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1.(2025,广西,11)已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根，则$x_1+x_2=(\quad)$。
A.-25
B.-20
C.20
D.25
A.-25
B.-20
C.20
D.25
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找到题目所给方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步，回忆韦达定理中两根之和的公式：若$x_1,x_2$是上述方程的两个实数根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；第三步，将系数代入公式计算即可得到结果，计算时要注意符号问题。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题目所给方程为$x^2 -20x -25=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-20$，$c=-25$。
代入两根之和公式计算：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别一元二次方程各项的系数，牢记两根之和的计算公式，计算过程中尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找到题目所给方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步，回忆韦达定理中两根之和的公式：若$x_1,x_2$是上述方程的两个实数根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；第三步，将系数代入公式计算即可得到结果，计算时要注意符号问题。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题目所给方程为$x^2 -20x -25=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-20$，$c=-25$。
代入两根之和公式计算：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别一元二次方程各项的系数，牢记两根之和的计算公式，计算过程中尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9
2.(2025,湖北,4)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是(
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
).A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
2.D
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算两根之和、两根之积，再对应选项判断正误，该方法更简便；思路二：先解出方程的两个实数根，再计算两根的和与积后验证选项，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两个实数根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -4x +3=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
对比选项：A、B选项关于两根和的结论错误，C选项关于两根积的结论错误，只有D选项正确。
方法二：先解方程再验证
对$x^2 -4x +3=0$因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
计算得$x_1+x_2=1+3=4$，$x_1x_2=1×3=3$，同样可判断只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题为基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的理解与应用，也可通过直接解方程得到结果，熟练掌握韦达定理可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算两根之和、两根之积，再对应选项判断正误，该方法更简便；思路二：先解出方程的两个实数根，再计算两根的和与积后验证选项，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两个实数根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -4x +3=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
对比选项：A、B选项关于两根和的结论错误，C选项关于两根积的结论错误，只有D选项正确。
方法二：先解方程再验证
对$x^2 -4x +3=0$因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
计算得$x_1+x_2=1+3=4$，$x_1x_2=1×3=3$，同样可判断只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题为基础题型，核心考查对一元二次方程根与系数关系的理解与应用，也可通过直接解方程得到结果，熟练掌握韦达定理可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
3.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是（
A.$x^2+3x-2=0$
B.$x^2+3x+2=0$
C.$x^2-3x-2=0$
D.$x^2-3x+2=0$
C
）.A.$x^2+3x-2=0$
B.$x^2+3x+2=0$
C.$x^2-3x-2=0$
D.$x^2-3x+2=0$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。我们可以先设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（选项中方程的二次项系数均为1，无需额外考虑系数不为1的情况），再根据韦达定理中两根和、两根积与方程系数的对应关系，分别求出一次项系数$b$和常数项$c$，即可确定符合要求的方程，匹配选项得到答案。解题时需要注意一次项系数的符号，避免因符号混淆出错。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，设其两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$
已知题目中两根之和为3，两根之积为-2，代入得：
$-b=3$，解得$b=-3$
$c=-2$
