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例1 已知圆柱的体积为$6π \mathrm{cm}^3$，其底面积为$y$(单位:$\mathrm{cm}^2$)，高为$x$(单位:$\mathrm{cm}$)，则$y$关于$x$的函数图象大致是(
)
【思路导析】1. 圆柱的体积$=$底面积$×$高；
2. 反比例函数的图象是双曲线；
3. 圆柱的底面积和高不能为负数.
【请你解答】.
知识点二 反比例函数的性质
)【思路导析】1. 圆柱的体积$=$底面积$×$高；
2. 反比例函数的图象是双曲线；
3. 圆柱的底面积和高不能为负数.
【请你解答】.
知识点二 反比例函数的性质
答案
$\boldsymbol{B}$
解析
【分析】
解题时首先结合圆柱体积公式推导y与x的函数关系，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后根据函数类型和自变量范围匹配对应函数图象即可。第一步，回忆圆柱体积公式：体积=底面积×高，代入已知体积可得到y和x的等式，变形得到函数解析式；第二步，结合实际问题，圆柱的高x必须是正数，因此x＞0，排除不符合取值范围的图象；第三步，根据函数类型排除非对应类型的函数图象，得到正确选项。
【解析】
根据圆柱体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{底面积}×\mathrm{高}$，已知体积为$6π \mathrm{cm}^3$，可得：
$xy=6π$，变形得$y=\frac{6π}{x}$，
因为圆柱的高$x$为正数，即$x＞0$，所以$y$是$x$的反比例函数，且图象仅为第一象限内的双曲线分支。
对选项逐一分析：
选项A：图象包含第三象限分支，不符合$x＞0$的要求，排除；
选项B：为第一象限内的反比例函数图象，符合要求；
选项C：是过原点的直线，为正比例函数图象，不符合反比例函数的形式，排除；
选项D：是第一象限内的正比例函数图象，不符合反比例函数的形式，排除。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
圆柱体积计算、反比例函数的概念、反比例函数的图象
【点评】
本题结合实际几何问题考查反比例函数的图象，解题的关键是不能忽略实际问题中自变量的取值范围，避免误选没有限制自变量范围的函数图象。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合圆柱体积公式推导y与x的函数关系，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后根据函数类型和自变量范围匹配对应函数图象即可。第一步，回忆圆柱体积公式：体积=底面积×高，代入已知体积可得到y和x的等式，变形得到函数解析式；第二步，结合实际问题，圆柱的高x必须是正数，因此x＞0，排除不符合取值范围的图象；第三步，根据函数类型排除非对应类型的函数图象，得到正确选项。
【解析】
根据圆柱体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{底面积}×\mathrm{高}$，已知体积为$6π \mathrm{cm}^3$，可得：
$xy=6π$，变形得$y=\frac{6π}{x}$，
因为圆柱的高$x$为正数，即$x＞0$，所以$y$是$x$的反比例函数，且图象仅为第一象限内的双曲线分支。
对选项逐一分析：
选项A：图象包含第三象限分支，不符合$x＞0$的要求，排除；
选项B：为第一象限内的反比例函数图象，符合要求；
选项C：是过原点的直线，为正比例函数图象，不符合反比例函数的形式，排除；
选项D：是第一象限内的正比例函数图象，不符合反比例函数的形式，排除。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
圆柱体积计算、反比例函数的概念、反比例函数的图象
【点评】
本题结合实际几何问题考查反比例函数的图象，解题的关键是不能忽略实际问题中自变量的取值范围，避免误选没有限制自变量范围的函数图象。
【难度系数】
0.8
例2 (1)已知反比例函数$y=\frac{3-k}{x}$的图象位于第一、第三象限，求k的取值范围；
(2)已知反比例函数$y=(a-2)x^{|a|-4}$，当$x＞0$时，y随x的增大而增大，求此函数的解析式.
【思路导析】利用反比例函数的性质作答.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义
(2)已知反比例函数$y=(a-2)x^{|a|-4}$，当$x＞0$时，y随x的增大而增大，求此函数的解析式.
