12. 已知$x,y$为实数，且$y=\sqrt{x^2 -9}-\sqrt{9 -x^2}+4$，则$x-y=$。

解：
由二次根式有意义的条件可得：
$\begin{cases}x^2 - 9 ≥ 0 \\9 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
因此$x^2=9$，解得$x=\pm3$。
将$x^2=9$代入$y=\sqrt{x^2 -9}-\sqrt{9 -x^2}+4$，得$y=0-0+4=4$。
当$x=3$时，$x-y=3-4=-1$；
当$x=-3$时，$x-y=-3-4=-7$。
综上，$x-y=-1$或$-7$。

【分析】
要计算x-y的值，需先求出x和y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数，因此可列出关于x的不等式组，求出x的取值后代入原式得到y的值，最后分情况计算x-y即可，注意x的取值有两个，不要漏解。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}x^2 - 9 ≥ 0 \\9 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
由不等式可知，$x^2$既要大于等于9，又要小于等于9，因此$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$。
将$x^2=9$代入$y=\sqrt{x^2 -9}-\sqrt{9 -x^2}+4$，得$y=\sqrt{0}-\sqrt{0}+4=4$。
分两种情况计算：
当$x=3$时，$x-y=3-4=-1$；
当$x=-3$时，$x-y=-3-4=-7$。
【答案】
-1或-7
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根运算
【点评】
本题重点考查二次根式的性质，解题的关键是根据被开方数非负的限制求出x的取值，做题时要注意平方等于9的数有两个，避免漏解导致结果不完整。
【难度系数】
0.6

13. 求下列各式中$x$的值.
(1)$(x+2)^3 +1=0$；
(2)$9(3x-2)^2=64$.

解：
(1) 移项，得
$(x+2)^3 = -1$
根据立方根的定义，得
$x+2 = -1$
解得
$x = -3$
(2) 两边同时除以9，得
$(3x-2)^2 = \frac{64}{9}$
根据平方根的定义，得
$3x-2 = \pm \frac{8}{3}$
当$3x-2 = \frac{8}{3}$时，
$3x = \frac{14}{3}$，解得$x = \frac{14}{9}$；
当$3x-2 = -\frac{8}{3}$时，
$3x = -\frac{2}{3}$，解得$x = -\frac{2}{9}$。
综上，$x$的值为$-3$，或$x=\frac{14}{9}$、$x=-\frac{2}{9}$。

【分析】
这两道是利用开方运算解含未知数的方程的题型。第(1)题是含立方的方程，解题时先移项将立方项单独放在等号一侧，再根据立方根的定义开立方，转化为一元一次方程求解即可；第(2)题是含平方的方程，先将平方项的系数化为1，再根据平方根的定义开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，要分两种情况转化为一元一次方程分别求解，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得
$(x+2)^3 = -1$
根据立方根的定义，得
$x+2 = -1$
解得
$x = -3$
(2) 两边同时除以9，得
$(3x-2)^2 = \frac{64}{9}$
根据平方根的定义，得
$3x-2 = \pm \frac{8}{3}$
当$3x-2 = \frac{8}{3}$时，
$3x = \frac{14}{3}$，解得$x = \frac{14}{9}$；
当$3x-2 = -\frac{8}{3}$时，
$3x = -\frac{2}{3}$，解得$x = -\frac{2}{9}$。
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$x=\frac{14}{9}$或$x=-\frac{2}{9}$
【知识点】
立方根的定义、平方根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题考查利用平方根、立方根的性质解方程，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，而任意实数的立方根唯一，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.75

14. 已知$M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根.试求：
(1)$M$和$N$的值；
(2)$M+N$的平方根.

解：
(1) 因为$M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2，
所以$m-4=2$，
解得$m=6$。
因为$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3，
所以$2m-4n+3=3$，
将$m=6$代入得：$2×6 - 4n + 3 = 3$，
解得$n=3$。
所以$M=\sqrt{m+3}=\sqrt{6+3}=3$，
$N=\sqrt[3]{n-2}=\sqrt[3]{3-2}=1$。
(2) 由(1)得$M+N=3+1=4$，
所以$M+N$的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$。

【分析】
解题时首先明确不同根式的根指数特征：算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3。我们先根据这两个特征分别列出关于m、n的方程，解出m、n的取值后代入根式即可求出M和N的值；第二问先计算M+N的和，再根据平方根的定义求解，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 因为$M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2，
所以$m-4=2$，
解得$m=6$。
因为$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3，
所以$2m-4n+3=3$，
将$m=6$代入得：$2×6 - 4n + 3 = 3$，
解得$n=3$。
所以$M=\sqrt{m+3}=\sqrt{6+3}=3$，
$N=\sqrt[3]{n-2}=\sqrt[3]{3-2}=1$。
(2) 由(1)得$M+N=3+1=4$，
所以$M+N$的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$。
【答案】
(1)$M=3$，$N=1$；(2)$\pm2$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题重点考查根式的基础定义，解题关键是根据算术平方根、立方根的根指数特征建立方程求解未知参数，计算平方根时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8

15. 如图,已知$∠ 1=∠ BDC,∠ 2+∠ 3=180°$.
(1)AD与EC平行吗?请说明理由.
(2)若DA平分$∠ BDC,DA ⊥ FA$于点A,$∠ 1=75°$,求$∠ FAB$的度数.