将$b$、$c$代入预设方程，可得该一元二次方程为$x^2-3x-2=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，难度较低，核心是牢记一元二次方程系数与两根和、两根积的对应关系，解题时注意一次项系数的符号不要混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。我们可以先设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（选项中方程的二次项系数均为1，无需额外考虑系数不为1的情况），再根据韦达定理中两根和、两根积与方程系数的对应关系，分别求出一次项系数$b$和常数项$c$，即可确定符合要求的方程，匹配选项得到答案。解题时需要注意一次项系数的符号，避免因符号混淆出错。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，设其两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$
已知题目中两根之和为3，两根之积为-2，代入得：
$-b=3$，解得$b=-3$
$c=-2$
将$b$、$c$代入预设方程，可得该一元二次方程为$x^2-3x-2=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，难度较低，核心是牢记一元二次方程系数与两根和、两根积的对应关系，解题时注意一次项系数的符号不要混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.8
4.若一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$的两个根是-1和3，则下列结论正确的是(
A.$b=4,c=6$
B.$b=-4,c=6$
C.$b=4,c=-6$
D.$b=-4,c=-6$
D
).A.$b=4,c=6$
B.$b=-4,c=6$
C.$b=4,c=-6$
D.$b=-4,c=-6$
答案
4.D
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：一是利用一元二次方程根的定义，将两个根分别代入原方程，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到结果；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，该方法更简便。首先明确对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中a=2，两根分别为-1和3，代入公式即可快速求出b、c的值。
【解析】
解法1（根与系数的关系法）：
已知一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1=-1$，$x_2=3$，二次项系数$a=2$。
根据根与系数的关系：
1. 两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入得$-1+3=-\frac{b}{2}$，即$2=-\frac{b}{2}$，解得$b=-4$。
2. 两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入得$(-1)×3=\frac{c}{2}$，即$-3=\frac{c}{2}$，解得$c=-6$。
解法2（代入法）：
把$x=-1$代入原方程得：$2×(-1)^2 - b + c = 0$，整理得$2 - b + c = 0$ ①
把$x=3$代入原方程得：$2×3^2 + 3b + c = 0$，整理得$18 + 3b + c = 0$ ②
②-①得：$16 + 4b = 0$，解得$b=-4$。
将$b=-4$代入①得：$2 + 4 + c = 0$，解得$c=-6$。
综上，$b=-4$，$c=-6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的基础考查题，掌握根与系数的关系可大幅提升解题效率，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：一是利用一元二次方程根的定义，将两个根分别代入原方程，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到结果；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，该方法更简便。首先明确对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中a=2，两根分别为-1和3，代入公式即可快速求出b、c的值。
【解析】
解法1（根与系数的关系法）：
已知一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1=-1$，$x_2=3$，二次项系数$a=2$。
根据根与系数的关系：
1. 两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入得$-1+3=-\frac{b}{2}$，即$2=-\frac{b}{2}$，解得$b=-4$。
2. 两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入得$(-1)×3=\frac{c}{2}$，即$-3=\frac{c}{2}$，解得$c=-6$。
解法2（代入法）：
把$x=-1$代入原方程得：$2×(-1)^2 - b + c = 0$，整理得$2 - b + c = 0$ ①
把$x=3$代入原方程得：$2×3^2 + 3b + c = 0$，整理得$18 + 3b + c = 0$ ②
②-①得：$16 + 4b = 0$，解得$b=-4$。
将$b=-4$代入①得：$2 + 4 + c = 0$，解得$c=-6$。
综上，$b=-4$，$c=-6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的基础考查题，掌握根与系数的关系可大幅提升解题效率，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5.根据一元二次方程根与系数的关系,判断一元二次方程$x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$的解是(
A.$x_1=\sqrt{2}+1,x_2=-\sqrt{2}-1$
B.$x_1=\sqrt{2}+1,x_2=\sqrt{2}-1$
C.$x_1=\sqrt{2}+1,x_2=-\sqrt{2}+1$
D.$x_1=-\sqrt{2}+1,x_2=-\sqrt{2}-1$
B
).A.$x_1=\sqrt{2}+1,x_2=-\sqrt{2}-1$
B.$x_1=\sqrt{2}+1,x_2=\sqrt{2}-1$
C.$x_1=\sqrt{2}+1,x_2=-\sqrt{2}+1$
D.$x_1=-\sqrt{2}+1,x_2=-\sqrt{2}-1$
答案
5.B
解析
【分析】
