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$\sin 30° = \_\_\_\_\_\_, \cos 30° = \_\_\_\_\_\_, \tan 30° = \_\_\_\_\_\_; \sin 60° = \_\_\_\_\_\_, \cos 60° = \_\_\_\_\_\_, \tan 60° = \_\_\_\_\_\_; \sin 45° = \_\_\_\_\_\_, \cos 45° = \_\_\_\_\_\_, \tan 45° = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$\sin 30°=\dfrac{1}{2},\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\tan 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3};\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\cos 60°=\dfrac{1}{2},\tan 60°=\sqrt{3};\sin 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\cos 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\tan 45°=1$
1 [2025 天津]$\tan 45° - \sqrt{2}\cos 45°$的值为（
A.0
B.1
C.$1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1-\sqrt{2}$
A
）A.0
B.1
C.$1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1-\sqrt{2}$
答案
1.A
2 已知α为锐角，且$\cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则α等于（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
2.A
3 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AB=8$，则$BC$的长为（
A.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
B.$4$
C.$8\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
D
）A.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
B.$4$
C.$8\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
3.D
4 在$△ ABC$中，若$∠ A = 105°$，$∠ B = 45°$，则$\tan C$的值为
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
。答案
4.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
5 计算：
(1) $\dfrac{2\cos^2 30° - \sin 30°}{\tan^2 60° - 4\cos 45°}$；
(2) $2\cos 45° · \sin 45° - 2\sin 30° · \tan 45° + \sqrt{6}\tan 60°$。
(1) $\dfrac{2\cos^2 30° - \sin 30°}{\tan^2 60° - 4\cos 45°}$；
(2) $2\cos 45° · \sin 45° - 2\sin 30° · \tan 45° + \sqrt{6}\tan 60°$。
答案
5.（1）原式$=\dfrac{2×(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 - \dfrac{1}{2}}{(\sqrt{3})^2 - 4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{2×\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}}{3-2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{3-2\sqrt{2}} = 3+2\sqrt{2}$
（2）原式$=2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 2×\dfrac{1}{2}×1 + \sqrt{6}×\sqrt{3} = 1-1+3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
（2）原式$=2×\dfrac{\sqrt{2}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2} - 2×\dfrac{1}{2}×1 + \sqrt{6}×\sqrt{3} = 1-1+3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
6 若α为锐角，且$\cos(α - 20°)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则α等于（
A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$65°$
D
）A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$65°$
答案
6.D
7 若α为锐角，且$\tan(α + 15°) = \sqrt{3}$，则$\tanα$的值为
1
。答案
7.1
8 设α为锐角，若$\cos^2α=\dfrac{3}{4}$，则α=
$30°$
；若$\tan(α - 10°)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，则α=$40°$
。答案
8.$30°\ \ 40°$
9（1）填空：
① $\frac{\sin 30°}{\cos 30°}=$
② $\frac{\sin 60°}{\cos 60°}=$
（2）观察（1）的结果，猜想$\frac{\sin α}{\cos α}$与$\tan α$的大小关系.
（3）如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.试利用三角函数的定义证明（2）中的猜想.
① $\frac{\sin 30°}{\cos 30°}=$
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
；$\tan 30°=$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
；② $\frac{\sin 60°}{\cos 60°}=$
$\sqrt{3}$
；$\tan 60°=$$\sqrt{3}$
.（2）观察（1）的结果，猜想$\frac{\sin α}{\cos α}$与$\tan α$的大小关系.
（3）如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.试利用三角函数的定义证明（2）中的猜想.
答案
9.（1）① $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ② $\sqrt{3}\ \ \sqrt{3}$
（2）$\dfrac{\sin α}{\cos α}=\tan α$
（3）因为$\sin α=\dfrac{a}{c},\cos α=\dfrac{b}{c}$，所以$\dfrac{\sin α}{\cos α}=\dfrac{a}{c}÷\dfrac{b}{c}=\dfrac{a}{b}$，而$\tan α=\dfrac{a}{b}$，所以$\dfrac{\sin α}{\cos α}=\tan α$
（2）$\dfrac{\sin α}{\cos α}=\tan α$
（3）因为$\sin α=\dfrac{a}{c},\cos α=\dfrac{b}{c}$，所以$\dfrac{\sin α}{\cos α}=\dfrac{a}{c}÷\dfrac{b}{c}=\dfrac{a}{b}$，而$\tan α=\dfrac{a}{b}$，所以$\dfrac{\sin α}{\cos α}=\tan α$
