正负两个根，同时根式化简要正确，避免漏解或化简错误。
【难度系数】
0.9
这是缺一次项的一元二次方程求解问题，优先采用直接开平方法解题。首先将常数项移到方程右侧，再把$x^2$的系数化为1，最后对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，化简根式后即可得到方程的解，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程移项，得$4x^2=3$，
将$x^2$的系数化为1，得$x^2=\dfrac{3}{4}$，
两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
即方程的解为$x_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的基础解法，选择直接开平方法计算更简便，解题时要注意正数开平方有正负两个根，同时根式化简要正确，避免漏解或化简错误。
【难度系数】
0.9
3.用因式分解法解方程$x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$，可以将方程化为(
A.$(x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2})$
B.$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{2})$
C.$(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{2})$
D.$(x + \sqrt{3})(x + \sqrt{2})$
A
).A.$(x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2})$
B.$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{2})$
C.$(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{2})$
D.$(x + \sqrt{3})(x + \sqrt{2})$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路如下：首先回忆十字相乘法因式分解的规则：对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，若能找到两个数$m$、$n$，满足$m+n=-b$，$m· n=c$，则方程可分解为$(x+m)(x+n)=0$。观察本题给出的方程，一次项系数为$-(\sqrt{3}+\sqrt{2})$，常数项为$\sqrt{6}$，我们只需找到满足“和为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$、积为$\sqrt{6}$”的两个数，即可完成因式分解。
【解析】
对于方程$x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$，根据十字相乘法因式分解的要求：
1. 计算常数项的因数组合：$\sqrt{6}=\sqrt{3}×\sqrt{2}$；
2. 验证两个因数的和：$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，恰好等于一次项系数的相反数；
因此方程可因式分解为：$(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{2})=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次项系数为1的二次三项式的十字拆分规则，拆分时注意一次项系数和常数项的符号即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查用因式分解法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路如下：首先回忆十字相乘法因式分解的规则：对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，若能找到两个数$m$、$n$，满足$m+n=-b$，$m· n=c$，则方程可分解为$(x+m)(x+n)=0$。观察本题给出的方程，一次项系数为$-(\sqrt{3}+\sqrt{2})$，常数项为$\sqrt{6}$，我们只需找到满足“和为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$、积为$\sqrt{6}$”的两个数，即可完成因式分解。
【解析】
对于方程$x^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$，根据十字相乘法因式分解的要求：
1. 计算常数项的因数组合：$\sqrt{6}=\sqrt{3}×\sqrt{2}$；
2. 验证两个因数的和：$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，恰好等于一次项系数的相反数；
因此方程可因式分解为：$(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{2})=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次项系数为1的二次三项式的十字拆分规则，拆分时注意一次项系数和常数项的符号即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.方程$(5-6x)^2 + (6x -5)=0$的解是(
A.$x_1=x_2=\frac{5}{6}$
B.$x_1=\frac{2}{3},x_2=\frac{6}{5}$
C.$x_1=1,x_2=\frac{5}{6}$
D.$x_1=\frac{2}{3},x_2=\frac{5}{6}$
D
).A.$x_1=x_2=\frac{5}{6}$
B.$x_1=\frac{2}{3},x_2=\frac{6}{5}$
C.$x_1=1,x_2=\frac{5}{6}$
D.$x_1=\frac{2}{3},x_2=\frac{5}{6}$
答案
4.D
解析
【分析】
观察方程结构可发现，式中$(5-6x)$与$(6x-5)$互为相反数，因此无需展开完全平方项，可通过变形提取公因式，用因式分解法求解一元二次方程。首先将方程变形为含有相同公因式的形式，再将其转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：$\because 6x-5=-(5-6x)$
$\therefore$原方程可变形为：
$(5-6x)^2 - (5-6x) = 0$
提取公因式$(5-6x)$得：