本题要求利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）判断方程的解，解题思路如下：首先明确对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$；其次代入题目方程的系数算出两根之和与两根之积的理论值；最后逐一验证选项中两个根的和、积是否与理论值一致，符合的即为正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题中方程为$x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$，对应系数$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=1$，因此：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{-2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}$
两根之积：$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
逐一验证选项：
A选项：$x_1+x_2=(\sqrt{2}+1)+(-\sqrt{2}-1)=0≠2\sqrt{2}$，不符合，排除；
B选项：$x_1+x_2=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，$x_1x_2=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，两个条件均符合；
C选项：$x_1+x_2=(\sqrt{2}+1)+(-\sqrt{2}+1)=2≠2\sqrt{2}$，不符合，排除；
D选项：$x_1+x_2=(-\sqrt{2}+1)+(-\sqrt{2}-1)=-2\sqrt{2}≠2\sqrt{2}$，不符合，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式加减运算
3. 平方差公式
【点评】
本题是基础应用题，核心考查韦达定理的灵活运用，不需要求解方程即可快速判断根的组合，解题时要注意一次项系数的符号，避免计算两根之和时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题要求利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）判断方程的解，解题思路如下：首先明确对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$；其次代入题目方程的系数算出两根之和与两根之积的理论值；最后逐一验证选项中两个根的和、积是否与理论值一致，符合的即为正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
本题中方程为$x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$，对应系数$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=1$，因此：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{-2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}$
两根之积：$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
逐一验证选项：
A选项：$x_1+x_2=(\sqrt{2}+1)+(-\sqrt{2}-1)=0≠2\sqrt{2}$，不符合，排除；
B选项：$x_1+x_2=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，$x_1x_2=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，两个条件均符合；
C选项：$x_1+x_2=(\sqrt{2}+1)+(-\sqrt{2}+1)=2≠2\sqrt{2}$，不符合，排除；
D选项：$x_1+x_2=(-\sqrt{2}+1)+(-\sqrt{2}-1)=-2\sqrt{2}≠2\sqrt{2}$，不符合，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式加减运算
3. 平方差公式
【点评】
本题是基础应用题，核心考查韦达定理的灵活运用，不需要求解方程即可快速判断根的组合，解题时要注意一次项系数的符号，避免计算两根之和时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
6.一元二次方程$5x^2 - 1 = 0$的两根之和是
0
.答案
6.0
解析
【分析】
要计算一元二次方程的两根之和，有两种常用思路：第一种是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，无需解方程；第二种是先求出方程的两个根，再求和。观察方程$5x^2 -1=0$没有一次项，优先用韦达定理更简便，先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）中对应的$a、b、c$的值，再代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），两根之和公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
将方程$5x^2-1=0$与一般形式对比，可得：$a=5$，$b=0$，$c=-1$。
代入公式得两根之和为：$-\frac{b}{a}=-\frac{0}{5}=0$。
方法二：先求根再求和
解方程$5x^2-1=0$，移项得$5x^2=1$，即$x^2=\frac{1}{5}$，开方得$x_1=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$x_2=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
两根之和为$x_1+x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}+(-\frac{\sqrt{5}}{5})=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，两种解题方法都可得出结果，其中利用韦达定理计算更高效，解题时需注意缺一次项的一元二次方程一次项系数为0，避免代入公式时出错。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程的两根之和，有两种常用思路：第一种是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算，无需解方程；第二种是先求出方程的两个根，再求和。观察方程$5x^2 -1=0$没有一次项，优先用韦达定理更简便，先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）中对应的$a、b、c$的值，再代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可。
【解析】
方法一：利用韦达定理求解
