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10. 学科融合 新趋势（合肥期末）单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究.并撰写实验报告如下.
实验主题：探究摆球运动过程中高度的变化
实验工具：摆球,摆线,支架,摄像机等
实验说明：如图①,在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球,将摆球拉高后松手,摆球开始往复运动.(摆线的长度变化忽略不计)
如图②,摆球静止时的位置为点A,拉紧摆线将摆球拉图点B处,BD⊥OA于点D,∠AOB=64°,BD=18.9 cm；当摆球运动至点C时,∠AOC=37°,CE⊥OA于点E(点O,A,B,C,D,E在同一平面内)
实验图示：
解决问题:根据以上信息,求AE的长.(结果精确到1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)
实验主题：探究摆球运动过程中高度的变化
实验工具：摆球,摆线,支架,摄像机等
实验说明：如图①,在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球,将摆球拉高后松手,摆球开始往复运动.(摆线的长度变化忽略不计)
如图②,摆球静止时的位置为点A,拉紧摆线将摆球拉图点B处,BD⊥OA于点D,∠AOB=64°,BD=18.9 cm；当摆球运动至点C时,∠AOC=37°,CE⊥OA于点E(点O,A,B,C,D,E在同一平面内)
实验图示：
解决问题:根据以上信息,求AE的长.(结果精确到1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)
答案
10. 解:
∵BD⊥OA,CE⊥OA,
∴∠BDO=∠CEO=90°. 在 Rt△BDO 中,∠AOB=64°,BD=18.9 cm,
∴OB=$\frac{BD}{\sin ∠AOB}$≈$\frac{18.9}{0.9}$=21(cm). 由题意,得 OB=OC=OA=21 cm. 在 Rt△OCE 中,∠AOC=37°,
∴OE=OC·cos ∠AOC≈21×0.8=16.8(cm).
∴AE=OA-OE=21-16.8≈4(cm). 答:AE 的长约为 4 cm.
∵BD⊥OA,CE⊥OA,
∴∠BDO=∠CEO=90°. 在 Rt△BDO 中,∠AOB=64°,BD=18.9 cm,
∴OB=$\frac{BD}{\sin ∠AOB}$≈$\frac{18.9}{0.9}$=21(cm). 由题意,得 OB=OC=OA=21 cm. 在 Rt△OCE 中,∠AOC=37°,
∴OE=OC·cos ∠AOC≈21×0.8=16.8(cm).
∴AE=OA-OE=21-16.8≈4(cm). 答:AE 的长约为 4 cm.
解析
【分析】
本题是结合单摆实验的解直角三角形应用题，解题思路如下：1. 首先明确摆线长度不变，即OB=OC=OA，这是题目隐含的相等关系；2. 观察可得△BDO和△CEO都是直角三角形，先在Rt△BDO中，已知∠BOD=64°和对边BD的长度，利用正弦函数（sinθ=对边/斜边）即可求出斜边OB的长度，也就是摆长；3. 得到摆长后，在Rt△CEO中，已知∠COE=37°和斜边OC的长度，利用余弦函数（cosθ=邻边/斜边）求出OE的长度；4. 最后用OA的长度减去OE的长度，即可得到AE的长度，按要求取近似值即可。
【解析】
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠BDO=∠CEO=90°。
在Rt△BDO中，∠AOB=64°，BD=18.9 cm，
∴$OB=\frac{BD}{\sin∠AOB}≈\frac{18.9}{0.9}=21(\mathrm{cm})$。
由题意知摆线长度不变，故OB=OC=OA=21 cm。
在Rt△OCE中，∠AOC=37°，
∴$OE=OC·\cos∠AOC≈21×0.8=16.8(\mathrm{cm})$。
∴$AE=OA-OE=21-16.8≈4(\mathrm{cm})$。
答：AE的长约为4 cm。
【答案】
AE的长约为4 cm
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，三角函数实际应用
【点评】
本题结合物理单摆实验情境命题，属于跨学科融合题型，考查将实际问题转化为数学几何问题的能力，解题核心是抓住摆长不变的隐含条件，正确选用锐角三角函数求解对应边长，贴近生活实际，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题是结合单摆实验的解直角三角形应用题，解题思路如下：1. 首先明确摆线长度不变，即OB=OC=OA，这是题目隐含的相等关系；2. 观察可得△BDO和△CEO都是直角三角形，先在Rt△BDO中，已知∠BOD=64°和对边BD的长度，利用正弦函数（sinθ=对边/斜边）即可求出斜边OB的长度，也就是摆长；3. 得到摆长后，在Rt△CEO中，已知∠COE=37°和斜边OC的长度，利用余弦函数（cosθ=邻边/斜边）求出OE的长度；4. 最后用OA的长度减去OE的长度，即可得到AE的长度，按要求取近似值即可。
【解析】
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠BDO=∠CEO=90°。
在Rt△BDO中，∠AOB=64°，BD=18.9 cm，
∴$OB=\frac{BD}{\sin∠AOB}≈\frac{18.9}{0.9}=21(\mathrm{cm})$。
由题意知摆线长度不变，故OB=OC=OA=21 cm。
在Rt△OCE中，∠AOC=37°，