【思路导析】利用反比例函数的性质作答.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义
答案
解：(1) ∵反比例函数$y=\frac{3-k}{x}$的图象位于第一、第三象限，
∴比例系数$3-k＞0$，
解得$k＜3$。
(2) ∵$y=(a-2)x^{|a|-4}$是反比例函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴$\begin{cases}|a|-4 = -1 \\a-2 ＜ 0\end{cases}$
由$|a|-4=-1$得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$，
结合$a-2＜0$（即$a＜2$），可得$a=-3$，
将$a=-3$代入得$a-2=-5$，
∴此函数的解析式为$y=-\frac{5}{x}$。
∴比例系数$3-k＞0$，
解得$k＜3$。
(2) ∵$y=(a-2)x^{|a|-4}$是反比例函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴$\begin{cases}|a|-4 = -1 \\a-2 ＜ 0\end{cases}$
由$|a|-4=-1$得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$，
结合$a-2＜0$（即$a＜2$），可得$a=-3$，
将$a=-3$代入得$a-2=-5$，
∴此函数的解析式为$y=-\frac{5}{x}$。
解析
【分析】
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象位于第一、第三象限时，比例系数$k＞0$，本题中比例系数为$3-k$，因此只需列不等式$3-k＞0$，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 解题需先满足反比例函数的定义：自变量$x$的次数为$-1$，且比例系数不为0；再结合增减性要求：当$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，说明比例系数小于0，据此列方程组求解$a$的取值，代入原式即可得到函数解析式。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{3-k}{x}$的图象位于第一、第三象限，
∴比例系数满足$3-k＞0$，
解得$k＜3$。
(2)
∵$y=(a-2)x^{|a|-4}$是反比例函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴需同时满足条件：$\begin{cases}|a|-4 = -1 \\a-2 ＜ 0\end{cases}$
解$|a|-4=-1$得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$；
解$a-2＜0$得$a＜2$，结合上述结果可得$a=-3$；
将$a=-3$代入得比例系数$a-2=-5$，
∴此函数的解析式为$y=-\frac{5}{x}$。
【答案】
(1) $k＜3$；(2) $y=-\frac{5}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题关键是牢记反比例函数的定义要求，以及比例系数符号和图象位置、增减性的对应关系，注意不要遗漏约束条件导致参数求解错误。
【难度系数】
0.75
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象位于第一、第三象限时，比例系数$k＞0$，本题中比例系数为$3-k$，因此只需列不等式$3-k＞0$，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 解题需先满足反比例函数的定义：自变量$x$的次数为$-1$，且比例系数不为0；再结合增减性要求：当$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，说明比例系数小于0，据此列方程组求解$a$的取值，代入原式即可得到函数解析式。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{3-k}{x}$的图象位于第一、第三象限，
∴比例系数满足$3-k＞0$，
解得$k＜3$。
(2)
∵$y=(a-2)x^{|a|-4}$是反比例函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴需同时满足条件：$\begin{cases}|a|-4 = -1 \\a-2 ＜ 0\end{cases}$
解$|a|-4=-1$得$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$；
解$a-2＜0$得$a＜2$，结合上述结果可得$a=-3$；
将$a=-3$代入得比例系数$a-2=-5$，
∴此函数的解析式为$y=-\frac{5}{x}$。
【答案】
(1) $k＜3$；(2) $y=-\frac{5}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题关键是牢记反比例函数的定义要求，以及比例系数符号和图象位置、增减性的对应关系，注意不要遗漏约束条件导致参数求解错误。
【难度系数】
0.75
例3 如图，过反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上任意两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设$△ AOC$和$△ OBD$的面积分别为$S_1,S_2$，比较$S_1,S_2$的大小，可以得到（）
A.$S_1＞S_2$
B.$S_1=S_2$
C.$S_1＜S_2$
D.$S_1,S_2$的大小无法确定
【探究点拨】注意点的坐标与三角形面积的关系。
【规范解答】$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AC$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OD× BD$，
∵ 点A，B在$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴ $OC· AC=OD· BD=1$，
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，
即 $S_1=S_2$，选B。
A.$S_1＞S_2$
B.$S_1=S_2$
C.$S_1＜S_2$
D.$S_1,S_2$的大小无法确定
【探究点拨】注意点的坐标与三角形面积的关系。
【规范解答】$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AC$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OD× BD$，
∵ 点A，B在$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴ $OC· AC=OD· BD=1$，
