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1. 下列各式中，是一元一次不等式的是（）
A.$x^2＞0$
B.$2x-1$
C.$2y＜8$
D.$\frac{1}{x}-3x＞0$
A.$x^2＞0$
B.$2x-1$
C.$2y＜8$
D.$\frac{1}{x}-3x＞0$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次不等式的判定标准，按照标准逐一核对每个选项即可。判定一元一次不等式需要同时满足4个条件：1.含有不等号（＞、＜、≥、≤、≠），属于不等式；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数是1；4.未知数不在分母位置，且系数不为0。按照这几个条件逐个排查选项就能得出答案。
【解析】
根据一元一次不等式的判定条件逐一判断：
A选项：$x^2＞0$中未知数$x$的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次不等式；
B选项：$2x-1$是代数式，没有不等号，不属于不等式，直接排除；
C选项：$2y＜8$含有不等号＜，只含1个未知数$y$，$y$的次数是1，分母不含未知数，符合所有判定条件，是一元一次不等式；
D选项：$\frac{1}{x}-3x＞0$中$x$出现在分母位置，不符合要求，不是一元一次不等式。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记一元一次不等式的判定要点，排查选项时注意不要漏看“必须是不等式”“未知数不能在分母”这些易忽略的条件即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确一元一次不等式的判定标准，按照标准逐一核对每个选项即可。判定一元一次不等式需要同时满足4个条件：1.含有不等号（＞、＜、≥、≤、≠），属于不等式；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数是1；4.未知数不在分母位置，且系数不为0。按照这几个条件逐个排查选项就能得出答案。
【解析】
根据一元一次不等式的判定条件逐一判断：
A选项：$x^2＞0$中未知数$x$的最高次数是2，不符合“未知数次数为1”的要求，不是一元一次不等式；
B选项：$2x-1$是代数式，没有不等号，不属于不等式，直接排除；
C选项：$2y＜8$含有不等号＜，只含1个未知数$y$，$y$的次数是1，分母不含未知数，符合所有判定条件，是一元一次不等式；
D选项：$\frac{1}{x}-3x＞0$中$x$出现在分母位置，不符合要求，不是一元一次不等式。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是牢记一元一次不等式的判定要点，排查选项时注意不要漏看“必须是不等式”“未知数不能在分母”这些易忽略的条件即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 下列不是方程$2x+3y=13$的解的是()
A.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=-1, \\ y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-4, \\ y=6 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=8, \\ y=-1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=-1, \\ y=5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-4, \\ y=6 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=8, \\ y=-1 \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
要判断一组数是不是二元一次方程的解，只需将这组x、y的值代入方程的左边计算，若计算结果等于方程右边的数值，就是该方程的解，反之则不是。本题要求选出不是方程解的选项，我们只需依次将四个选项的x、y代入$2x+3y$计算，对比结果是否等于13即可。
【解析】
我们逐个代入验证：
选项A：把$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$代入$2x+3y$，得$2×2+3×3=4+9=13$，等于右边，是方程的解，不符合题意；
选项B：把$\begin{cases} x=-1, \\ y=5 \end{cases}$代入$2x+3y$，得$2×(-1)+3×5=-2+15=13$，等于右边，是方程的解，不符合题意；
选项C：把$\begin{cases} x=-4, \\ y=6 \end{cases}$代入$2x+3y$，得$2×(-4)+3×6=-8+18=10$，不等于13，不是方程的解，符合题意；
选项D：把$\begin{cases} x=8, \\ y=-1 \end{cases}$代入$2x+3y$，得$2×8+3×(-1)=16-3=13$，等于右边，是方程的解，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解的定义、代入法验证方程的解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程解的判定方法，熟练掌握代入验证的思路即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要判断一组数是不是二元一次方程的解，只需将这组x、y的值代入方程的左边计算，若计算结果等于方程右边的数值，就是该方程的解，反之则不是。本题要求选出不是方程解的选项，我们只需依次将四个选项的x、y代入$2x+3y$计算，对比结果是否等于13即可。
【解析】
我们逐个代入验证：