$(5-6x)(5-6x - 1) = 0$
整理得：$(5-6x)(4 - 6x) = 0$
令两个因式分别为0，得：
①$5-6x=0$，解得$x=\frac{5}{6}$
②$4-6x=0$，解得$x=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$\therefore$原方程的解为$x_1=\frac{2}{3},x_2=\frac{5}{6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是观察方程的结构特征，发现式子中互为相反数的多项式，通过变形提取公因式简化计算，避免直接展开完全平方项导致的计算量增大或计算错误，属于基础类求解题目。
【难度系数】
0.75
观察方程结构可发现，式中$(5-6x)$与$(6x-5)$互为相反数，因此无需展开完全平方项，可通过变形提取公因式，用因式分解法求解一元二次方程。首先将方程变形为含有相同公因式的形式，再将其转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：$\because 6x-5=-(5-6x)$
$\therefore$原方程可变形为：
$(5-6x)^2 - (5-6x) = 0$
提取公因式$(5-6x)$得：
$(5-6x)(5-6x - 1) = 0$
整理得：$(5-6x)(4 - 6x) = 0$
令两个因式分别为0，得：
①$5-6x=0$，解得$x=\frac{5}{6}$
②$4-6x=0$，解得$x=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$\therefore$原方程的解为$x_1=\frac{2}{3},x_2=\frac{5}{6}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题关键是观察方程的结构特征，发现式子中互为相反数的多项式，通过变形提取公因式简化计算，避免直接展开完全平方项导致的计算量增大或计算错误，属于基础类求解题目。
【难度系数】
0.75
5.方程$4(x-3)^2=x^2$的解是(
A.$x_1=x_2=6$
B.$x_1=2,x_2=6$
C.$x_1=x_2=4$
D.$x_1=4,x_2=\frac{12}{5}$
B
).A.$x_1=x_2=6$
B.$x_1=2,x_2=6$
C.$x_1=x_2=4$
D.$x_1=4,x_2=\frac{12}{5}$
答案
5.B
解析
【分析】
观察方程结构，左右两边均为完全平方形式，优先选择简便方法求解，可通过移项后利用平方差公式因式分解，或直接开平方求解，避免展开后用求根公式增加计算量。因式分解法的思路是将方程变形为两个一次式乘积为0的形式，再分别令每个一次式为0即可得到方程的解；若用直接开平方法，需注意开平方后右边要带正负号，避免漏解。
【解析】
解法1（因式分解法）：
移项，得 $4(x-3)^2 - x^2 = 0$
将左边变形为平方差形式：$[2(x-3)]^2 - x^2 = 0$
由平方差公式因式分解，得 $[2(x-3) - x][2(x-3) + x] = 0$
化简括号内的整式：
第一个括号：$2(x-3) - x = 2x - 6 - x = x - 6$
第二个括号：$2(x-3) + x = 2x - 6 + x = 3x - 6 = 3(x-2)$
因此方程转化为：$(x - 6) × 3(x - 2) = 0$，即 $(x - 6)(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得 $x - 6 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得 $x_1 = 6$，$x_2 = 2$，故选B。
解法2（直接开平方法）：
方程两边同时开平方，得 $2(x - 3) = \pm x$
分两种情况讨论：
① 当 $2(x - 3) = x$ 时，$2x - 6 = x$，解得 $x = 6$
② 当 $2(x - 3) = -x$ 时，$2x - 6 = -x$，移项得 $3x = 6$，解得 $x = 2$
综上，方程的解为 $x_1 = 2$，$x_2 = 6$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题时可根据方程的结构特征选择简便解法，既能提升解题效率，也能减少计算错误，注意直接开平方时不要忽略负号情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，左右两边均为完全平方形式，优先选择简便方法求解，可通过移项后利用平方差公式因式分解，或直接开平方求解，避免展开后用求根公式增加计算量。因式分解法的思路是将方程变形为两个一次式乘积为0的形式，再分别令每个一次式为0即可得到方程的解；若用直接开平方法，需注意开平方后右边要带正负号，避免漏解。
【解析】
解法1（因式分解法）：
移项，得 $4(x-3)^2 - x^2 = 0$
将左边变形为平方差形式：$[2(x-3)]^2 - x^2 = 0$
由平方差公式因式分解，得 $[2(x-3) - x][2(x-3) + x] = 0$
化简括号内的整式：
第一个括号：$2(x-3) - x = 2x - 6 - x = x - 6$
第二个括号：$2(x-3) + x = 2x - 6 + x = 3x - 6 = 3(x-2)$
因此方程转化为：$(x - 6) × 3(x - 2) = 0$，即 $(x - 6)(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得 $x - 6 = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得 $x_1 = 6$，$x_2 = 2$，故选B。
解法2（直接开平方法）：
方程两边同时开平方，得 $2(x - 3) = \pm x$
分两种情况讨论：
① 当 $2(x - 3) = x$ 时，$2x - 6 = x$，解得 $x = 6$
② 当 $2(x - 3) = -x$ 时，$2x - 6 = -x$，移项得 $3x = 6$，解得 $x = 2$
综上，方程的解为 $x_1 = 2$，$x_2 = 6$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，解题时可根据方程的结构特征选择简便解法，既能提升解题效率，也能减少计算错误，注意直接开平方时不要忽略负号情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
6.方程$7x^2=3x$的解是
$x_1=0,x_2=\dfrac{3}{7}$
.答案
6.$x_1=0,x_2=\dfrac{3}{7}$
解析
【分析】
