8.「2026山西晋中期末，★★☆」九年级(1)班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言。如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）

A.$\frac{x(x-1)}{2}=1560$
B.$\frac{x(x+1)}{2}=1560$
C.$x(x-1)=1560$
D.$x(x+1)=1560$

全班有$x$名学生,则每名学生都写了$(x-1)$份留言,$x$名学生共写了$x(x-1)$份留言,列出方程得$x(x-1)=1560$.故选 C.

9. 情境 数学文化 发展史「2026广东深圳新安中学期中改编，★☆」《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何？”大意是：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲行率为7，乙行率为3.乙一直往东走，甲先向南走10步（步是古代的长度单位），然后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时甲、乙各走了多少步？设甲、乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（）

A.$(3x)^2 + 10^2 = (7x - 10)^2$
B.$(3x)^2 + 10^2 = (7x)^2$
C.$(7x)^2 + 10^2 = (3x - 10)^2$
D.$(3x)^2 = (7x - 10)^2 + 10^2$

∵ 甲行率为7,乙行率为3,甲、乙二人从出发到相遇所用的时间是$x$,
∴ 乙走了$3x$步,甲在北偏东方向上走了$(7x-10)$步,由勾股定理得$(3x)^2+10^2=(7x-10)^2$.故选 A.

10.「2026 宁夏中卫期中，★★★」如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①$AP = EF$；②$∠ PFE = ∠ BAP$；③$AP ⊥ EF$；④$PD=\sqrt{2}EC$.其中正确的是（）


A.①②③
B.①④
C.①②④
D.①②③④

如图,延长FP交AB于点G,延长AP交EF于点H,连接PC,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ $∠BCD=90°,∠PDF=45°$,
∵ $PE⊥BC,PF⊥CD$,
∴ 四边形PFCE为矩形,
∴ $PC=EF,PF=CE$.
∵ $∠PDF=45°$,
∴ $∠DPF=45°$,
∴ $PF=DF=EC$.在Rt$△DPF$中,由勾股定理得$DP^2=DF^2+PF^2=2EC^2,∴ PD=\sqrt{2}EC$,故④正确.
∵ $PE⊥BC,PG⊥AB$,
∴ 四边形PGBE为矩形,
∵ BD为正方形ABCD对角线,
∴ BD平分$∠ABC$,
∵ $PG⊥AB,PE⊥BC$,
∴ $PG=PE$.
∴ 矩形PGBE为正方形,
∴ $BG=BE$,
∴ $AG=CE$,
∵ $PF=CE$,
∴ $AG=PF$,在$△AGP$和$△FPE$中,$\begin{cases}AG=PF,\\∠AGP=∠EPF,\\GP=PE,\end{cases}∴ △AGP≌△FPE,∴ AP=EF,∠BAP=∠PFE$,故①②正确.
∵ $∠AGP=90°$,
∴ $∠BAP+∠APG=90°$.
∵ $∠APG=∠HPF$,
∴ $∠PFH+∠HPF=90°$,
∴ $∠PHF=90°$,即$AP⊥EF$,故③正确.综上,正确的是①②③④.故选 D.

11.「★☆」把方程$x(x+2)=5(x-2)$化成一般式，得$x^2 - bx +10=0$，则$b$的值为。

将原方程整理得$x^2-3x+10=0,∴ b=3$.

12.「2026山西晋中期末，★☆」已知方程$x^2 +3x -4=0$的两根为$x_1$，$x_2$，那么$x_1 +x_2 -x_1x_2 =$。

由题意得$x_1+x_2=-3,x_1x_2=-4,∴ x_1+x_2-x_1x_2=-3-(-4)=1$.故答案为1.