12.用适当的方法解方程：
(1)$4(2+x)^2=25$；
(2)$x^2 -2\sqrt{5}x -1=0$；
(3)$(x-2)^2 -10(x-2)+25=0$。

12.【解】(1)$\because 4(2+x)^2=25,\therefore (x+2)^2=\dfrac{25}{4}$.
$\therefore x+2=\pm\dfrac{5}{2}.\therefore x_1=\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{9}{2}$.
(2)$\because x^2-2\sqrt{5}x-1=0,\therefore (x-\sqrt{5})^2=6$.
$\therefore x-\sqrt{5}=\pm\sqrt{6}$.
$\therefore x_1=\sqrt{5}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{5}-\sqrt{6}$.
(3)$\because (x-2)^2-10(x-2)+25=0$,
$\therefore [(x-2)-5]^2=0.\therefore (x-7)^2=0$.
$\therefore x_1=x_2=7$.

【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：(1)题左边是含未知数的完全平方项乘常数，右边为正的常数，适合用直接开平方法，先将完全平方项的系数化为1，再开平方求解；(2)题二次项系数为1，一次项系数是$2\sqrt{5}$，适合用配方法，将左边配成完全平方形式再开方求解；(3)题可将$(x-2)$看作整体，左边符合完全平方公式的结构，适合用因式分解法，利用完全平方公式分解后求解。
【解析】
(1) 对$4(2+x)^2=25$，两边同时除以4得：
$(x+2)^2=\dfrac{25}{4}$
开平方得：$x+2=\pm\dfrac{5}{2}$
解得：$x_1=\dfrac{5}{2}-2=\dfrac{1}{2}$，$x_2=-\dfrac{5}{2}-2=-\dfrac{9}{2}$
(2) 对$x^2 -2\sqrt{5}x -1=0$，移项得：
$x^2 -2\sqrt{5}x=1$
两边同时加$(\sqrt{5})^2$配方得：
$x^2 -2\sqrt{5}x + (\sqrt{5})^2=1+5$，即$(x-\sqrt{5})^2=6$
开平方得：$x-\sqrt{5}=\pm\sqrt{6}$
解得：$x_1=\sqrt{5}+\sqrt{6}$，$x_2=\sqrt{5}-\sqrt{6}$
(3) 对$(x-2)^2 -10(x-2)+25=0$，将$(x-2)$看作整体，用完全平方公式因式分解得：
$[(x-2)-5]^2=0$，即$(x-7)^2=0$
解得：$x_1=x_2=7$
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{9}{2}$；
(2)$x_1=\sqrt{5}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{5}-\sqrt{6}$；
(3)$x_1=x_2=7$
【知识点】
直接开平方法、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，解题时可根据方程的形式灵活选择简便解法，能有效减少计算量，提高解题正确率。
【难度系数】
0.8

1.方程$x^2 - xy - 2y^2 = 0$中，$x$与$y$的关系是().

A.$x=y$或$x=2y$
B.$x=y$或$x=-2y$
C.$x=-y$或$x=2y$
D.$x=-y$或$x=-2y$

1.C

【分析】
本题是求二元二次方程中x与y的关系，解题时可将y看作常数，把原方程转化为关于x的一元二次方程，再利用因式分解法求解：先对等式左侧的二次三项式用十字相乘法因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，即可得到两个一次方程，整理后就能得到x与y的关系。
【解析】
将方程$x^2 - xy - 2y^2 = 0$左侧因式分解，把y看作常数，对关于x的二次三项式用十字相乘法：
$x^2$拆分为$x· x$，$-2y^2$拆分为$-2y· y$，交叉相乘相加得$x· y + x· (-2y) = -xy$，恰好等于中间项，因此：
$x^2 - xy - 2y^2 = (x - 2y)(x + y) = 0$
根据乘积为0的性质可得：
$x - 2y = 0$ 或 $x + y = 0$
整理得$x=2y$或$x=-y$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程；十字相乘法因式分解
【点评】
本题解题核心是将二元齐次方程转化为熟悉的一元二次方程处理，熟练掌握十字相乘法分解含参数的二次三项式是快速解题的关键，分解时要注意各项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.8

2.放学后，甲、乙两个同学同时骑车离开学校，甲以75 m/min速度向正东走去，乙以100 m/min的速度向正北走去，当两个同学之间相距600 m时，需要的时间是()。

A.$\frac{24}{5}$ min
B.4 min
C.$\frac{24}{7}$ min
D.3 min

2.A

【分析】
首先，甲向正东、乙向正北行驶，两人运动方向互相垂直，因此他们各自行驶的路程与两人的间距可构成直角三角形，两条直角边分别是甲、乙行驶的路程，斜边是两人的距离。解题时先设行驶时间为t，根据路程=速度×时间分别表示出两条直角边的长度，再结合勾股定理列一元二次方程，求解后取正根即为所求时间。
【解析】
设当两人相距600m时，所需时间为t min。
根据路程=速度×时间可得：
甲行驶的路程为75t m，乙行驶的路程为100t m。
由于两人行驶方向垂直，由勾股定理得：
$(75t)^2 + (100t)^2 = 600^2$
展开计算得：
$5625t^2 + 10000t^2 = 360000$
合并同类项：
$15625t^2 = 360000$
化简得：
$t^2 = \frac{360000}{15625} = \frac{14400}{625}$
因为时间t为正数，所以：
$t = \sqrt{\frac{14400}{625}} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5}\ \mathrm{min}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程的解法；行程问题公式
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题的核心是根据两人的运动方向识别出直角三角形结构，再结合等量关系正确列方程求解，注意时间为非负数，需舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.7