解本题时要注意不能直接在方程两边同时除以x，因为x可能为0，直接约分会漏掉x=0这个解。正确思路是先移项使等号右边为0，再观察左边多项式可提取公因式x，因此采用因式分解法求解，根据“两个因式乘积为0则至少一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$7x^2 - 3x = 0$
对等式左边提取公因式$x$因式分解，得：
$x(7x - 3) = 0$
由此可得：
$x = 0$ 或 $7x - 3 = 0$
解$7x - 3 = 0$得$x = \dfrac{3}{7}$
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=\dfrac{3}{7}$
【答案】
$x_1=0,x_2=\dfrac{3}{7}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题，核心易错点是直接两边除以x漏解，使用因式分解法求解简便高效，主要考查解方程的规范操作和运算细致度。
【难度系数】
0.8
解本题时要注意不能直接在方程两边同时除以x，因为x可能为0，直接约分会漏掉x=0这个解。正确思路是先移项使等号右边为0，再观察左边多项式可提取公因式x，因此采用因式分解法求解，根据“两个因式乘积为0则至少一个因式为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$7x^2 - 3x = 0$
对等式左边提取公因式$x$因式分解，得：
$x(7x - 3) = 0$
由此可得：
$x = 0$ 或 $7x - 3 = 0$
解$7x - 3 = 0$得$x = \dfrac{3}{7}$
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=\dfrac{3}{7}$
【答案】
$x_1=0,x_2=\dfrac{3}{7}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题，核心易错点是直接两边除以x漏解，使用因式分解法求解简便高效，主要考查解方程的规范操作和运算细致度。
【难度系数】
0.8
7.方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的解是
$x_1=1,x_2=2$
。答案
7.$x_1=1,x_2=2$
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的基础题，解题时可优先观察方程左侧多项式的结构，由于二次项系数为1，常数项2可拆分为-1与-2的乘积，且-1+(-2)=-3恰好等于一次项系数，因此可采用十字相乘法对左侧因式分解，将二次方程降次为两个一次方程求解，也可使用公式法、配方法求解，其中因式分解法最为简便。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 3x + 2 = 0$左侧因式分解，可得：
$(x-1)(x-2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-2=0$
分别解两个一次方程，得：
$x_1=1$，$x_2=2$
【答案】
$x_1=1,x_2=2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考察因式分解法解方程的应用，熟练掌握十字相乘法即可快速得出结果，计算量小。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元二次方程的基础题，解题时可优先观察方程左侧多项式的结构，由于二次项系数为1，常数项2可拆分为-1与-2的乘积，且-1+(-2)=-3恰好等于一次项系数，因此可采用十字相乘法对左侧因式分解，将二次方程降次为两个一次方程求解，也可使用公式法、配方法求解，其中因式分解法最为简便。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 3x + 2 = 0$左侧因式分解，可得：
$(x-1)(x-2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x-2=0$
分别解两个一次方程，得：
$x_1=1$，$x_2=2$
【答案】
$x_1=1,x_2=2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，核心考察因式分解法解方程的应用，熟练掌握十字相乘法即可快速得出结果，计算量小。
【难度系数】
0.9
8.方程$3x(x+1)=5(x+1)$的解是
$x_1=-1,x_2=\dfrac{5}{3}$
.答案
8.$x_1=-1,x_2=\dfrac{5}{3}$
解析
【分析】
首先观察方程结构，左右两边都含有公因式$x+1$，若直接两边同时除以$x+1$，会默认$x+1≠0$，从而漏掉$x=-1$这个解。因此正确的解题思路是先移项，将所有项移到等号左侧，再提取公因式$x+1$，把方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：首先移项，得：
$3x(x+1)-5(x+1)=0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)(3x-5)=0$
因此$x+1=0$或$3x-5=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x_1=-1$；
当$3x-5=0$时，移项得$3x=5$，解得$x_2=\frac{5}{3}$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=\dfrac{5}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程；提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接约去含未知数的公因式$x+1$导致丢根，解题时遇到等号两边有公共含未知因式的情况，优先选择移项提取公因式的方法，避免漏解。
【难度系数】
0.8
首先观察方程结构，左右两边都含有公因式$x+1$，若直接两边同时除以$x+1$，会默认$x+1≠0$，从而漏掉$x=-1$这个解。因此正确的解题思路是先移项，将所有项移到等号左侧，再提取公因式$x+1$，把方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：首先移项，得：
$3x(x+1)-5(x+1)=0$
提取公因式$(x+1)$，得：
$(x+1)(3x-5)=0$
因此$x+1=0$或$3x-5=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x_1=-1$；
