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15 如图,点 D 在△ABC 的边 BC 上.设点 E,F分别为△ABD 和△ADC 的重心,连结 EF.如果 BC=12,那么 EF 的长为
（第15题）
4
.（第15题）答案
15. 4
16 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且位似比为$\frac{1}{3}$,点A,B,E在x轴上.若正方形BEFG的边长为6,则点C的坐标为
(3,2)
.答案
16. (3,2)
17 [2026 杭州拱墅期中]如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在边AC,AB上,且$AE· AB = AD· AC$,连结DE.
(1) 求证:$△ ADE ∽ △ ABC$;
(2) 若E为AB的中点,$AD:AE=6:5$,$AB=20$,求CD的长.
(1) 求证:$△ ADE ∽ △ ABC$;
(2) 若E为AB的中点,$AD:AE=6:5$,$AB=20$,求CD的长.
答案
17. (1) 因为$AE· AB = AD· AC$,所以$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$. 又因为$∠DAE=∠BAC$,所以$△ADE∽△ABC$
(2) 因为 E 为 AB 中点,所以$AE=\frac{1}{2}AB=10$. 因为$AD:AE=6:5$,所以$AD=12$. 因为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,所以$\frac{12}{20}=\frac{10}{AC}$. 所以$AC=\frac{50}{3}$. 所以$CD=AC-AD=\frac{50}{3}-12=\frac{14}{3}$
(2) 因为 E 为 AB 中点,所以$AE=\frac{1}{2}AB=10$. 因为$AD:AE=6:5$,所以$AD=12$. 因为$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,所以$\frac{12}{20}=\frac{10}{AC}$. 所以$AC=\frac{50}{3}$. 所以$CD=AC-AD=\frac{50}{3}-12=\frac{14}{3}$
18 分类讨论思想 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$.动点$M$，$N$从点$C$同时出发，均以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度分别沿$CA$，$CB$向点$A$，$B$移动.同时，动点$P$从点$B$出发，以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BA$向点$A$移动，连结$PM$，$PN$，$NM$，设移动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜2.5)$.
（1）当$t$为何值时，以$A$，$P$，$M$为顶点的三角形与$△ ABC$相似？
（2）设四边形$APNC$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，是否存在$t$的值，使$S$取得最小值？若存在，求出$S$的最小值；若不存在，请说明理由.
（1）当$t$为何值时，以$A$，$P$，$M$为顶点的三角形与$△ ABC$相似？
（2）设四边形$APNC$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，是否存在$t$的值，使$S$取得最小值？若存在，求出$S$的最小值；若不存在，请说明理由.
答案
18. 因为在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠C=90°$,$AC=4\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5\ \mathrm{cm}$. 由题意,得$CN=CM=t\ \mathrm{cm}$,$AM=(4-t)\mathrm{cm}$,$BN=(3-t)\mathrm{cm}$,$BP=2t\ \mathrm{cm}$,$AP=(5-2t)\mathrm{cm}$.
(1) 分两种情况讨论:① 当$△AMP∽△ABC$时,$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AB}$,即$\frac{5-2t}{4}=\frac{4-t}{5}$,解得$t=\frac{3}{2}$;② 当$△APM∽△ABC$时,$\frac{AM}{AC}=\frac{AP}{AB}$,即$\frac{4-t}{4}=\frac{5-2t}{5}$,解得$t=0$(不合题意,舍去). 综上所述,当$t=\frac{3}{2}$时,以 A,P,M 为顶点的三角形与$△ABC$相似
(2) 存在 过点 P 作$PH⊥BC$于点 H,则$∠PHB=90°$. 因为$∠C=90°$,所以$∠PHB=∠C$. 又因为$∠B=∠B$,所以$△BPH∽△BAC$. 所以$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{BA}$. 所以$PH=\frac{8}{5}t\ \mathrm{cm}$. 所以$S=\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×(3-t)×\frac{8}{5}t=\frac{4}{5}t^2-\frac{12}{5}t+6=\frac{4}{5}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{21}{5}$. 因为$\frac{4}{5}＞0$,$0＜t＜2.5$,所以当$t=\frac{3}{2}$时,S 取得最小值,为$\frac{21}{5}$
(1) 分两种情况讨论:① 当$△AMP∽△ABC$时,$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AB}$,即$\frac{5-2t}{4}=\frac{4-t}{5}$,解得$t=\frac{3}{2}$;② 当$△APM∽△ABC$时,$\frac{AM}{AC}=\frac{AP}{AB}$,即$\frac{4-t}{4}=\frac{5-2t}{5}$,解得$t=0$(不合题意,舍去). 综上所述,当$t=\frac{3}{2}$时,以 A,P,M 为顶点的三角形与$△ABC$相似
(2) 存在 过点 P 作$PH⊥BC$于点 H,则$∠PHB=90°$. 因为$∠C=90°$,所以$∠PHB=∠C$. 又因为$∠B=∠B$,所以$△BPH∽△BAC$. 所以$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{BA}$. 所以$PH=\frac{8}{5}t\ \mathrm{cm}$. 所以$S=\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×(3-t)×\frac{8}{5}t=\frac{4}{5}t^2-\frac{12}{5}t+6=\frac{4}{5}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{21}{5}$. 因为$\frac{4}{5}＞0$,$0＜t＜2.5$,所以当$t=\frac{3}{2}$时,S 取得最小值,为$\frac{21}{5}$