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），两根之和公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
将方程$5x^2-1=0$与一般形式对比，可得：$a=5$，$b=0$，$c=-1$。
代入公式得两根之和为：$-\frac{b}{a}=-\frac{0}{5}=0$。
方法二：先求根再求和
解方程$5x^2-1=0$，移项得$5x^2=1$，即$x^2=\frac{1}{5}$，开方得$x_1=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$x_2=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
两根之和为$x_1+x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}+(-\frac{\sqrt{5}}{5})=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，两种解题方法都可得出结果，其中利用韦达定理计算更高效，解题时需注意缺一次项的一元二次方程一次项系数为0，避免代入公式时出错。
【难度系数】
0.8
7.已知方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根是$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2 =$
3
，$x_1x_2 =$1
。答案
7.3,1
解析
【分析】
本题考查一元二次方程两根和与两根积的计算，解题时优先考虑根与系数的关系（韦达定理），无需解方程即可快速求解。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。接下来只需从题目给出的方程中对应找出$a、b、c$的取值，代入公式计算即可，计算时要注意一次项系数的符号。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程为$x^2-3x+1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
【答案】
3，1
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是根与系数关系的基础考查题型，解题核心是准确提取一元二次方程的各项系数，代入公式时注意不要弄错一次项系数的符号，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程两根和与两根积的计算，解题时优先考虑根与系数的关系（韦达定理），无需解方程即可快速求解。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。接下来只需从题目给出的方程中对应找出$a、b、c$的取值，代入公式计算即可，计算时要注意一次项系数的符号。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程为$x^2-3x+1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-3}{1}=3$
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$
【答案】
3，1
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是根与系数关系的基础考查题型，解题核心是准确提取一元二次方程的各项系数，代入公式时注意不要弄错一次项系数的符号，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
8.已知方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根分别为a和b，则$3a^2 + 6ab + 3b^2$的值为
12
。答案
8.12
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的两根，求关于两根的代数式的值的问题。解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要解方程求出a、b的具体值，先直接得到两根之和a+b与两根之积ab；第二步，观察所求代数式的结构，先通过因式分解将代数式化简，转化为只含a+b和ab的形式，最后整体代入计算即可，这种整体代入的方法比直接求根代入更简便，也不容易出错。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根分别为a和b，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b = -\frac{2}{1} = -2$，$ab = \frac{-3}{1} = -3$
对所求代数式进行变形：
$3a^2 + 6ab + 3b^2 = 3(a^2 + 2ab + b^2) = 3(a+b)^2$
将$a+b=-2$代入上式：
原式$= 3× (-2)^2 = 3×4 = 12$
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 因式分解 3. 整体代入求值
【点评】
本题考查对根与系数关系的运用和代数式化简能力，解题核心是利用完全平方公式将所求代数式转化为两根之和的形式，通过整体代入简化运算，也可直接求解方程得到两根后代入计算，两种方法都能得到结果，但整体代入法更高效。
【难度系数】
0.8
本题是已知一元二次方程的两根，求关于两根的代数式的值的问题。解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要解方程求出a、b的具体值，先直接得到两根之和a+b与两根之积ab；第二步，观察所求代数式的结构，先通过因式分解将代数式化简，转化为只含a+b和ab的形式，最后整体代入计算即可，这种整体代入的方法比直接求根代入更简便，也不容易出错。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根分别为a和b，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b = -\frac{2}{1} = -2$，$ab = \frac{-3}{1} = -3$
对所求代数式进行变形：
$3a^2 + 6ab + 3b^2 = 3(a^2 + 2ab + b^2) = 3(a+b)^2$
将$a+b=-2$代入上式：
原式$= 3× (-2)^2 = 3×4 = 12$
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 因式分解 3. 整体代入求值
【点评】
本题考查对根与系数关系的运用和代数式化简能力，解题核心是利用完全平方公式将所求代数式转化为两根之和的形式，通过整体代入简化运算，也可直接求解方程得到两根后代入计算，两种方法都能得到结果，但整体代入法更高效。
【难度系数】
0.8
9.已知方程$x^2 + kx - 2 = 0$的一个根是-1，则另一个根是
2
，k的值是-1
.答案
9.2,-1
解析
【分析】
