登录
1.一元二次方程$x^2 - 3x -4=0$的根的判别式的值是（
A.$-7$
B.$25$
C.$\pm5$
D.$5$
B
）.A.$-7$
B.$25$
C.$\pm5$
D.$5$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先回忆根的判别式的计算公式：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，注意系数的符号，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
对应方程$x^2 - 3x -4=0$，可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，
将系数代入判别式公式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-4) =9 +16=25$。
因此根的判别式的值为25，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的判别式公式的掌握，解题时需要注意准确识别各项系数的符号，避免因符号错误或者混淆判别式与求根公式中的开方运算导致失分。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式的值，首先回忆根的判别式的计算公式：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题时先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，注意系数的符号，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
对应方程$x^2 - 3x -4=0$，可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=-4$，
将系数代入判别式公式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-4) =9 +16=25$。
因此根的判别式的值为25，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的判别式公式的掌握，解题时需要注意准确识别各项系数的符号，避免因符号错误或者混淆判别式与求根公式中的开方运算导致失分。
【难度系数】
0.8
2.关于一元二次方程$2x^2 - 3x + \frac{3}{2}=0$的根的情况，下列说法正确的是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
C
).A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
2.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行判断。首先先从给定的一元二次方程的一般形式中找出对应$a$、$b$、$c$的值，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$2x^2 - 3x + \frac{3}{2}=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=\frac{3}{2}$，代入判别式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2×\frac{3}{2} = 9 - 12 = -3$
因为$\Delta = -3 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题关键是准确找出方程中$a$、$b$、$c$的取值，正确计算判别式的值，牢记判别式符号对应根的三种情况即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行判断。首先先从给定的一元二次方程的一般形式中找出对应$a$、$b$、$c$的值，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$2x^2 - 3x + \frac{3}{2}=0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=\frac{3}{2}$，代入判别式得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2×\frac{3}{2} = 9 - 12 = -3$
因为$\Delta = -3 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题关键是准确找出方程中$a$、$b$、$c$的取值，正确计算判别式的值，牢记判别式符号对应根的三种情况即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.下列方程中,有两个相等的实数根的是(
A.$(x-2)^2=-1$
B.$(x-2)^2=0$
C.$(x-2)^2=1$
D.$(x-2)^2=2$
B
).A.$(x-2)^2=-1$
B.$(x-2)^2=0$
C.$(x-2)^2=1$
D.$(x-2)^2=2$
答案
3.B
解析
【分析】
要判断哪个方程有两个相等的实数根，可结合直接开平方法解一元二次方程的规律：对于形如$(x-m)^2=k$的一元二次方程，当$k＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$k=0$时，方程有两个相等的实数根；当$k＜0$时，方程没有实数根。我们只需逐个判断每个选项中等号右侧常数的取值范围，对应上述规律即可得出答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
A选项：方程$(x-2)^2=-1$，等号右侧$-1＜0$，因此方程无实数根；
B选项：方程$(x-2)^2=0$，等号右侧为0，因此方程有两个相等的实数根，根为$x_1=x_2=2$；
C选项：方程$(x-2)^2=1$，等号右侧$1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根；
D选项：方程$(x-2)^2=2$，等号右侧$2＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础类题型，核心考查形如$(x-m)^2=k$的一元二次方程根的情况判断，熟练掌握不同k值对应的根的三种情况即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个方程有两个相等的实数根，可结合直接开平方法解一元二次方程的规律：对于形如$(x-m)^2=k$的一元二次方程，当$k＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$k=0$时，方程有两个相等的实数根；当$k＜0$时，方程没有实数根。我们只需逐个判断每个选项中等号右侧常数的取值范围，对应上述规律即可得出答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
A选项：方程$(x-2)^2=-1$，等号右侧$-1＜0$，因此方程无实数根；
B选项：方程$(x-2)^2=0$，等号右侧为0，因此方程有两个相等的实数根，根为$x_1=x_2=2$；