选项A：把$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$代入$2x+3y$，得$2×2+3×3=4+9=13$，等于右边，是方程的解，不符合题意；
选项B：把$\begin{cases} x=-1, \\ y=5 \end{cases}$代入$2x+3y$，得$2×(-1)+3×5=-2+15=13$，等于右边，是方程的解，不符合题意；
选项C：把$\begin{cases} x=-4, \\ y=6 \end{cases}$代入$2x+3y$，得$2×(-4)+3×6=-8+18=10$，不等于13，不是方程的解，符合题意；
选项D：把$\begin{cases} x=8, \\ y=-1 \end{cases}$代入$2x+3y$，得$2×8+3×(-1)=16-3=13$，等于右边，是方程的解，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解的定义、代入法验证方程的解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程解的判定方法，熟练掌握代入验证的思路即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
3.已知$a,b$都是实数,且$a＜b$,则下列不等式中成立的是()
A.$a-2＞b-2$
B.$-a+2＜-b+2$
C.$6a＜6b$
D.$\frac{a}{2}＞\frac{b}{2}$
A.$a-2＞b-2$
B.$-a+2＜-b+2$
C.$6a＜6b$
D.$\frac{a}{2}＞\frac{b}{2}$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查不等式基本性质的应用，解题时先回忆不等式的三条核心性质：1. 不等式两边加/减同一个数（或式子），不等号方向不变；2. 不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。再结合已知条件$a＜b$，逐一对应性质判断每个选项是否正确即可。
【解析】
已知$a＜b$，逐个分析选项：
A选项：不等式两边同时减2，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$a-2＜b-2$，因此A错误；
B选项：先给$a＜b$两边同时乘$-1$，根据不等式性质3，不等号方向改变，得$-a＞-b$，再给两边同时加2，根据不等式性质1，不等号方向不变，得$-a+2＞-b+2$，因此B错误；
C选项：不等式两边同时乘正数6，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$6a＜6b$，因此C正确；
D选项：不等式两边同时除以正数2，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$\frac{a}{2}＜\frac{b}{2}$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对不等式基本性质的掌握程度，解题的易错点是容易忽略不等式两边乘除负数时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.9
这道题考查不等式基本性质的应用，解题时先回忆不等式的三条核心性质：1. 不等式两边加/减同一个数（或式子），不等号方向不变；2. 不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；3. 不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。再结合已知条件$a＜b$，逐一对应性质判断每个选项是否正确即可。
【解析】
已知$a＜b$，逐个分析选项：
A选项：不等式两边同时减2，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$a-2＜b-2$，因此A错误；
B选项：先给$a＜b$两边同时乘$-1$，根据不等式性质3，不等号方向改变，得$-a＞-b$，再给两边同时加2，根据不等式性质1，不等号方向不变，得$-a+2＞-b+2$，因此B错误；
C选项：不等式两边同时乘正数6，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$6a＜6b$，因此C正确；
D选项：不等式两边同时除以正数2，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$\frac{a}{2}＜\frac{b}{2}$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对不等式基本性质的掌握程度，解题的易错点是容易忽略不等式两边乘除负数时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.9
4. 已知$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax+by=5, \\ bx-ay=1\end{cases}$的解，则$(a+b)(a-b)$的值是( )
A.$5$
B.$-5$
C.$25$
D.$-25$
A.$5$
B.$-5$
C.$25$
D.$-25$
答案
A
解析
【分析】
解题的关键是利用二元一次方程组解的定义，把已知的x、y的值代入原方程组，得到关于a、b的方程组。既可以解出a、b的值后代入所求代数式计算，也可以观察所求式子的结构，采用整体代入的方法直接计算，简化步骤。
【解析】
首先将$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax+by=5, \\ bx-ay=1\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}a - b = 5 \quad ① \\ a + b = 1 \quad ② \end{cases}$
观察所求代数式为$(a+b)(a-b)$，直接将①、②的结果整体代入计算：
