1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=3$，则$AB$的长为 （）

A.9
B.6
C.4.5
D.3

1.B

2.如图，一棵树在一次台风中于离地面4m处折断倒下，倒下部分与地面成$30°$夹角，这棵树在折断前的高度为m.

2. 12

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=30°,AB$的垂直平分线$ED$交$AB$于点$E$,交$BC$于点$D$.若$CD=3$,则$BD$的长为________.

3. 6

4.如图所示，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BD⊥ AD$于点$D$，$DC// AB$，$AB=10\mathrm{cm}$，求$DC$的长.

4. 解：$\because BD ⊥ AD, ∠ A = 30°, \therefore ∠ ABD=60°, BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 10=5(\mathrm{cm}). \because ∠ C=90°, DC// AB, \therefore ∠ CBA = 180° - ∠ C = 90°, \therefore ∠ CBD=∠ CBA-∠ ABD=30°, \therefore CD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2} × 5=\frac{5}{2}(\mathrm{cm}).$

5.【分类讨论思想】如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$。若点$D$在直线$AB$上（不与点$A$，$B$重合），且$∠ BCD=30°$，则$AD$的长为。

5. 6 或 12

6.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC，若BE=1，则AC的长为（）

A.2
B.3
C.4
D.6

6. C

7.如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC//OA，PD⊥OA于点D.若PC=4，则线段PD的长为.

7. 2

8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$BC=6$，$AD$平分$∠ CAB$交$BC$于点$D$，点$E$为边$AB$上一点，则线段$DE$长度的最小值为________。

8. 2

9.如图，$△ ABC$为等边三角形，$AE=CD$，$AD$，$BE$相交于点$P$，$BQ⊥ AD$于点$Q$，$PQ=3$，$PE=1.5$。
(1)求证：$BE=AD$；
(2)求$AD$的长。

9. (1)证明: $\because △ ABC$ 为等边三角形，$\therefore ∠ BAC=∠ C=60°, AB=AC.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ CAD$ 中，$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ BAE=∠ C, \\ AE=CD, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CAD (\mathrm{SAS}), \therefore BE=AD.$
(2) 解: 由(1)知, $△ ABE ≌ △ CAD, \therefore ∠ ABE=∠ CAD, \therefore ∠ BAD + ∠ ABE =∠ BAD+∠ CAD=∠ BAC=60°, \therefore ∠ BPQ=∠ BAP+∠ ABP=60°, \because BQ⊥ AD, \therefore ∠ PBQ=90°-∠ BPQ=90°-60°=30°, \therefore PB=2PQ=6, \therefore BE=PB+PE=6+1.5=7.5, \therefore AD=BE=7.5.$