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1. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥BE且交CD于点F。连接BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是().
A.△EFB
B.△DEF
C.△CFB
D.△EFB和△DEF
A.△EFB
B.△DEF
C.△CFB
D.△EFB和△DEF
答案
B
解析
【分析】
要判断与△ABE相似的三角形，结合矩形性质和相似三角形判定规则思考：
1. 先利用矩形的性质得到∠A、∠D都是直角，明确△ABE是直角三角形；
2. 由EF⊥BE可得∠BEF为直角，结合平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，可推导出两组对应相等的角；
3. 其余选项的三角形均没有足够的对应角相等的条件，无法证明与△ABE相似。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABE中，$∠ ABE + ∠ AEB = 90°$，
∵EF⊥BE，
∴$∠ BEF=90°$，
∴$∠ AEB + ∠ DEF = 180° - ∠ BEF = 90°$，
∴$∠ ABE = ∠ DEF$（同角的余角相等），
在△ABE和△DEF中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ D = 90° \\∠ ABE = ∠ DEF\end{cases}$
∴△ABE∽△DEF。
对其余选项分析：△EFB仅满足$∠ BEF=∠ A=90°$，无其他对应角相等的条件，无法证明与△ABE相似；△CFB不存在与△ABE对应相等的角，不相似。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；同角的余角相等
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是通过矩形和垂直的性质找到两组对应相等的角，熟练掌握两角对应相等判定三角形相似的定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断与△ABE相似的三角形，结合矩形性质和相似三角形判定规则思考：
1. 先利用矩形的性质得到∠A、∠D都是直角，明确△ABE是直角三角形；
2. 由EF⊥BE可得∠BEF为直角，结合平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，可推导出两组对应相等的角；
3. 其余选项的三角形均没有足够的对应角相等的条件，无法证明与△ABE相似。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABE中，$∠ ABE + ∠ AEB = 90°$，
∵EF⊥BE，
∴$∠ BEF=90°$，
∴$∠ AEB + ∠ DEF = 180° - ∠ BEF = 90°$，
∴$∠ ABE = ∠ DEF$（同角的余角相等），
在△ABE和△DEF中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ D = 90° \\∠ ABE = ∠ DEF\end{cases}$
∴△ABE∽△DEF。
对其余选项分析：△EFB仅满足$∠ BEF=∠ A=90°$，无其他对应角相等的条件，无法证明与△ABE相似；△CFB不存在与△ABE对应相等的角，不相似。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；同角的余角相等
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是通过矩形和垂直的性质找到两组对应相等的角，熟练掌握两角对应相等判定三角形相似的定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，$DE// BC$.连接$CE$，则在下列三角形中，与$△ ABC$相似的三角形是().
A.$△ DBE$
B.$△ ADB$
C.$△ AEC$
D.$△ BDC$
A.$△ DBE$
B.$△ ADB$
C.$△ AEC$
D.$△ BDC$
答案
D
解析
【分析】
首先从已知条件入手，先计算△ABC的各内角度数：已知△ABC是顶角为36°的等腰三角形，可先求出两个底角的度数；再结合角平分线的性质求出各选项中三角形的内角度数，最后根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，判断哪个三角形与△ABC相似即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
在△BDC中，$∠ DBC=∠ A=36°$，$∠ BCD=∠ ACB=72°$，
∴$∠ BDC=180°-36°-72°=72°=∠ ABC$，
∴△BDC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
逐一排除其他选项：
A选项△DBE：由$DE// BC$可得$∠ DEB=180°-∠ ABC=108°$，三个内角为36°、36°、108°，与△ABC角度不对应，不相似；
B选项△ADB：$∠ ADB=180°-∠ A-∠ ABD=108°$，角度不对应，不相似；
C选项△AEC：内角与△ABC不对应，不相似。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查等腰三角形的角度计算和相似三角形的判定，解题的关键是准确计算出各相关角的度数，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解题，是相似三角形部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件入手，先计算△ABC的各内角度数：已知△ABC是顶角为36°的等腰三角形，可先求出两个底角的度数；再结合角平分线的性质求出各选项中三角形的内角度数，最后根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，判断哪个三角形与△ABC相似即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
在△BDC中，$∠ DBC=∠ A=36°$，$∠ BCD=∠ ACB=72°$，
∴$∠ BDC=180°-36°-72°=72°=∠ ABC$，
∴△BDC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
逐一排除其他选项：
A选项△DBE：由$DE// BC$可得$∠ DEB=180°-∠ ABC=108°$，三个内角为36°、36°、108°，与△ABC角度不对应，不相似；
B选项△ADB：$∠ ADB=180°-∠ A-∠ ABD=108°$，角度不对应，不相似；
C选项△AEC：内角与△ABC不对应，不相似。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查等腰三角形的角度计算和相似三角形的判定，解题的关键是准确计算出各相关角的度数，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解题，是相似三角形部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为().