$(a+b)(a-b)=1×5=5$
（若采用求解参数的方法：①+②得$2a=6$，解得$a=3$，将$a=3$代入②得$3+b=1$，解得$b=-2$，代入得$(3-2)×(3+2)=5$，结果一致。）
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过常规的解方程组求出参数再计算，也可以利用整体代入法简化计算过程，熟练掌握方程组解的定义是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题的关键是利用二元一次方程组解的定义，把已知的x、y的值代入原方程组，得到关于a、b的方程组。既可以解出a、b的值后代入所求代数式计算，也可以观察所求式子的结构，采用整体代入的方法直接计算，简化步骤。
【解析】
首先将$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax+by=5, \\ bx-ay=1\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}a - b = 5 \quad ① \\ a + b = 1 \quad ② \end{cases}$
观察所求代数式为$(a+b)(a-b)$，直接将①、②的结果整体代入计算：
$(a+b)(a-b)=1×5=5$
（若采用求解参数的方法：①+②得$2a=6$，解得$a=3$，将$a=3$代入②得$3+b=1$，解得$b=-2$，代入得$(3-2)×(3+2)=5$，结果一致。）
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过常规的解方程组求出参数再计算，也可以利用整体代入法简化计算过程，熟练掌握方程组解的定义是解题的前提。
【难度系数】
0.8
5. 如果关于y的方程$\frac{a-(1-y)}{3}=y-2$有非负整数解，且关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{x-a}{2}≥2, \\x-4≤3(x-2)\end{cases}$的解集为$x≥1$，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A.-5
B.-8
C.-9
D.-12
A.-5
B.-8
C.-9
D.-12
答案
B
解析
【分析】
解题需分两步进行：①先求解不等式组，根据“同大取大”的解集确定规则，结合已知解集x≥1求出a的取值范围；②再解关于y的一元一次方程，将y用含a的代数式表示，根据方程有非负整数解的限制，进一步筛选出符合条件的整数a，最后计算符合条件的a的和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$\frac{x-a}{2}≥2$，两边同乘2得$x-a≥4$，解得$x≥a+4$；
解不等式$x-4≤3(x-2)$，去括号得$x-4≤3x-6$，移项合并同类项得$-2x≤-2$，系数化为1得$x≥1$。
已知不等式组的解集为$x≥1$，根据“同大取大”的原则，可得$a+4≤1$，解得$a≤-3$。
2. 解关于y的方程$\frac{a-(1-y)}{3}=y-2$：
去分母得$a-1+y=3y-6$，移项合并同类项得$-2y=-a-5$，系数化为1得$y=\frac{a+5}{2}$。
因为方程有非负整数解，所以$y≥0$且$y$为整数，即$\frac{a+5}{2}≥0$，解得$a≥-5$，且$a+5$是2的倍数。
3. 筛选符合条件的整数a：
结合$a≤-3$和$a≥-5$，整数a的可能取值为-5、-4、-3：
当a=-5时，$y=\frac{-5+5}{2}=0$，是非负整数，符合条件；
当a=-4时，$y=\frac{-4+5}{2}=0.5$，不是整数，不符合条件，排除；
当a=-3时，$y=\frac{-3+5}{2}=1$，是非负整数，符合条件。
所以符合条件的整数a为-5、-3，它们的和为$-5+(-3)=-8$。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组；解一元一次方程；整数解筛选
【点评】
本题是方程与不等式的综合题，解题的核心是分别根据不等式组的解集规则和方程非负整数解的限制，逐步缩小a的取值范围，注意不要遗漏“整数解”的约束条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
解题需分两步进行：①先求解不等式组，根据“同大取大”的解集确定规则，结合已知解集x≥1求出a的取值范围；②再解关于y的一元一次方程，将y用含a的代数式表示，根据方程有非负整数解的限制，进一步筛选出符合条件的整数a，最后计算符合条件的a的和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$\frac{x-a}{2}≥2$，两边同乘2得$x-a≥4$，解得$x≥a+4$；
解不等式$x-4≤3(x-2)$，去括号得$x-4≤3x-6$，移项合并同类项得$-2x≤-2$，系数化为1得$x≥1$。
已知不等式组的解集为$x≥1$，根据“同大取大”的原则，可得$a+4≤1$，解得$a≤-3$。
2. 解关于y的方程$\frac{a-(1-y)}{3}=y-2$：
去分母得$a-1+y=3y-6$，移项合并同类项得$-2y=-a-5$，系数化为1得$y=\frac{a+5}{2}$。
因为方程有非负整数解，所以$y≥0$且$y$为整数，即$\frac{a+5}{2}≥0$，解得$a≥-5$，且$a+5$是2的倍数。
3. 筛选符合条件的整数a：
结合$a≤-3$和$a≥-5$，整数a的可能取值为-5、-4、-3：
当a=-5时，$y=\frac{-5+5}{2}=0$，是非负整数，符合条件；
当a=-4时，$y=\frac{-4+5}{2}=0.5$，不是整数，不符合条件，排除；
当a=-3时，$y=\frac{-3+5}{2}=1$，是非负整数，符合条件。
所以符合条件的整数a为-5、-3，它们的和为$-5+(-3)=-8$。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组；解一元一次方程；整数解筛选