C选项：方程$(x-2)^2=1$，等号右侧$1＞0$，因此方程有两个不相等的实数根；
D选项：方程$(x-2)^2=2$，等号右侧$2＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判定
【点评】
本题是基础类题型，核心考查形如$(x-m)^2=k$的一元二次方程根的情况判断，熟练掌握不同k值对应的根的三种情况即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4.若关于$x$的一元二次方程$kx^2 + 2x -1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是(
A.$k＞-1$
B.$k＞1$
C.$k≠0$
D.$k＞-1$且$k≠0$
D
).A.$k＞-1$
B.$k＞1$
C.$k≠0$
D.$k＞-1$且$k≠0$
答案
4.D
解析
【分析】
要解这道题需同时满足两个核心条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会变为一元一次方程，不符合题意；②方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ＞0。我们先分别根据这两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分，即可得到最终k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 + 2x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=k$，$b=2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × k × (-1) = 4 + 4k ＞ 0$
解不等式$4 + 4k ＞ 0$：
移项得$4k ＞ -4$，解得$k ＞ -1$
结合$k ≠ 0$的限制条件，可得k的取值范围是$k ＞ -1$且$k ≠ 0$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程定义 2.根的判别式 3.一元一次不等式求解
【点评】
本题属于易错题，解题时极易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0误选A。答题时要先抓住题目中的“一元二次方程”限定条件，再结合根的情况用判别式计算，最后综合两个条件得到结果。
【难度系数】
0.6
要解这道题需同时满足两个核心条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会变为一元一次方程，不符合题意；②方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ＞0。我们先分别根据这两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的公共部分，即可得到最终k的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 + 2x -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=k$，$b=2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × k × (-1) = 4 + 4k ＞ 0$
解不等式$4 + 4k ＞ 0$：
移项得$4k ＞ -4$，解得$k ＞ -1$
结合$k ≠ 0$的限制条件，可得k的取值范围是$k ＞ -1$且$k ≠ 0$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程定义 2.根的判别式 3.一元一次不等式求解
【点评】
本题属于易错题，解题时极易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0误选A。答题时要先抓住题目中的“一元二次方程”限定条件，再结合根的情况用判别式计算，最后综合两个条件得到结果。
【难度系数】
0.6
5.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+k=0$.
(1)若$k=0$,解此方程.
(2)若方程没有实数根,求$k$的最小整数值.
(1)若$k=0$,解此方程.
(2)若方程没有实数根,求$k$的最小整数值.
答案
5.(1)由条件可知方程为$x^2+2x=0$,
配方,得$(x+1)^2=1$,
由此可得$x+1=\pm1$,$x_1=0$,$x_2=-2$.
(2)由条件可知$\Delta＜0$,即$4-4k＜0$,解得$k＞1$.$\therefore k$的最小整数值为2.
配方,得$(x+1)^2=1$,
由此可得$x+1=\pm1$,$x_1=0$,$x_2=-2$.
(2)由条件可知$\Delta＜0$,即$4-4k＜0$,解得$k＞1$.$\therefore k$的最小整数值为2.
解析
【分析】
本题分两小问逐步思考：(1) 第一问给出k=0，首先将k=0代入原方程得到不含参数的一元二次方程，再用配方法或因式分解法等常规方法解方程即可；(2) 第二问已知方程没有实数根，结合一元二次方程根的判别式的性质，Δ＜0时方程无实根，代入对应系数列出关于k的不等式，解出k的范围后找出范围内的最小整数即可。
【解析】
(1) 当$k=0$时，原方程为$x^2+2x=0$，
配方得：$x^2+2x+1=1$，即$(x+1)^2=1$，
开方可得$x+1=\pm1$，
解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
(2) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，
若方程没有实数根，则$\Delta＜0$，
本题中$a=1$，$b=2$，$c=k$，代入得：
$\Delta=2^2-4×1× k=4-4k＜0$，
解不等式得$k＞1$，
因此k的最小整数值为2。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=-2$；(2) $2$
【知识点】
1. 一元二次方程求解 2. 一元二次方程根的判别式 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，考察核心知识点的直接运用，计算量小，只要熟练掌握根的判别式与根的对应关系、一元二次方程的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
本题分两小问逐步思考：(1) 第一问给出k=0，首先将k=0代入原方程得到不含参数的一元二次方程，再用配方法或因式分解法等常规方法解方程即可；(2) 第二问已知方程没有实数根，结合一元二次方程根的判别式的性质，Δ＜0时方程无实根，代入对应系数列出关于k的不等式，解出k的范围后找出范围内的最小整数即可。
【解析】
(1) 当$k=0$时，原方程为$x^2+2x=0$，
配方得：$x^2+2x+1=1$，即$(x+1)^2=1$，
开方可得$x+1=\pm1$，
解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
(2) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，