A.6.4 m
B.8 m
C.9.6 m
D.12.5 m
A.6.4 m
B.8 m
C.9.6 m
D.12.5 m
答案
B
解析
【分析】
要解决这个测量旗杆高度的问题，首先结合物理中光的反射规律：入射角等于反射角，可得到人与镜子、旗杆与镜子形成的两个直角三角形有一组锐角相等；同时人和旗杆都垂直于地面，两个三角形都有直角，因此可判定两个直角三角形相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的长度数据，即可列出比例式求出旗杆的高度。
【解析】
设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可得两个直角三角形的一组锐角相等；
又因为小菲身高、旗杆高度均与地面垂直，所以两个三角形都有直角（$ 90° $），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定这两个直角三角形相似。
由相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小菲的身高}}{\mathrm{旗杆的高度}}=\frac{\mathrm{小菲到镜子的水平距离}}{\mathrm{镜子到旗杆的水平距离}}$
代入数据：$\frac{1.6}{x}=\frac{2}{10}$
解得：$x=\frac{1.6×10}{2}=8$
即旗杆高度为8m。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，结合了基础的光学常识，解题核心是将实际场景转化为相似三角形的数学模型，找准对应边列比例式求解，能很好地锻炼学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个测量旗杆高度的问题，首先结合物理中光的反射规律：入射角等于反射角，可得到人与镜子、旗杆与镜子形成的两个直角三角形有一组锐角相等；同时人和旗杆都垂直于地面，两个三角形都有直角，因此可判定两个直角三角形相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的长度数据，即可列出比例式求出旗杆的高度。
【解析】
设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可得两个直角三角形的一组锐角相等；
又因为小菲身高、旗杆高度均与地面垂直，所以两个三角形都有直角（$ 90° $），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定这两个直角三角形相似。
由相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{\mathrm{小菲的身高}}{\mathrm{旗杆的高度}}=\frac{\mathrm{小菲到镜子的水平距离}}{\mathrm{镜子到旗杆的水平距离}}$
代入数据：$\frac{1.6}{x}=\frac{2}{10}$
解得：$x=\frac{1.6×10}{2}=8$
即旗杆高度为8m。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，结合了基础的光学常识，解题核心是将实际场景转化为相似三角形的数学模型，找准对应边列比例式求解，能很好地锻炼学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有对.
（第4题）
（第4题）答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解决这类数相似三角形对数的问题，核心是利用相似三角形的两角分别相等（AA）判定定理，结合已知等角、公共角和平行线带来的等角按顺序排查：首先观察有公共角∠C的多个三角形，结合∠1=∠2=∠3的条件找相似；再由∠2=∠3判定DE//AB，利用平行线得到的同位角、内错角相等，寻找其余相似三角形，计数时按固定顺序梳理，避免重复或遗漏。
【解析】
我们逐一判定相似三角形：
1. 在$△ CDE$和$△ CAB$中，$∠ 2=∠ 3$，$∠ C$为公共角，根据AA判定，可得$△ CDE ∽ △ CAB$；
2. 在$△ CDA$和$△ CEA$中，$∠ 1=∠ 2$，$∠ C$为公共角，根据AA判定，可得$△ CDA ∽ △ CEA$；
3. 在$△ CEA$和$△ CAB$中，$∠ 1=∠ 3$，$∠ C$为公共角，根据AA判定，可得$△ CEA ∽ △ CAB$；
4. 由$∠ 2=∠ 3$可得$DE// AB$，故内错角$∠ AED=∠ BAE$，又已知$∠ 1=∠ 3$，根据AA判定，可得$△ ADE ∽ △ BEA$。
综上，共有4对相似三角形。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的AA判定；平行线的判定与性质
【点评】
本题考查相似三角形判定的基础应用，需要熟练掌握两角相等判定相似的方法，计数时按照从公共角到平行线衍生等角的顺序排查，可有效避免漏数、重复计数的问题。
【难度系数】
0.6
解决这类数相似三角形对数的问题，核心是利用相似三角形的两角分别相等（AA）判定定理，结合已知等角、公共角和平行线带来的等角按顺序排查：首先观察有公共角∠C的多个三角形，结合∠1=∠2=∠3的条件找相似；再由∠2=∠3判定DE//AB，利用平行线得到的同位角、内错角相等，寻找其余相似三角形，计数时按固定顺序梳理，避免重复或遗漏。
【解析】
我们逐一判定相似三角形：
1. 在$△ CDE$和$△ CAB$中，$∠ 2=∠ 3$，$∠ C$为公共角，根据AA判定，可得$△ CDE ∽ △ CAB$；
2. 在$△ CDA$和$△ CEA$中，$∠ 1=∠ 2$，$∠ C$为公共角，根据AA判定，可得$△ CDA ∽ △ CEA$；
3. 在$△ CEA$和$△ CAB$中，$∠ 1=∠ 3$，$∠ C$为公共角，根据AA判定，可得$△ CEA ∽ △ CAB$；
4. 由$∠ 2=∠ 3$可得$DE// AB$，故内错角$∠ AED=∠ BAE$，又已知$∠ 1=∠ 3$，根据AA判定，可得$△ ADE ∽ △ BEA$。
综上，共有4对相似三角形。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的AA判定；平行线的判定与性质