【点评】
本题是方程与不等式的综合题，解题的核心是分别根据不等式组的解集规则和方程非负整数解的限制，逐步缩小a的取值范围，注意不要遗漏“整数解”的约束条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
6. 已知$x^{k-2}+1＞0$是关于x的一元一次不等式，则k=.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元一次不等式的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0的整式不等式叫做一元一次不等式。本题中不等式是关于x的一元一次不等式，说明x的次数必须等于1，据此列出关于k的方程求解即可。
【解析】
根据一元一次不等式的定义，未知数x的次数为1，因此可得：
$k - 2 = 1$
移项计算得：
$k = 1 + 2 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元一次不等式定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确把握一元一次不等式中未知数次数为1的要求，牢记相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆一元一次不等式的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0的整式不等式叫做一元一次不等式。本题中不等式是关于x的一元一次不等式，说明x的次数必须等于1，据此列出关于k的方程求解即可。
【解析】
根据一元一次不等式的定义，未知数x的次数为1，因此可得：
$k - 2 = 1$
移项计算得：
$k = 1 + 2 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元一次不等式定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确把握一元一次不等式中未知数次数为1的要求，牢记相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. “x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为.
答案
解：
x与5的差表示为$x-5$，“不小于”对应的不等号为$≥$，x的3倍表示为$3x$，
因此所列不等式为$\boldsymbol{x-5≥ 3x}$。
x与5的差表示为$x-5$，“不小于”对应的不等号为$≥$，x的3倍表示为$3x$，
因此所列不等式为$\boldsymbol{x-5≥ 3x}$。
解析
【分析】
解这道题的核心是将文字语言转化为数学符号语言，按三步思考即可：第一步先确定“x与5的差”的代数式，差是前者减后者，即x-5；第二步明确不等关键词“不小于”的含义，“不小于”就是不会更小，对应大于或等于，符号为≥；第三步写出“x的3倍”的代数式3x，最后按题目逻辑组合三部分即可得到不等式。
【解析】
1. 表示“x与5的差”：差为被减数减减数，可写为$x - 5$；
2. 理解“不小于”的含义：“不小于”指大于或者等于，对应的不等号为$≥$；
3. 表示“x的3倍”：可写为$3x$；
4. 按题目表述组合各部分，得到不等式：$x - 5 ≥ 3x$。
【答案】
$\boldsymbol{x - 5 ≥ 3x}$
【知识点】
列不等式；不等号的含义
【点评】
本题是不等式相关的基础题型，主要考查文字描述转数学符号的能力，重点是准确掌握“不小于”“不大于”这类常见不等关系关键词对应的符号，属于不等式章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解这道题的核心是将文字语言转化为数学符号语言，按三步思考即可：第一步先确定“x与5的差”的代数式，差是前者减后者，即x-5；第二步明确不等关键词“不小于”的含义，“不小于”就是不会更小，对应大于或等于，符号为≥；第三步写出“x的3倍”的代数式3x，最后按题目逻辑组合三部分即可得到不等式。
【解析】
1. 表示“x与5的差”：差为被减数减减数，可写为$x - 5$；
2. 理解“不小于”的含义：“不小于”指大于或者等于，对应的不等号为$≥$；
3. 表示“x的3倍”：可写为$3x$；
4. 按题目表述组合各部分，得到不等式：$x - 5 ≥ 3x$。
【答案】
$\boldsymbol{x - 5 ≥ 3x}$
【知识点】
列不等式；不等号的含义
【点评】
本题是不等式相关的基础题型，主要考查文字描述转数学符号的能力，重点是准确掌握“不小于”“不大于”这类常见不等关系关键词对应的符号，属于不等式章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
8. 关于x的一元一次不等式组$\begin{cases}-x+2＜0, \\2x-7＜0\end{cases}$的整数解为 ______ 。
答案
解：
解不等式$-x+2＜0$，得$x＞2$，
解不等式$2x-7＜0$，得$x＜3.5$，
所以该不等式组的解集为$2＜x＜3.5$，
因此该不等式组的整数解为$3$。
解不等式$-x+2＜0$，得$x＞2$，
解不等式$2x-7＜0$，得$x＜3.5$，
所以该不等式组的解集为$2＜x＜3.5$，
因此该不等式组的整数解为$3$。
解析
【分析】
要求解该一元一次不等式组的整数解，可按三步思考：第一步分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步找到两个解集的公共部分，即为不等式组的总解集；第三步在总解集范围内筛选出整数，就是要求的结果。
【解析】
解：
解不等式$-x+2＜0$，移项得$-x＜-2$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得$x＞2$。
解不等式$2x-7＜0$，移项得$2x＜7$，两边同时除以2，解得$x＜3.5$。