解题有两种常用思路：① 先利用“方程的根满足方程”的性质，把已知根x=-1代入原方程求出k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之积直接求出另一个根，再通过两根之和求出k值，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（代入法）：
1. 求k的值：把x=-1代入方程$x^2 + kx - 2 = 0$，得
$(-1)^2 + k×(-1) - 2 = 0$
$1 - k - 2 = 0$
解得$k=-1$
2. 求另一个根：把$k=-1$代入原方程，得$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，因此另一个根为2。
方法二（韦达定理法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
1. 求另一个根：由两根之积得$(-1)× x_1 = \frac{-2}{1}=-2$，解得$x_1=2$
2. 求k的值：由两根之和得$-1 + 2 = -\frac{k}{1}$，即$1=-k$，解得$k=-1$
【答案】
2，-1
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的应用基础题，两种解题方法都需要熟练掌握，运用韦达定理解题可以减少计算量，提升解题速度。
【难度系数】
0.85
解题有两种常用思路：① 先利用“方程的根满足方程”的性质，把已知根x=-1代入原方程求出k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之积直接求出另一个根，再通过两根之和求出k值，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（代入法）：
1. 求k的值：把x=-1代入方程$x^2 + kx - 2 = 0$，得
$(-1)^2 + k×(-1) - 2 = 0$
$1 - k - 2 = 0$
解得$k=-1$
2. 求另一个根：把$k=-1$代入原方程，得$x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，因此另一个根为2。
方法二（韦达定理法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
1. 求另一个根：由两根之积得$(-1)× x_1 = \frac{-2}{1}=-2$，解得$x_1=2$
2. 求k的值：由两根之和得$-1 + 2 = -\frac{k}{1}$，即$1=-k$，解得$k=-1$
【答案】
2，-1
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的应用基础题，两种解题方法都需要熟练掌握，运用韦达定理解题可以减少计算量，提升解题速度。
【难度系数】
0.85
10.若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+3x-5=0$的两个根，则$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$的值是
15
。答案
10.15
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，无需直接求解两个根的具体数值。解题思路如下：第一步，先观察所求代数式的结构，可通过提取公因式将其变形为含两根之和、两根之积的形式；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和与两根之积；第三步，将所求的两根和、两根积整体代入变形后的代数式计算即可得到结果，这种方法比直接解方程代入更简便。
【解析】
首先确定一元二次方程$x^2+3x-5=0$的系数：$a=1$，$b=3$，$c=-5$。
根据根与系数的关系，方程的两个根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$。
对所求代数式因式分解：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-5$代入上式得：
原式$=(-5)×(-3)=15$
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，遇到两根对称式求值问题时，优先对代数式变形，结合韦达定理整体代入计算，可大幅简化运算过程，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，无需直接求解两个根的具体数值。解题思路如下：第一步，先观察所求代数式的结构，可通过提取公因式将其变形为含两根之和、两根之积的形式；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和与两根之积；第三步，将所求的两根和、两根积整体代入变形后的代数式计算即可得到结果，这种方法比直接解方程代入更简便。
【解析】
首先确定一元二次方程$x^2+3x-5=0$的系数：$a=1$，$b=3$，$c=-5$。
根据根与系数的关系，方程的两个根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$。
对所求代数式因式分解：
$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)$
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-5$代入上式得：
原式$=(-5)×(-3)=15$
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，遇到两根对称式求值问题时，优先对代数式变形，结合韦达定理整体代入计算，可大幅简化运算过程，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
11.设$x_1,x_2$是方程$2x^2+4x-3=0$的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$;
(2)$x_1^2+x_2^2$.
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$;
(2)$x_1^2+x_2^2$.
答案
11.【解】$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+4x-3=0$的两个根，
$\therefore x_1+x_2=-2,x_1x_2=-\frac{3}{2}$.
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$.
(2)$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2)^2 - 2 × (-\frac{3}{2})=7$.
$\therefore x_1+x_2=-2,x_1x_2=-\frac{3}{2}$.
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$.
(2)$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2)^2 - 2 × (-\frac{3}{2})=7$.