当$3x-5=0$时，移项得$3x=5$，解得$x_2=\frac{5}{3}$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=\dfrac{5}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程；提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接约去含未知数的公因式$x+1$导致丢根，解题时遇到等号两边有公共含未知因式的情况，优先选择移项提取公因式的方法，避免漏解。
【难度系数】
0.8
9.若代数式$x^2 + 2x$与代数式$7x + 6$的值相等，则$x$的值是
6或-1
。答案
9.6或-1
解析
【分析】
解题首先抓住“两个代数式值相等”这一关键条件，第一步先根据等量关系列出方程；第二步将方程移项整理为一元二次方程的一般形式，观察方程各项系数特点，常数项为-6，一次项系数为-5，可选择因式分解法快速求解，也可使用公式法求解，最后得出x的取值。
【解析】
解：根据题意可得方程：
$x^2 + 2x = 7x + 6$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 5x - 6 = 0$
对左侧因式分解：
$(x - 6)(x + 1) = 0$
则$x - 6 = 0$或$x + 1 = 0$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -1$
【答案】
6或-1
【知识点】
列一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据等量关系列方程的能力以及一元二次方程的求解能力，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题首先抓住“两个代数式值相等”这一关键条件，第一步先根据等量关系列出方程；第二步将方程移项整理为一元二次方程的一般形式，观察方程各项系数特点，常数项为-6，一次项系数为-5，可选择因式分解法快速求解，也可使用公式法求解，最后得出x的取值。
【解析】
解：根据题意可得方程：
$x^2 + 2x = 7x + 6$
移项整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 5x - 6 = 0$
对左侧因式分解：
$(x - 6)(x + 1) = 0$
则$x - 6 = 0$或$x + 1 = 0$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -1$
【答案】
6或-1
【知识点】
列一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据等量关系列方程的能力以及一元二次方程的求解能力，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
10.如果在一块正方形的铁片的一边截去3 cm宽的一个长方形，剩下的面积是40 $\mathrm{cm}^2$，那么这块正方形铁片原来的边长是
8 cm
。答案
10.8 cm 【提示】设正方形铁片原来的边长为x cm，则截去的长方形的面积是3x cm².根据题意，列出方程$x^2-3x=40$.解得$x_1=8,x_2=-5$(舍去).
∴正方形铁片原来的边长为8 cm.
∴正方形铁片原来的边长为8 cm.
解析
【分析】
要求正方形原来的边长，可通过设未知数列方程求解。首先设正方形原边长为x cm，先明确等量关系：正方形原面积 - 截去的长方形面积 = 剩下的面积。正方形面积为边长的平方，截去的长方形一边长为正方形的边长x cm，宽为3 cm，面积为3x cm²，结合剩下面积是40 cm²即可列出方程，再求解一元二次方程，最后根据边长为正数舍去不符合实际的根即可得到答案。
【解析】
解：设正方形铁片原来的边长为x cm。
正方形原面积为$x^2$ cm²，截去的长方形面积为$3x$ cm²，根据题意得：
$x^2 - 3x = 40$
整理得：$x^2 - 3x - 40 = 0$
因式分解得：$(x - 8)(x + 5) = 0$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -5$
∵边长为正数，
∴$x=-5$不符合实际，舍去。
即正方形铁片原来的边长为8 cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
一元二次方程应用，因式分解法解方程，列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的方程与几何结合的应用题，解题核心是找到面积间的等量关系列出方程，求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，是对一元二次方程实际应用的基础考察。
【难度系数】
0.8
要求正方形原来的边长，可通过设未知数列方程求解。首先设正方形原边长为x cm，先明确等量关系：正方形原面积 - 截去的长方形面积 = 剩下的面积。正方形面积为边长的平方，截去的长方形一边长为正方形的边长x cm，宽为3 cm，面积为3x cm²，结合剩下面积是40 cm²即可列出方程，再求解一元二次方程，最后根据边长为正数舍去不符合实际的根即可得到答案。
【解析】
解：设正方形铁片原来的边长为x cm。
正方形原面积为$x^2$ cm²，截去的长方形面积为$3x$ cm²，根据题意得：
$x^2 - 3x = 40$
整理得：$x^2 - 3x - 40 = 0$
因式分解得：$(x - 8)(x + 5) = 0$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = -5$
∵边长为正数，
∴$x=-5$不符合实际，舍去。
即正方形铁片原来的边长为8 cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
一元二次方程应用，因式分解法解方程，列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的方程与几何结合的应用题，解题核心是找到面积间的等量关系列出方程，求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，是对一元二次方程实际应用的基础考察。
【难度系数】
0.8
11.用因式分解法解方程：
(1)$(2x-1)^2=2x-1$；
(2)$(x+3)^2-4x^2=0$；
(3)$(x-1)^2=2x+1$。
(1)$(2x-1)^2=2x-1$；
(2)$(x+3)^2-4x^2=0$；
(3)$(x-1)^2=2x+1$。
答案
11.【解】(1)移项、因式分解,得$(2x-1)[(2x-1)-1]=0$,即$2(2x-1)(x-1)=0$.