根据不等式组解集的确定规则，可得该不等式组的解集为$2＜x＜3.5$。
在$2＜x＜3.5$的范围内，仅存在整数3，因此该不等式组的整数解为3。
【答案】
$3$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组解集确定，整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础题型，重点考查一元一次不等式的求解步骤、不等式组公共解集的判断方法，以及整数解的筛选，解题时需注意当不等式两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向要改变，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
要求解该一元一次不等式组的整数解，可按三步思考：第一步分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步找到两个解集的公共部分，即为不等式组的总解集；第三步在总解集范围内筛选出整数，就是要求的结果。
【解析】
解：
解不等式$-x+2＜0$，移项得$-x＜-2$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得$x＞2$。
解不等式$2x-7＜0$，移项得$2x＜7$，两边同时除以2，解得$x＜3.5$。
根据不等式组解集的确定规则，可得该不等式组的解集为$2＜x＜3.5$。
在$2＜x＜3.5$的范围内，仅存在整数3，因此该不等式组的整数解为3。
【答案】
$3$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组解集确定，整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础题型，重点考查一元一次不等式的求解步骤、不等式组公共解集的判断方法，以及整数解的筛选，解题时需注意当不等式两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向要改变，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
9. 对于有理数a,b,我们定义新运算:a@b=ax+by,其中x,y是常数,若1@2=1,(-3)@3=6,则2@(-5)的值是.
答案
$\boldsymbol{-7}$
解析
【分析】
首先理解新运算“@”的定义规则，$a@b$的结果等于$a$乘$x$加$b$乘$y$，其中$x、y$是待求常数。我们先把已知的两个运算结果代入新运算的表达式，得到关于$x、y$的二元一次方程组，解方程组求出$x、y$的值后，再把$2@(-5)$代入新运算表达式计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算定义$a@b=ax+by$，将已知条件代入：
1. 代入$1@2=1$，可得：$1× x + 2× y = 1$，即$x + 2y = 1$ ①
2. 代入$(-3)@3=6$，可得：$-3x + 3y = 6$，两边同时除以3化简得：$-x + y = 2$ ②
将①和②相加消去$x$：
$(x + 2y) + (-x + y) = 1 + 2$
计算得：$3y = 3$，解得$y=1$
把$y=1$代入②式：$-x + 1 = 2$，解得$x=-1$
再计算$2@(-5)$，代入$a@b=ax+by$得：
$2@(-5) = 2×(-1) + (-5)×1 = -2 -5 = -7$
【答案】
$\boldsymbol{-7}$
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是将陌生的新定义运算转化为熟悉的方程问题求解，重点考查二元一次方程组的解法，计算过程难度较低，只要准确理解新运算规则、细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
首先理解新运算“@”的定义规则，$a@b$的结果等于$a$乘$x$加$b$乘$y$，其中$x、y$是待求常数。我们先把已知的两个运算结果代入新运算的表达式，得到关于$x、y$的二元一次方程组，解方程组求出$x、y$的值后，再把$2@(-5)$代入新运算表达式计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算定义$a@b=ax+by$，将已知条件代入：
1. 代入$1@2=1$，可得：$1× x + 2× y = 1$，即$x + 2y = 1$ ①
2. 代入$(-3)@3=6$，可得：$-3x + 3y = 6$，两边同时除以3化简得：$-x + y = 2$ ②
将①和②相加消去$x$：
$(x + 2y) + (-x + y) = 1 + 2$
计算得：$3y = 3$，解得$y=1$
把$y=1$代入②式：$-x + 1 = 2$，解得$x=-1$
再计算$2@(-5)$，代入$a@b=ax+by$得：
$2@(-5) = 2×(-1) + (-5)×1 = -2 -5 = -7$
【答案】
$\boldsymbol{-7}$
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是将陌生的新定义运算转化为熟悉的方程问题求解，重点考查二元一次方程组的解法，计算过程难度较低，只要准确理解新运算规则、细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
10. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=78,\\cx-6y=-21\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2.7,\\y=6.1,\end{cases}$则另一个关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a(x+2)+b(y-3)=78,\\c(x+2)-6(y-3)=-21\end{cases}$的解是 ______ .