解析
【分析】
解题首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。第一步先根据给定方程确定$a,b,c$的值，计算出两根之和与两根之积；第二步将所求代数式变形为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式：(1)对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可转化为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，(2)利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，最后代入数值计算即可，无需直接求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+4x-3=0$的两个根，
$\therefore$根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$。
(1)对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$代入得：
原式$=\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$
(2)根据完全平方公式变形得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$代入得：
原式$=(-2)^2-2×(-\frac{3}{2})=4+3=7$
【答案】
(1)$\frac{4}{3}$；(2)$7$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.代数式变形 3.完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为只含两根之和、两根之积的形式，避免直接解方程的繁琐计算，需要熟练掌握常见的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。第一步先根据给定方程确定$a,b,c$的值，计算出两根之和与两根之积；第二步将所求代数式变形为只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式：(1)对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可转化为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，(2)利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，最后代入数值计算即可，无需直接求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
$\because x_1,x_2$是方程$2x^2+4x-3=0$的两个根，
$\therefore$根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{4}{2}=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$。
(1)对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$代入得：
原式$=\frac{-2}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$
(2)根据完全平方公式变形得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
将$x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=-\frac{3}{2}$代入得：
原式$=(-2)^2-2×(-\frac{3}{2})=4+3=7$
【答案】
(1)$\frac{4}{3}$；(2)$7$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.代数式变形 3.完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为只含两根之和、两根之积的形式，避免直接解方程的繁琐计算，需要熟练掌握常见的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.8
12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2a + 3)x + a^2 - 3 = 0$的两个实数根互为倒数，求$a$的值。
答案
12.【解】$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-(2a+3)x+a^2-3=0$有两个实数根，
$\therefore (2a+3)^2-4(a^2-3)=12a+21\ge0$，
解得$a\ge-\frac{7}{4}$.
设$x_1,x_2$是方程$x^2-(2a+3)x+a^2-3=0$的两个实数根，
则$x_1x_2=a^2-3=1$.
解得$a_1=2,a_2=-2$(不合题意,舍去).
$\therefore a=2$.
$\therefore (2a+3)^2-4(a^2-3)=12a+21\ge0$，
解得$a\ge-\frac{7}{4}$.
设$x_1,x_2$是方程$x^2-(2a+3)x+a^2-3=0$的两个实数根，
则$x_1x_2=a^2-3=1$.
解得$a_1=2,a_2=-2$(不合题意,舍去).
$\therefore a=2$.
解析
【分析】
解题时需分三步思考：首先，题目明确是有两个实数根的一元二次方程，因此首先要满足根的判别式Δ≥0，可先求出a的取值范围；其次，两个实数根互为倒数，根据倒数的性质可知两根之积为1，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于常数项与二次项系数的比值，据此可列方程求出a的可能值；最后，将求得的a值代入判别式的取值范围验证，舍去不符合条件的解，即可得到正确的a值。
【解析】
∵关于x的一元二次方程$x^2-(2a+3)x+a^2-3=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta=(2a+3)^2-4×1×(a^2-3)=12a+21\ge0$，
解得$a\ge-\frac{7}{4}$。
设$x_1,x_2$是方程的两个实数根，由两根互为倒数可得$x_1x_2=1$，
根据根与系数的关系，$x_1x_2=a^2-3$，
∴$a^2-3=1$，
解得$a_1=2$，$a_2=-2$。
∵$-2＜-\frac{7}{4}$，不符合判别式的取值要求，故舍去，
∴$a=2$。
【答案】
$a=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，倒数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的综合应用，易错点是求出a的两个解后，忽略“两个实数根”的前提，未用判别式验证取值范围导致多解，解题时要注意隐含条件的限制。
【难度系数】
0.7
解题时需分三步思考：首先，题目明确是有两个实数根的一元二次方程，因此首先要满足根的判别式Δ≥0，可先求出a的取值范围；其次，两个实数根互为倒数，根据倒数的性质可知两根之积为1，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于常数项与二次项系数的比值，据此可列方程求出a的可能值；最后，将求得的a值代入判别式的取值范围验证，舍去不符合条件的解，即可得到正确的a值。
【解析】
∵关于x的一元二次方程$x^2-(2a+3)x+a^2-3=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta=(2a+3)^2-4×1×(a^2-3)=12a+21\ge0$，
解得$a\ge-\frac{7}{4}$。
设$x_1,x_2$是方程的两个实数根，由两根互为倒数可得$x_1x_2=1$，
根据根与系数的关系，$x_1x_2=a^2-3$，
∴$a^2-3=1$，
解得$a_1=2$，$a_2=-2$。
∵$-2＜-\frac{7}{4}$，不符合判别式的取值要求，故舍去，
∴$a=2$。
【答案】
$a=2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，倒数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的综合应用，易错点是求出a的两个解后，忽略“两个实数根”的前提，未用判别式验证取值范围导致多解，解题时要注意隐含条件的限制。
【难度系数】
0.7