若方程没有实数根，则$\Delta＜0$，
本题中$a=1$，$b=2$，$c=k$，代入得：
$\Delta=2^2-4×1× k=4-4k＜0$，
解不等式得$k＞1$，
因此k的最小整数值为2。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=-2$；(2) $2$
【知识点】
1. 一元二次方程求解 2. 一元二次方程根的判别式 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，考察核心知识点的直接运用，计算量小，只要熟练掌握根的判别式与根的对应关系、一元二次方程的基本解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + k = 0$有实数根，则$k$的最大整数值是（
A.－3
B.－2
C.2
D.3
C
）.A.－3
B.－2
C.2
D.3
答案
6.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程有实数根的前提是判别式非负。我们先回忆一元二次方程根的判别式公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数根。接下来我们把题目中方程的系数代入判别式，列出关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围，最后在范围内找到最大整数即可。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 + 3x + k = 0$有实数根，根据根的判别式的性质，可得：
$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=1$，$b=3$，$c=k$，代入得：
$3^2 - 4×1×k ≥ 0$
计算得：
$9 - 4k ≥ 0$
移项得：
$4k ≤ 9$
解得：
$k ≤ \frac{9}{4} = 2.25$
小于等于2.25的最大整数是2，因此$k$的最大整数值为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、不等式整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时只要准确代入系数计算判别式，正确解不等式就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确一元二次方程有实数根的前提是判别式非负。我们先回忆一元二次方程根的判别式公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，方程有实数根。接下来我们把题目中方程的系数代入判别式，列出关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围，最后在范围内找到最大整数即可。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 + 3x + k = 0$有实数根，根据根的判别式的性质，可得：
$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=1$，$b=3$，$c=k$，代入得：
$3^2 - 4×1×k ≥ 0$
计算得：
$9 - 4k ≥ 0$
移项得：
$4k ≤ 9$
解得：
$k ≤ \frac{9}{4} = 2.25$
小于等于2.25的最大整数是2，因此$k$的最大整数值为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、不等式整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时只要准确代入系数计算判别式，正确解不等式就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
7.对实数 $ m,n $ 定义运算“*”为 $ m*n = n^2 + 2m $，例如 $ 1*3 = 3^2 + 2×1 = 11 $，则关于 $ x $ 的方程 $ 2*x = x +5 $ 的根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
B
)。A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
7.B
解析
【分析】
首先，本题给出了新定义的运算规则，解题第一步需根据新运算的定义，将“2*x”转化为我们熟悉的代数式；接着将其代入给定的方程，整理成一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；最后计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负性即可判断方程根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
根据新运算“*”的定义$m*n = n^2 + 2m$，可得$2*x = x^2 + 2×2 = x^2 + 4$。
将$2*x = x^2 + 4$代入方程$2*x = x +5$，得：
$x^2 + 4 = x + 5$
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 - x - 1 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是准确理解新运算的规则，将新运算转化为常规的代数式，再代入方程求解判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
首先，本题给出了新定义的运算规则，解题第一步需根据新运算的定义，将“2*x”转化为我们熟悉的代数式；接着将其代入给定的方程，整理成一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；最后计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负性即可判断方程根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
根据新运算“*”的定义$m*n = n^2 + 2m$，可得$2*x = x^2 + 2×2 = x^2 + 4$。
将$2*x = x^2 + 4$代入方程$2*x = x +5$，得：
$x^2 + 4 = x + 5$
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 - x - 1 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-1$，计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 1 + 4 = 5$
因为$\Delta=5＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根，故选B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是准确理解新运算的规则，将新运算转化为常规的代数式，再代入方程求解判断，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