【点评】
本题考查相似三角形判定的基础应用，需要熟练掌握两角相等判定相似的方法，计数时按照从公共角到平行线衍生等角的顺序排查，可有效避免漏数、重复计数的问题。
【难度系数】
0.6
5.如图，$CA ⊥ AD$，$ED ⊥ AD$，B是线段AD上的一点，且$CB ⊥ BE$。已知$AB=8$，$AC=6$，$DE=4$.则线段BD的长为。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手：首先由CA、ED都垂直AD，可得∠A和∠D均为90°，结合直角三角形两锐角互余，可知∠C与∠ABC互余；再由CB⊥BE得∠CBE为90°，可推出∠ABC和∠EBD也互余，根据同角的余角相等得到∠C=∠EBD，即可用“两角对应相等”判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列算式求解BD即可。
【解析】
解：$\because CA⊥ AD$，$ED⊥ AD$
$\therefore ∠ A=∠ D=90°$，$\therefore ∠ C+∠ ABC=90°$
$\because CB⊥ BE$，$\therefore ∠ CBE=90°$
$\therefore ∠ ABC+∠ EBD=180°-∠ CBE=90°$
$\therefore ∠ C=∠ EBD$
$\therefore △ CAB ∽ △ BDE$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{AB}{DE}$
将$AC=6$，$AB=8$，$DE=4$代入得：
$\frac{6}{BD}=\frac{8}{4}$
解得$BD=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，核心是通过角度的互余关系推导等角，进而证明三角形相似，再结合相似性质求解线段长度，熟练掌握相似的判定和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知的垂直条件入手：首先由CA、ED都垂直AD，可得∠A和∠D均为90°，结合直角三角形两锐角互余，可知∠C与∠ABC互余；再由CB⊥BE得∠CBE为90°，可推出∠ABC和∠EBD也互余，根据同角的余角相等得到∠C=∠EBD，即可用“两角对应相等”判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列算式求解BD即可。
【解析】
解：$\because CA⊥ AD$，$ED⊥ AD$
$\therefore ∠ A=∠ D=90°$，$\therefore ∠ C+∠ ABC=90°$
$\because CB⊥ BE$，$\therefore ∠ CBE=90°$
$\therefore ∠ ABC+∠ EBD=180°-∠ CBE=90°$
$\therefore ∠ C=∠ EBD$
$\therefore △ CAB ∽ △ BDE$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{AB}{DE}$
将$AC=6$，$AB=8$，$DE=4$代入得：
$\frac{6}{BD}=\frac{8}{4}$
解得$BD=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，核心是通过角度的互余关系推导等角，进而证明三角形相似，再结合相似性质求解线段长度，熟练掌握相似的判定和性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是中线，$BC=8$，$∠ B=∠ DAC$，则线段$AC$的长为________。
答案
$\boldsymbol{4\sqrt{2}}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AD是中线，结合BC=8可先求出CD的长度；②已知∠B=∠DAC，观察发现∠C是△CBA和△CAD的公共角，根据两角对应相等可判定两个三角形相似；③再利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于AC的比例式，代入数值计算即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=4$。
在△CBA和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠DAC\\∠C=∠C（公共角）\end{array} $
∴△CBA∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
即$AC^2=BC· CD=8×4=32$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题的核心是通过两组等角找到相似三角形，再借助相似的性质建立比例式求解，能较好地考查学生对相似三角形判定及性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①AD是中线，结合BC=8可先求出CD的长度；②已知∠B=∠DAC，观察发现∠C是△CBA和△CAD的公共角，根据两角对应相等可判定两个三角形相似；③再利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于AC的比例式，代入数值计算即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=4$。
在△CBA和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠DAC\\∠C=∠C（公共角）\end{array} $
∴△CBA∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
即$AC^2=BC· CD=8×4=32$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型基础题，解题的核心是通过两组等角找到相似三角形，再借助相似的性质建立比例式求解，能较好地考查学生对相似三角形判定及性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
