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10. 已知$a,b,c$是一个三角形的三边长，如果满足$(a-12)^2 + |b-5| + (c-13)^2 = 0$，则该三角形的面积为（
A.20
B.25
C.30
D.35
C
）A.20
B.25
C.30
D.35
答案
10. C
11. (教材数学理解改编)将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的3倍,得到的三角形是(
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
C
)A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
答案
11. C
12. 如图，网格由边长为1的小正方形组成，A，B，C均在格点上，则∠ABC的度数为
第12题图
45°
。第12题图答案
12. 45°
13. (2025 山东枣庄北辛中学阶段练改编)某工厂计划生产一批自行车,如图①为自行车的实物图,图②为其车架部分示意图,经测量,上管$AB=64\ \mathrm{cm}$,下管$AD=80\ \mathrm{cm}$,右管$BD=48\ \mathrm{cm}$,后下叉$CD=55\ \mathrm{cm}$,后上叉$CB=73\ \mathrm{cm}$. 根据设计要求需保证$AB// CD$,请判断该车架是否符合设计要求,并说明理由.
答案
13. 解:该车架符合设计要求,理由如下：
因为后下叉$CD=55\ \mathrm{cm}$,后上叉$CB=73\ \mathrm{cm}$,右管$BD=48\ \mathrm{cm}$,$48^2+55^2=73^2$,所以$BD^2+CD^2=BC^2$,
所以$∠ BDC=90°$,
因为上管$AB=64\ \mathrm{cm}$,下管$AD=80\ \mathrm{cm}$,
所以$AB^2+BD^2=6400=AD^2$,
所以$△ ABD$是直角三角形,$∠ ABD=90°$,
所以$∠ ABD=∠ BDC$,
所以$AB// CD$.
所以该车架符合设计要求.
因为后下叉$CD=55\ \mathrm{cm}$,后上叉$CB=73\ \mathrm{cm}$,右管$BD=48\ \mathrm{cm}$,$48^2+55^2=73^2$,所以$BD^2+CD^2=BC^2$,
所以$∠ BDC=90°$,
因为上管$AB=64\ \mathrm{cm}$,下管$AD=80\ \mathrm{cm}$,
所以$AB^2+BD^2=6400=AD^2$,
所以$△ ABD$是直角三角形,$∠ ABD=90°$,
所以$∠ ABD=∠ BDC$,
所以$AB// CD$.
所以该车架符合设计要求.
14. 万唯原创 中考新考法·代数推理，下表是古希腊哲学家柏拉图和我国古代数学著作《九章算术》分别给出的勾股数公式：
| 柏拉图 | 如果$m$表示大于1的整数，$a=2m$，$b=m^2-1$，$c=m^2+1$，那么$a,b,c$为一组勾股数。 |
| 《九章算术》 | $a=\frac{1}{2}(m^2$
$)$，$b=mn$，$c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)$，其中$m＞n＞0$，$m,n$是互质的奇数(注:$a,b,c$的相同倍数组成的一组数也是勾股数)。 |
(1) 小明查阅资料发现柏拉图公式存在缺陷,试写出一组柏拉图公式无法构造的勾股数:
(2) 根据《九章算术》中的记载,当$m=5,n=3$时,这组勾股数为
(3) 请你通过计算,验证《九章算术》中记载公式的准确性.
[此考法河南、宁夏等地中考已考查]
| 柏拉图 | 如果$m$表示大于1的整数，$a=2m$，$b=m^2-1$，$c=m^2+1$，那么$a,b,c$为一组勾股数。 |
| 《九章算术》 | $a=\frac{1}{2}(m^2$
$)$，$b=mn$，$c=\frac{1}{2}(m^2+n^2)$，其中$m＞n＞0$，$m,n$是互质的奇数(注:$a,b,c$的相同倍数组成的一组数也是勾股数)。 |(1) 小明查阅资料发现柏拉图公式存在缺陷,试写出一组柏拉图公式无法构造的勾股数:
5,12,13(答案不唯一)
;(2) 根据《九章算术》中的记载,当$m=5,n=3$时,这组勾股数为
8,15,17
;(3) 请你通过计算,验证《九章算术》中记载公式的准确性.
[此考法河南、宁夏等地中考已考查]
答案
14. 解:(1)5,12,13(答案不唯一)；【解法提示】根据柏拉图公式,直角边中$a=2m$,$b=m^2-1$,勾股数5,12,13中的两条直角边均不满足该代数式.
(2)8,15,17；【解法提示】当$m=5,n=3$时,$a=\dfrac{1}{2}(m^2-n^2)=8$,$b=mn=15$,$c=\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)=17$,所以这组勾股数为8,15,17.
(3)$[\dfrac{1}{2}(m^2-n^2)]^2+(mn)^2$
$=\dfrac{1}{4}m^4-\dfrac{1}{2}m^2n^2+\dfrac{1}{4}n^4+m^2n^2$
$=\dfrac{1}{4}m^4+\dfrac{1}{2}m^2n^2+\dfrac{1}{4}n^4$
$=[\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)]^2$,
即$a^2+b^2=c^2$,
所以$a=\dfrac{1}{2}(m^2-n^2)$,$b=mn$,$c=\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)$($m＞n＞0$,$m,n$是互质的奇数)是一组勾股数.
(2)8,15,17；【解法提示】当$m=5,n=3$时,$a=\dfrac{1}{2}(m^2-n^2)=8$,$b=mn=15$,$c=\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)=17$,所以这组勾股数为8,15,17.
(3)$[\dfrac{1}{2}(m^2-n^2)]^2+(mn)^2$
$=\dfrac{1}{4}m^4-\dfrac{1}{2}m^2n^2+\dfrac{1}{4}n^4+m^2n^2$
$=\dfrac{1}{4}m^4+\dfrac{1}{2}m^2n^2+\dfrac{1}{4}n^4$
$=[\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)]^2$,
即$a^2+b^2=c^2$,
所以$a=\dfrac{1}{2}(m^2-n^2)$,$b=mn$,$c=\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)$($m＞n＞0$,$m,n$是互质的奇数)是一组勾股数.
1. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,O四点均在格点上,则∠AOB−∠COB的度数为
45°
。答案
1. 45° 【解析】如解图,作点$C$关于$OB$的对称点$C'$,连接$OC'$,$AC'$,所以$∠ COB=∠ C'OB$,$∠ AOB-∠ COB=∠ AOB-∠ C'OB=∠ AOC'$,在$△ OAC'$中,$OA^2=AC'^2=1^2+2^2=5$,$OC'^2=1^2+3^2=10$,因为$OC'^2=OA^2+AC'^2$,所以$△ OAC'$是等腰直角三角形,所以$∠ AOB-∠ COB=∠ AOC'=45°$.