3.若关于x的一元二次方程$x^2 + px + q = 0$的两个根为3，-6，则二次三项式$x^2 + px + q$可分解为。

3.$(x-3)(x+6)$

【分析】
解题时可逆向运用因式分解法解一元二次方程的思路：我们用因式分解法解一元二次方程时，会将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，令乘积为0得到方程的根；反过来若已知方程的两根，就能反推二次三项式的分解形式。本题中二次项系数为1，因此两个一次因式的x项系数均为1，每个因式的常数项为对应根的相反数，代入已知的两个根即可得到分解结果。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的原理：若二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则二次三项式$x^2+px+q$可分解为$(x-x_1)(x-x_2)$。
已知方程的两个根为3和-6，即$x_1=3$，$x_2=-6$，代入得：
$x^2+px+q=(x-3)[x-(-6)]=(x-3)(x+6)$
【答案】
$(x-3)(x+6)$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 二次三项式的因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解法解一元二次方程的逆应用，明确方程的根与二次三项式分解后的一次因式的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9

4.已知一个等腰三角形三边的长都满足方程$(x-3)(x+3)=10(x-3)$，则该等腰三角形的周长为。

4.17或9或21 【提示】$\because (x-3)(x+3)=10(x-3)$,有$(x-3)[(x+3)-10]=0$.
$\therefore (x-3)(x-7)=0$.
$\therefore x_1=3,x_2=7$.
当三边的长为3,3,7时,不能构成三角形；
当三边长为3,7,7时,三角形的周长为17；
当三边都是3时,三角形的周长为9；
当三边都是7时,三角形的周长为21.
∴该等腰三角形的周长为17或9或21.

【分析】
解题时首先需要求解给定的一元二次方程，得到边长的所有可能取值；再结合等腰三角形两腰相等的性质进行分类讨论，分别考虑腰长为3、腰长为7以及三边都相等（等边三角形是特殊的等腰三角形）的情况；最后每一种情况都需要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合的情况，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$(x-3)(x+3)=10(x-3)$
移项得：$(x-3)(x+3)-10(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x+3-10)=0$，即$(x-3)(x-7)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=7$
第二步：结合等腰三角形性质分类讨论，验证三边关系：
① 若三角形三边均为3（等边三角形是特殊的等腰三角形），满足三边关系，周长为$3×3=9$；
② 若三角形三边均为7，满足三边关系，周长为$7×3=21$；
③ 若腰长为3，底边长为7，此时$3+3=6＜7$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
④ 若腰长为7，底边长为3，此时$3+7＞7$，满足三边关系，周长为$7+7+3=17$。
【答案】
17或9或21
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题，解题的关键是要做到分类全面，既不能漏掉等边三角形的特殊情况，也要注意结合三角形三边关系对所有可能的边长组合进行验证，避免出现错解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6

5.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$.
(1)求证:方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于1,求$k$的取值范围.

5.(1)【证明】
∵关于x的一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$中,
$\Delta =[-(k+3)]^2-4(2k+2)=k^2-2k+1=(k-1)^2≥ 0$,
∴方程总有两个实数根.
(2)【解】由$x^2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0$,得$x_1=2,x_2=k+1$.根据已知方程有一根小于1,得$x_2=k+1＜1$,解得$k＜0$.

【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta≥0$即可。首先写出$\Delta$的表达式，展开化简后判断其取值范围即可得证。
(2) 要求$k$的取值范围，首先需要求出方程的两个根，可通过因式分解法将方程左边分解因式，得到两个根的值，其中一个根为2，不满足小于1的条件，因此只需让另一个根小于1，列不等式求解即可得到$k$的范围。
【解析】
(1) 证明：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+3)x+2k+2=0$中，
$\Delta =[-(k+3)]^2-4×1×(2k+2)=k^2+6k+9-8k-8=k^2-2k+1=(k-1)^2$，
∵任何实数的平方都是非负数，即$(k-1)^2≥ 0$，
∴方程总有两个实数根。
(2) 解：对$x^2-(k+3)x+2k+2$因式分解，可得$x^2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=k+1$，
已知方程有一根小于1，而$2≥1$，因此只有$x_2=k+1＜1$，
解不等式得$k＜0$。
【答案】
(1) 方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $k＜0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，第一问核心是掌握判别式判断根的情况的方法，第二问需要先准确求出方程的根，再根据条件列不等式求解，解题时注意先判断已知根是否符合条件，避免多余讨论。
【难度系数】
0.7