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13.「★★☆」如图,在$Rt△ ABC$中,CD为斜边AB上的中线,点E是AB上方一点,且$AE=BE$,连接DE,若$CD=3$,$AE=4$,则DE的长为
$\sqrt{7}$
.答案
在Rt$△ABC$中,CD为斜边AB上的中线,$CD=3$,
∴ $CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=3$,
∵ $AE=BE$,
∴ $ED⊥AD$,在Rt$△ADE$中,$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$.故答案为$\sqrt{7}$.
∴ $CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB=3$,
∵ $AE=BE$,
∴ $ED⊥AD$,在Rt$△ADE$中,$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$.故答案为$\sqrt{7}$.
14.「2026辽宁丹东期末，★★☆」如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，则菱形ABCD的高AE为
4.8
。答案
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $AC⊥BD,OB=\frac{1}{2}BD,OC=\frac{1}{2}AC$,
∵ $AC=6,BD=8,∴ OB=4,OC=3,∴ BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=5$,
∵ $AE⊥BC$,
∴ 菱形ABCD的面积$=BC·AE=\frac{1}{2}AC·BD,∴ 5AE=\frac{1}{2}×6×8,∴ AE=4.8$.故答案为4.8.
15.「2026陕西安康期中，★★☆」在一幅长为65 cm，宽为30 cm的矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为x cm，若整个挂图的面积是2 450 cm²，则x满足的方程是
$(65+2x)(30+2x)=2\ 450$
。答案
∵ 金色纸边的宽为$x$ cm,
∴ 矩形挂图的长为$(65+2x)$ cm,宽为$(30+2x)$ cm,
∴ $x$满足的方程是$(65+2x)(30+2x)=2450$.
16.「2025广东深圳福田红岭教育集团期中，★★☆」如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，打开后再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A'，折痕为DE，AB=10，BC=6，则A'N的长为
$10-3\sqrt{3}$
。答案
∵ 四边形ABCD是矩形,$BC=6,∴ AD=BC=6$,由折叠得$A'D=AD=6$,点D与点A关于直线MN对称,
∴ MN垂直平分AD,
∴ $∠AMN=∠DMN=90°,DM=AM=\frac{1}{2}AD=3$,
∵ $∠A=∠B=∠AMN=90°$,
∴ 四边形ABNM是矩形,
∴ $MN=AB=10$,
∵ $∠A'MD=90°$,
∴ 在Rt$△A'MD$中,$A'M=\sqrt{A'D^2-DM^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,
∴ $A'N=MN-A'M=10-3\sqrt{3}$,故答案为$10-3\sqrt{3}$.
三、解答题(共56分)
17.「2026黑龙江齐齐哈尔期末，★☆」(8分)已知关于x的一元二次方程$(k-2)x^2 -2kx +k+1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若方程的两个根为$x_1,x_2$,且满足$x_1+x_2=x_1x_2$,求k的值.
17.「2026黑龙江齐齐哈尔期末，★☆」(8分)已知关于x的一元二次方程$(k-2)x^2 -2kx +k+1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若方程的两个根为$x_1,x_2$,且满足$x_1+x_2=x_1x_2$,求k的值.
答案
(1)由题意得$Δ=(-2k)^2-4(k-2)(k+1)＞0$,整理得$4k+8＞0,∴ k＞-2$,
∵ $k-2≠0,∴ k≠2$,
∴ $k＞-2$且$k≠2$.
(2)由题意得$x_1+x_2=\frac{2k}{k-2},x_1x_2=\frac{k+1}{k-2}$,
∵ $x_1+x_2=x_1x_2,∴ \frac{2k}{k-2}=\frac{k+1}{k-2}$,解得$k=1$,经检验,$k=1$是方程$\frac{2k}{k-2}=\frac{k+1}{k-2}$的解,且符合题意,
∴ $k$的值是1.
∵ $k-2≠0,∴ k≠2$,
∴ $k＞-2$且$k≠2$.
(2)由题意得$x_1+x_2=\frac{2k}{k-2},x_1x_2=\frac{k+1}{k-2}$,
∵ $x_1+x_2=x_1x_2,∴ \frac{2k}{k-2}=\frac{k+1}{k-2}$,解得$k=1$,经检验,$k=1$是方程$\frac{2k}{k-2}=\frac{k+1}{k-2}$的解,且符合题意,
∴ $k$的值是1.