答案
$\begin{cases}x=0.7 \\ y=9.1\end{cases}$
解析
【分析】
观察两个方程组的结构可以发现，除了未知数部分，其余的系数和常数项完全相同，因此可以运用整体代换的思想，将第二个方程组中的$x+2$和$y-3$分别看作第一个方程组中的$x$和$y$。已知第一个方程组的解，因此可直接得到关于新未知数$x、y$的两个一元一次方程，求解即可得到第二个方程组的解。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}ax+by=78\\cx-6y=-21\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2.7\\y=6.1\end{cases}$
对比第二个方程组$\begin{cases}a(x+2)+b(y-3)=78\\c(x+2)-6(y-3)=-21\end{cases}$，将$x+2$、$y-3$当作整体，可得：
$\begin{cases}x+2=2.7\\y-3=6.1\end{cases}$
分别解两个一元一次方程：
$x=2.7-2=0.7$
$y=6.1+3=9.1$
因此第二个方程组的解为$\begin{cases}x=0.7\\y=9.1\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=0.7 \\ y=9.1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；整体代入思想
【点评】
本题解题的关键是观察两个方程组的结构特征，灵活运用整体代换思想，避免了重复解方程组的繁琐运算，能有效提升解题效率，同时考查了对二元一次方程组解的概念的理解。
【难度系数】
0.7
观察两个方程组的结构可以发现，除了未知数部分，其余的系数和常数项完全相同，因此可以运用整体代换的思想，将第二个方程组中的$x+2$和$y-3$分别看作第一个方程组中的$x$和$y$。已知第一个方程组的解，因此可直接得到关于新未知数$x、y$的两个一元一次方程，求解即可得到第二个方程组的解。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}ax+by=78\\cx-6y=-21\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2.7\\y=6.1\end{cases}$
对比第二个方程组$\begin{cases}a(x+2)+b(y-3)=78\\c(x+2)-6(y-3)=-21\end{cases}$，将$x+2$、$y-3$当作整体，可得：
$\begin{cases}x+2=2.7\\y-3=6.1\end{cases}$
分别解两个一元一次方程：
$x=2.7-2=0.7$
$y=6.1+3=9.1$
因此第二个方程组的解为$\begin{cases}x=0.7\\y=9.1\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=0.7 \\ y=9.1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解；整体代入思想
【点评】
本题解题的关键是观察两个方程组的结构特征，灵活运用整体代换思想，避免了重复解方程组的繁琐运算，能有效提升解题效率，同时考查了对二元一次方程组解的概念的理解。
【难度系数】
0.7
11. 解方程组：
(1) $\begin{cases}2x + 4y = 5, \\x = 1 - y;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{x + 2}{3}, \\2x - 3y = 1.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + 4y = 5, \\x = 1 - y;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{x + 2}{3}, \\2x - 3y = 1.\end{cases}$
答案
解：
(1) $\begin{cases}2x + 4y = 5 \quad \textcircled{1} \\x = 1 - y \quad \textcircled{2}\end{cases}$
把②代入①，得：
$2(1-y) + 4y = 5$
去括号得：$2 - 2y + 4y = 5$
合并同类项得：$2 + 2y = 5$
移项得：$2y = 3$
解得：$y = \frac{3}{2}$
把$y=\frac{3}{2}$代入②，得：
$x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2} \\\\y=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{x + 2}{3} \quad \textcircled{1} \\\\2x - 3y = 1 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
将方程①两边同乘12去分母，整理得：
$4x - 3y = -5 \quad \textcircled{3}$
③ - ②，得：
$2x = -6$
解得：$x=-3$
把$x=-3$代入②，得：
$2×(-3) - 3y = 1$
解得：$y=-\frac{7}{3}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-3 \\\\y=-\dfrac{7}{3}\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + 4y = 5 \quad \textcircled{1} \\x = 1 - y \quad \textcircled{2}\end{cases}$
把②代入①，得：
$2(1-y) + 4y = 5$
去括号得：$2 - 2y + 4y = 5$
合并同类项得：$2 + 2y = 5$
移项得：$2y = 3$
解得：$y = \frac{3}{2}$
把$y=\frac{3}{2}$代入②，得：
$x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2} \\\\y=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{x + 2}{3} \quad \textcircled{1} \\\\2x - 3y = 1 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
