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13.「★☆」如图,数轴上点A表示的数为2,在数轴上截取线段AB=2,过点B作直线n垂直于AB,在直线n上截取线段BC=3,以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交数轴于点D.根据以上作图过程及所作图形,点D表示的数是
$\sqrt{13}+2$
.答案
13.答案 $\sqrt{13}+2$
解析 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,
$\therefore AD=AC=\sqrt{13}$,$\therefore$ 点 $D$ 表示的数为 $\sqrt{13}+2$.
解析 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,
$\therefore AD=AC=\sqrt{13}$,$\therefore$ 点 $D$ 表示的数为 $\sqrt{13}+2$.
14.「2026湖南株洲期中，★☆」对于任意正实数$a,b$,定义一种新的运算:$a※b=\sqrt{a}+\sqrt{ab}$.例如:$3※4=\sqrt{3}+\sqrt{3×4}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.
按照这种运算方法,计算$7※9=$
按照这种运算方法,计算$7※9=$
$4\sqrt{7}$
.答案
14.答案 $4\sqrt{7}$
解析 $7※9=\sqrt{7}+\sqrt{7×9}=\sqrt{7}+3\sqrt{7}=4\sqrt{7}$.
解析 $7※9=\sqrt{7}+\sqrt{7×9}=\sqrt{7}+3\sqrt{7}=4\sqrt{7}$.
15.「★★☆」已知$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$m$的倒数等于它本身，则$\frac{a+b}{m^2} - cd + m$的立方根为
0或$\sqrt[3]{-2}$
。答案
15.答案 0或$\sqrt[3]{-2}$
解析 由题意可知 $a+b=0$,$cd=1$,$m=\pm1$.当 $m=1$ 时,$\frac{a+b}{m^2}-cd+m=0-1+1=0$,所以 $\frac{a+b}{m^2}-cd+m$ 的立方根是 0;当 $m=-1$ 时,$\frac{a+b}{m^2}-cd+m=0-1-1=-2$,所以 $\frac{a+b}{m^2}-cd+m$ 的立方根为 $\sqrt[3]{-2}$.
综上所述,$\frac{a+b}{m^2}-cd+m$ 的立方根是 0 或 $\sqrt[3]{-2}$.
解析 由题意可知 $a+b=0$,$cd=1$,$m=\pm1$.当 $m=1$ 时,$\frac{a+b}{m^2}-cd+m=0-1+1=0$,所以 $\frac{a+b}{m^2}-cd+m$ 的立方根是 0;当 $m=-1$ 时,$\frac{a+b}{m^2}-cd+m=0-1-1=-2$,所以 $\frac{a+b}{m^2}-cd+m$ 的立方根为 $\sqrt[3]{-2}$.
综上所述,$\frac{a+b}{m^2}-cd+m$ 的立方根是 0 或 $\sqrt[3]{-2}$.
16.「2026广东茂名期末改编，★★☆」观察下列各数：$a_1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}, a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}, a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+2}, a_4=\frac{1}{2+\sqrt{5}}, ······$
按上述规律，计算$a_1+a_2+a_3+···+a_n=$
按上述规律，计算$a_1+a_2+a_3+···+a_n=$
$\sqrt{n+1}-1$
答案
16.答案 $\sqrt{n+1}-1$
解析 $a_1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2},a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3},a_4=\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2,\dots\dots$,则 $a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{n+1}-1$.
解析 $a_1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2},a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3},a_4=\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2,\dots\dots$,则 $a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{n+1}-1$.
三、解答题(共56分)
17.「2026江苏盐城期中，★☆」(8分)求下列各式中的x的值.
(1)$4x^2=121$.
(2)$(x+2)^3=125$.
17.「2026江苏盐城期中，★☆」(8分)求下列各式中的x的值.
(1)$4x^2=121$.
(2)$(x+2)^3=125$.
答案
17.解析 (1)因为 $4x^2=121$,所以 $x^2=\frac{121}{4}$,
所以 $x=\pm\sqrt{\frac{121}{4}}=\pm\frac{11}{2}$.
(2)因为 $(x+2)^3=125$,所以 $x+2=\sqrt[3]{125}=5$,所以 $x=3$.
所以 $x=\pm\sqrt{\frac{121}{4}}=\pm\frac{11}{2}$.
(2)因为 $(x+2)^3=125$,所以 $x+2=\sqrt[3]{125}=5$,所以 $x=3$.
18.「2026河北唐山期末，★☆」(8分)下面是嘉嘉同学进行二次根式运算的过程,请认真阅读,完成相应任务.
(1)嘉嘉的解题过程从第
(2)计算:$(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})$.
(1)嘉嘉的解题过程从第
一
步开始错误,正确的计算结果是$6-2\sqrt{5}$
.(2)计算:$(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})$.
答案
18.解析 (1)嘉嘉的解题过程从第一步开始错误.
原式$=(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$.
故答案为一;$6-2\sqrt{5}$.
(2)原式$=3+2\sqrt{3}+1+(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2$
$=3+2\sqrt{3}+1+6-2=8+2\sqrt{3}$.
原式$=(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1^2=5-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}$.
故答案为一;$6-2\sqrt{5}$.
(2)原式$=3+2\sqrt{3}+1+(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2$
$=3+2\sqrt{3}+1+6-2=8+2\sqrt{3}$.