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，
即 $S_1=S_2$，选B。
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个直角三角形的面积计算方法，再结合反比例函数的性质推导面积大小。首先△AOC和△OBD都是直角三角形，面积等于$\frac{1}{2}×底×高$，其中底对应点的横坐标，高对应点的纵坐标。再利用反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于k的性质，将坐标关系代入面积公式，即可算出两个三角形的面积并比较大小。
【解析】
首先写出两个三角形的面积表达式：
$S_{1}=S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × AC$，
$S_{2}=S_{△ OBD}=\frac{1}{2} × OD × BD$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则满足$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$，即$OC · AC = x_1y_1=1$，$OD · BD = x_2y_2=1$。
将上述关系代入面积公式计算：
$S_1=\frac{1}{2} × 1=\frac{1}{2}$，$S_2=\frac{1}{2} × 1=\frac{1}{2}$，
因此$S_1=S_2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的基础常考题，核心考察反比例函数k的几何意义，掌握“过反比例函数图象上任意一点作x轴或y轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积恒为$\frac{|k|}{2}$”这一结论，可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确两个直角三角形的面积计算方法，再结合反比例函数的性质推导面积大小。首先△AOC和△OBD都是直角三角形，面积等于$\frac{1}{2}×底×高$，其中底对应点的横坐标，高对应点的纵坐标。再利用反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于k的性质，将坐标关系代入面积公式，即可算出两个三角形的面积并比较大小。
【解析】
首先写出两个三角形的面积表达式：
$S_{1}=S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × AC$，
$S_{2}=S_{△ OBD}=\frac{1}{2} × OD × BD$。
∵点A、B在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则满足$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$，即$OC · AC = x_1y_1=1$，$OD · BD = x_2y_2=1$。
将上述关系代入面积公式计算：
$S_1=\frac{1}{2} × 1=\frac{1}{2}$，$S_2=\frac{1}{2} × 1=\frac{1}{2}$，
因此$S_1=S_2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的基础常考题，核心考察反比例函数k的几何意义，掌握“过反比例函数图象上任意一点作x轴或y轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积恒为$\frac{|k|}{2}$”这一结论，可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.9
1.在平面直角坐标系内，过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上的一点分别作x轴，y轴的垂线，与x轴，y轴所围成的矩形的面积是6，则该函数的解析式为。
答案
解：设反比例函数图象上任意一点的坐标为$(x,y)$，
则该点向x轴、y轴作垂线所围成的矩形面积为$|x|·|y|=|xy|$。
由$y=\frac{k}{x}$变形可得$xy=k$，因此矩形面积为$|k|$。
根据题意得$|k|=6$，已知$k＞0$，因此$k=6$，
则该函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
则该点向x轴、y轴作垂线所围成的矩形面积为$|x|·|y|=|xy|$。
由$y=\frac{k}{x}$变形可得$xy=k$，因此矩形面积为$|k|$。
根据题意得$|k|=6$，已知$k＞0$，因此$k=6$，
则该函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义相关知识点：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，和坐标轴围成的矩形面积等于|k|。我们可以先设出函数图象上任意一点的坐标，根据矩形面积公式得出面积和点横、纵坐标的关系，再结合反比例函数表达式推导面积和k的关系，最后结合题目给出的k＞0的条件求出k的值，就能确定函数解析式。
【解析】
设反比例函数图象上任意一点的坐标为$(x,y)$，
则该点向x轴、y轴作垂线所围成的矩形面积为$|x|·|y|=|xy|$。
由$y=\frac{k}{x}$变形可得$xy=k$，因此矩形面积为$|k|$。
根据题意得$|k|=6$，已知$k＞0$，因此$k=6$，
则该函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}}$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础考题，核心考查k的几何意义的应用，只要牢记矩形面积和|k|的对应关系，结合k的取值范围就能快速求解，是反比例函数部分必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义相关知识点：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，和坐标轴围成的矩形面积等于|k|。我们可以先设出函数图象上任意一点的坐标，根据矩形面积公式得出面积和点横、纵坐标的关系，再结合反比例函数表达式推导面积和k的关系，最后结合题目给出的k＞0的条件求出k的值，就能确定函数解析式。
【解析】
设反比例函数图象上任意一点的坐标为$(x,y)$，
则该点向x轴、y轴作垂线所围成的矩形面积为$|x|·|y|=|xy|$。
由$y=\frac{k}{x}$变形可得$xy=k$，因此矩形面积为$|k|$。
根据题意得$|k|=6$，已知$k＞0$，因此$k=6$，
则该函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}}$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础考题，核心考查k的几何意义的应用，只要牢记矩形面积和|k|的对应关系，结合k的取值范围就能快速求解，是反比例函数部分必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