将方程①两边同乘12去分母，整理得：
$4x - 3y = -5 \quad \textcircled{3}$
③ - ②，得：
$2x = -6$
解得：$x=-3$
把$x=-3$代入②，得：
$2×(-3) - 3y = 1$
解得：$y=-\frac{7}{3}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-3 \\\\y=-\dfrac{7}{3}\end{cases}$
解析
【分析】
这是两道二元一次方程组求解的题目，核心思路是消元，将二元转化为一元求解。第(1)题已经给出x用y表示的式子，优先选用代入消元法，把第二个方程代入第一个方程消去x，先求出y的值，再回代求x即可。第(2)题第一个方程含有分母，首先去分母将其整理为标准二元一次整式方程，观察整理后的方程和第二个方程中y的系数相同，可采用加减消元法消去y，先求出x的值，再回代求y，计算时注意去分母、移项的符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x + 4y = 5 \quad \textcircled{1} \\x = 1 - y \quad \textcircled{2}\end{cases}$
把②代入①，得：
$2(1-y) + 4y = 5$
去括号得：$2 - 2y + 4y = 5$
合并同类项得：$2 + 2y = 5$
移项得：$2y = 3$
解得：$y = \frac{3}{2}$
把$y=\frac{3}{2}$代入②，得：
$x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2} \\\\y=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
(2) 记方程组为$\begin{cases}\dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{x + 2}{3} \quad \textcircled{1} \\\\2x - 3y = 1 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
将方程①两边同乘12去分母，整理得：
$4x - 3y = -5 \quad \textcircled{3}$
③ - ②，得：
$2x = -6$
解得：$x=-3$
把$x=-3$代入②，得：
$2×(-3) - 3y = 1$
解得：$y=-\frac{7}{3}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-3 \\\\y=-\dfrac{7}{3}\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2} \\\\y=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=-3 \\\\y=-\dfrac{7}{3}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础解法，解题时可根据方程组的特点灵活选择消元方法，遇到含分母的方程先去分母化为整式方程，计算过程中要注意去括号、移项的符号规则，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
这是两道二元一次方程组求解的题目，核心思路是消元，将二元转化为一元求解。第(1)题已经给出x用y表示的式子，优先选用代入消元法，把第二个方程代入第一个方程消去x，先求出y的值，再回代求x即可。第(2)题第一个方程含有分母，首先去分母将其整理为标准二元一次整式方程，观察整理后的方程和第二个方程中y的系数相同，可采用加减消元法消去y，先求出x的值，再回代求y，计算时注意去分母、移项的符号变化，避免出错。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x + 4y = 5 \quad \textcircled{1} \\x = 1 - y \quad \textcircled{2}\end{cases}$
把②代入①，得：
$2(1-y) + 4y = 5$
去括号得：$2 - 2y + 4y = 5$
合并同类项得：$2 + 2y = 5$
移项得：$2y = 3$
解得：$y = \frac{3}{2}$
把$y=\frac{3}{2}$代入②，得：
$x = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2} \\\\y=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
(2) 记方程组为$\begin{cases}\dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{x + 2}{3} \quad \textcircled{1} \\\\2x - 3y = 1 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
将方程①两边同乘12去分母，整理得：
$4x - 3y = -5 \quad \textcircled{3}$
③ - ②，得：
$2x = -6$
解得：$x=-3$
把$x=-3$代入②，得：
$2×(-3) - 3y = 1$
解得：$y=-\frac{7}{3}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-3 \\\\y=-\dfrac{7}{3}\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-\dfrac{1}{2} \\\\y=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=-3 \\\\y=-\dfrac{7}{3}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础解法，解题时可根据方程组的特点灵活选择消元方法，遇到含分母的方程先去分母化为整式方程，计算过程中要注意去括号、移项的符号规则，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