解：(1) $AD// EC$，理由如下：
$\because ∠ 1=∠ BDC$，
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ 2=∠ ADC$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ 2+∠ 3=180°$，
$\therefore ∠ ADC+∠ 3=180°$，
$\therefore AD// EC$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because ∠ 1=∠ BDC$，$∠ 1=75°$，
$\therefore ∠ BDC=75°$。
$\because DA$平分$∠ BDC$，
$\therefore ∠ ADC=\frac{1}{2}∠ BDC=37.5°$。
由(1)知$AB// CD$，
$\therefore ∠ 2=∠ ADC=37.5°$。
$\because DA⊥ FA$，
$\therefore ∠ FAD=90°$，即$∠ FAB+∠ 2=90°$，
$\therefore ∠ FAB=90°-37.5°=52.5°$。
答：$∠ FAB$的度数为$52.5°$。

【分析】
(1)要判断AD与EC是否平行，可通过寻找两条直线被截后形成的同位角、内错角关系或同旁内角互补关系推导：首先由已知∠1=∠BDC可先推出AB//CD，得到∠2与∠ADC的等量关系，再结合∠2+∠3=180°等量代换得到∠ADC与∠3互补，即可判断AD与EC的位置关系。
(2)求∠FAB的度数，先由∠1的度数和∠1=∠BDC得到∠BDC的度数，再利用角平分线的定义求出∠ADC的度数，结合AB//CD的性质得到∠2的度数，最后根据DA⊥FA得到∠FAD=90°，用90°减去∠2的度数即可求出∠FAB。
【解析】
(1) $AD// EC$，理由如下：
$\because ∠1=∠BDC$，
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠2=∠ADC$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠2+∠3=180°$，
$\therefore ∠ADC+∠3=180°$，
$\therefore AD// EC$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because ∠1=∠BDC$，$∠1=75°$，
$\therefore ∠BDC=75°$。
$\because DA$平分$∠BDC$，
$\therefore ∠ADC=\frac{1}{2}∠BDC=37.5°$。
由(1)知$AB// CD$，
$\therefore ∠2=∠ADC=37.5°$。
$\because DA⊥FA$，
$\therefore ∠FAD=90°$，即$∠FAB+∠2=90°$，
$\therefore ∠FAB=90°-37.5°=52.5°$。
【答案】
(1)$AD// EC$，理由见解析；(2)$∠FAB$的度数为$52.5°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于平行线相关的基础综合题，核心是理清角之间的位置关系和数量关系，结合平行线的判定、性质及角平分线、垂直的性质逐步推导即可求解，能很好地锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

16. 阅读材料：若点$M,N$在数轴上分别表示实数$m,n$，那么$M,N$之间的距离可表示为$|m-n|$. 例如$|3-1|$表示$3,1$在数轴上对应的两点之间的距离；同样$|5+3|=|5-(-3)|$表示$5,-3$在数轴上对应的两点之间的距离.
根据以上信息，回答下列问题.
(1)已知$A,B,C$为数轴上不同的三点，点$A$对应的数为$\sqrt{2}$，点$C$对应的数为1.
①若点$B$对应的数为$-2$，则$B,C$两点之间的距离为；
②若点$A$到点$B$的距离与点$A$到点$C$的距离相等，则点$B$对应的数是.
(2)对于$|x-3|+|x+4|$这个代数式.
①它的最小值为；
②若$|x-3|+|x+4|+|y-1|+|y+2|=10$，则$x+y$的最大值为.

(1) $\boldsymbol{①\ 3}$；$\boldsymbol{②\ 2\sqrt{2}-1}$
(2) $\boldsymbol{①\ 7}$；$\boldsymbol{②\ 4}$

【分析】
解题核心是利用题干给出的数轴两点距离公式：数轴上两点对应的实数为m、n时，两点距离为|m-n|，结合绝对值的几何意义逐步求解：
1. (1)①直接代入距离公式计算B、C两点距离即可；
2. (1)②设点B对应的数为x，根据两点距离相等列绝对值方程，结合三点不同排除不符合的解；
3. (2)①将|x-3|、|x+4|分别转化为x到3、x到-4的距离，当x在两个点之间时距离和最小，直接计算两点间距即可得最小值；
4. (2)②先分别求出含x、含y的绝对值和的最小值，发现两者相加刚好等于10，说明x、y都在对应最值的取值范围内，取x、y的最大值相加即可得到x+y的最大值。
【解析】
(1)①根据数轴两点距离公式，B对应数为-2，C对应数为1，所以B、C两点距离为：
$|1 - (-2)| = |3| = 3$
②设点B对应的数为$x$，由题意得点A到B、A到C的距离相等，即：
$|x - \sqrt{2}| = |\sqrt{2} - 1|$
因为A、B、C是不同的三点，所以$x ≠ 1$，去掉绝对值符号可得$x - \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$，解得：
$x = 2\sqrt{2} - 1$
(2)①$|x-3|$表示数轴上x对应的点到3的距离，$|x+4|=|x - (-4)|$表示x对应的点到-4的距离；当x对应的点在-4和3之间（含端点）时，两个距离的和最小，最小值为3和-4两点的距离：
$|3 - (-4)| = 7$
②同理，$|y-1|+|y+2|$表示y对应的点到1和-2的距离和，最小值为$|1 - (-2)|=3$，因此$|x-3|+|x+4|+|y-1|+|y+2|$的最小值为$7+3=10$。
题目中等式结果为10，说明刚好取最小值，此时x的取值范围是$-4≤ x≤3$，y的取值范围是$-2≤ y≤1$，要使$x+y$最大，取x的最大值3、y的最大值1，可得$x+y$最大值为$3+1=4$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{3}$；②$\boldsymbol{2\sqrt{2}-1}$
(2) ①$\boldsymbol{7}$；②$\boldsymbol{4}$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值的几何意义，代数式最值
【点评】
本题将数轴距离和绝对值结合考查，核心是理解绝对值的几何意义，借助数形结合的思想能快速简化求解过程，尤其是最值类问题，明确取值范围是解题关键，属于数轴与绝对值结合的经典题型。
【难度系数】
0.65