解得$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$.
(2)因式分解,得$[(x+3)-2x][(x+3)+2x]=0$,即$(x-3)(x+1)=0$.
解得$x_1=3,x_2=-1$.
(3)原方程化为$x^2-4x=0$.
因式分解,得$x(x-4)=0$.
解得$x_1=0,x_2=4$.
解得$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$.
(2)因式分解,得$[(x+3)-2x][(x+3)+2x]=0$,即$(x-3)(x+1)=0$.
解得$x_1=3,x_2=-1$.
(3)原方程化为$x^2-4x=0$.
因式分解,得$x(x-4)=0$.
解得$x_1=0,x_2=4$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为“左边是若干个整式乘积、右边为0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不能随意在方程两边除以可能为0的整式，否则会漏根。
(1) 观察方程两边都有因式$(2x-1)$，先移项把右边的$(2x-1)$移到左边，再提取公因式$(2x-1)$即可分解因式求解；
(2) 方程左边是两个平方项的差，符合平方差公式的形式，直接用平方差公式分解因式即可；
(3) 先将左边的完全平方展开，合并同类项整理为标准形式，再提取公因式分解因式求解。
【解析】
(1) 移项得：$(2x-1)^2 - (2x-1) = 0$，
提取公因式$(2x-1)$得：$(2x-1)[(2x-1)-1] = 0$，
化简得：$2(2x-1)(x-1) = 0$，
则$2x-1=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$。
(2) 利用平方差公式因式分解得：$[(x+3)-2x][(x+3)+2x] = 0$，
化简得：$(-x+3)(3x+3) = 0$，即$(x-3)(x+1) = 0$，
则$x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(3) 先展开左边完全平方得：$x^2 - 2x + 1 = 2x + 1$，
移项合并同类项得：$x^2 - 4x = 0$，
提取公因式$x$得：$x(x-4) = 0$，
则$x=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$；(2)$x_1=3,x_2=-1$；(3)$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解法在解一元二次方程中的应用，需要熟练掌握提公因式、公式法等常见的因式分解方法，解题时注意不要随意约去含有未知数的整式，避免出现漏根的情况。
【难度系数】
0.8
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为“左边是若干个整式乘积、右边为0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不能随意在方程两边除以可能为0的整式，否则会漏根。
(1) 观察方程两边都有因式$(2x-1)$，先移项把右边的$(2x-1)$移到左边，再提取公因式$(2x-1)$即可分解因式求解；
(2) 方程左边是两个平方项的差，符合平方差公式的形式，直接用平方差公式分解因式即可；
(3) 先将左边的完全平方展开，合并同类项整理为标准形式，再提取公因式分解因式求解。
【解析】
(1) 移项得：$(2x-1)^2 - (2x-1) = 0$，
提取公因式$(2x-1)$得：$(2x-1)[(2x-1)-1] = 0$，
化简得：$2(2x-1)(x-1) = 0$，
则$2x-1=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$。
(2) 利用平方差公式因式分解得：$[(x+3)-2x][(x+3)+2x] = 0$，
化简得：$(-x+3)(3x+3) = 0$，即$(x-3)(x+1) = 0$，
则$x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(3) 先展开左边完全平方得：$x^2 - 2x + 1 = 2x + 1$，
移项合并同类项得：$x^2 - 4x = 0$，
提取公因式$x$得：$x(x-4) = 0$，
则$x=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$；(2)$x_1=3,x_2=-1$；(3)$x_1=0,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解法在解一元二次方程中的应用，需要熟练掌握提公因式、公式法等常见的因式分解方法，解题时注意不要随意约去含有未知数的整式，避免出现漏根的情况。
【难度系数】
0.8
