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1.「2026甘肃庆阳镇原期末，★☆」已知关于$x$的方程$x^2 -2x +k=0$的一个根为$x=-2$，则另一个根为（
A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=2$
D.$x=4$
D
）A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=2$
D.$x=4$
答案
1.D 设另一根为$x_2$,由根与系数的关系得两根之和$=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=2$,即$-2+x_2=2$,解得$x_2=4$,即另一个根为$x=4$.故选D.
2.「2026 河南平顶山鲁山期末，★☆」关于 x 的一元二次方程 $5x^2 + ( \frac{1}{3}k + 1 )x - 6 = 0$ 的一个根是 $x=3$，则它的另一个根是 (
A.$x=-2$
B.$x=1$
C.$x=-\dfrac{2}{5}$
D.$x=\dfrac{2}{5}$
C
)A.$x=-2$
B.$x=1$
C.$x=-\dfrac{2}{5}$
D.$x=\dfrac{2}{5}$
答案
2.C 设另一个根为$x_2$,由根与系数的关系得两根之积为$\frac{c}{a}=\frac{-6}{5}$,即$3x_2=\frac{-6}{5}$,解得$x_2=-\frac{2}{5}$,即另一个根为$x=-\frac{2}{5}$.故选C.
3.「2026天津和平期末，★☆」已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +5 = a$.
(1)当$a$为何值时,方程总有两个不相等的实数根?
(2)若方程的一个根是1,求$a$的值及方程的另一个根.
(1)当$a$为何值时,方程总有两个不相等的实数根?
(2)若方程的一个根是1,求$a$的值及方程的另一个根.
答案
3.解析 (1)$x^2-4x+5=a$,整理,得$x^2-4x+(5-a)=0$,
$\Delta =b^2-4ac=(-4)^2-4×(5-a)=4a-4$,
$\because$ 方程总有两个不相等的实数根,
$\therefore 4a-4＞0$,解得 $a＞1$.
(2)设方程的两个根分别为$x_1,x_2$,其中$x_1=1$,
$\because x^2-4x+(5-a)=0$,$\therefore x_1+x_2=4$,$x_1x_2=5-a$,
解得 $x_2=3$,$a=2$.
$\Delta =b^2-4ac=(-4)^2-4×(5-a)=4a-4$,
$\because$ 方程总有两个不相等的实数根,
$\therefore 4a-4＞0$,解得 $a＞1$.
(2)设方程的两个根分别为$x_1,x_2$,其中$x_1=1$,
$\because x^2-4x+(5-a)=0$,$\therefore x_1+x_2=4$,$x_1x_2=5-a$,
解得 $x_2=3$,$a=2$.
4.「2026河南平顶山鲁山期末，★★☆」已知$a,b$是一元二次方程$x^2+x-8=0$的两个实数根，则代数式$a^2+2a+b-ab$的值为（
A.-1
B.1
C.15
D.17
C
）A.-1
B.1
C.15
D.17
答案
4.C $\because a,b$是方程$x^2+x-8=0$的根,$\therefore a^2+a-8=0$,$\therefore a^2=8-a$,由根与系数的关系得$a+b=-1$,$ab=-8$,$\therefore a^2+2a+b-ab=8-a+2a+b-ab=8+(a+b)-ab=8+(-1)-(-8)=15$.故选C.
5.「2026河北廊坊期末，★★☆」设$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -3x -2=0$的两个实数根，则$x_1^2 + x_2^2 =$（
A.3
B.4
C.13
D.14
C
）A.3
B.4
C.13
D.14
答案
5.C 由根与系数的关系得$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=-2$,$\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-2)=9+4=13$.故选C.
6.「2025黑龙江绥化中考，★★☆」已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，则$(m+1)(n+1)=$
2027
。答案
6.答案 2 027
解析 由根与系数的关系得$m+n=2\ 025$,$mn=1$,
$\therefore (m+1)(n+1)=mn+(m+n)+1=1+2\ 025+1=2\ 027$.
解析 由根与系数的关系得$m+n=2\ 025$,$mn=1$,
$\therefore (m+1)(n+1)=mn+(m+n)+1=1+2\ 025+1=2\ 027$.
7.「2026上海青浦期中，★★☆」假设一元二次方程$4x^2 -7x -3=0$的两根是$x_1,x_2$，则$\frac{x_2}{x_1+1} + \frac{x_1}{x_2+1} =$
$\frac{101}{32}$
。答案
7.答案 $\frac{101}{32}$
解析 由根与系数的关系得$x_1+x_2=\frac{7}{4}$,$x_1x_2=-\frac{3}{4}$,
$\therefore 原式=\frac{x_2(x_2+1)+x_1(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}$
$=\frac{(\frac{7}{4})^2-2×(-\frac{3}{4})+\frac{7}{4}}{-\frac{3}{4}+\frac{7}{4}+1}=\frac{101}{32}$.
解析 由根与系数的关系得$x_1+x_2=\frac{7}{4}$,$x_1x_2=-\frac{3}{4}$,
$\therefore 原式=\frac{x_2(x_2+1)+x_1(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}$
$=\frac{(\frac{7}{4})^2-2×(-\frac{3}{4})+\frac{7}{4}}{-\frac{3}{4}+\frac{7}{4}+1}=\frac{101}{32}$.