∴$OE=OC·\cos∠AOC≈21×0.8=16.8(\mathrm{cm})$。
∴$AE=OA-OE=21-16.8≈4(\mathrm{cm})$。
答：AE的长约为4 cm。
【答案】
AE的长约为4 cm
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，三角函数实际应用
【点评】
本题结合物理单摆实验情境命题，属于跨学科融合题型，考查将实际问题转化为数学几何问题的能力，解题核心是抓住摆长不变的隐含条件，正确选用锐角三角函数求解对应边长，贴近生活实际，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
11. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献. 为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,矩形PQMN充电站的平面示意图如图所示,矩形ABCD是其中一个停车位. 经测量,$∠ABQ=60°,AB=5.4\ \mathrm{m},CE=1.6\ \mathrm{m},GH⊥CD,GH$是另一个停车位的宽,所有停车位的长宽都相同,按图示并列划定. 根据以上信息解答下列问题.(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{3}≈1.73$)
(1)求PQ的长;
(2)若该充电站有20个停车位,求PN的长.
(1)求PQ的长;
(2)若该充电站有20个停车位,求PN的长.
答案
11. 解:(1)
∵四边形 PQMN 是矩形,
∴∠Q=∠P=90°. 在 Rt△ABQ 中,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,
∴AQ=AB·sin ∠ABQ=$\frac{27\sqrt{3}}{10}$ m,∠QAB=30°.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°.
∴∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°. 在 Rt△BCE 中,BC=$\frac{CE}{\tan ∠CBE}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m.
∴AD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m. 在 Rt△APD 中,
∵∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD=60°,
∴AP=AD·cos ∠PAD=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$ m.
∴PQ=AP+AQ=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$≈6.1(m). (2)在 Rt△BCE 中,BE=$\frac{CE}{\sin ∠CBE}$=3.2 m. 在 Rt△ABQ 中,BQ=AB·cos ∠ABQ=2.7 m.
∵该充电站有 20 个停车位,
∴QM=BQ+20BE=66.7 m.
∵四边形 PQMN 是矩形,
∴PN=QM=66.7 m.
∵四边形 PQMN 是矩形,
∴∠Q=∠P=90°. 在 Rt△ABQ 中,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,
∴AQ=AB·sin ∠ABQ=$\frac{27\sqrt{3}}{10}$ m,∠QAB=30°.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°.
∴∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°. 在 Rt△BCE 中,BC=$\frac{CE}{\tan ∠CBE}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m.
∴AD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m. 在 Rt△APD 中,
∵∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD=60°,
∴AP=AD·cos ∠PAD=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$ m.
∴PQ=AP+AQ=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$≈6.1(m). (2)在 Rt△BCE 中,BE=$\frac{CE}{\sin ∠CBE}$=3.2 m. 在 Rt△ABQ 中,BQ=AB·cos ∠ABQ=2.7 m.
∵该充电站有 20 个停车位,
∴QM=BQ+20BE=66.7 m.
∵四边形 PQMN 是矩形,
∴PN=QM=66.7 m.
解析
【分析】
(1)求PQ的长时，可将PQ拆分为AP与AQ两段分别计算：①先在Rt△ABQ中，利用已知的AB边长和∠ABQ的度数，通过正弦函数求出AQ；②再根据矩形性质得到AD=BC，先推导∠CBE=30°，在Rt△BCE中利用已知的CE边长，通过正切函数求出BC，即得到AD的长度；③接着推导∠PAD=60°，在Rt△APD中通过余弦函数求出AP；④最后将AP与AQ相加即可得到PQ的长。
(2)求PN的长时，利用矩形对边相等的性质可知PN=QM，QM可拆分为BQ与20个BE长度的和：①分别在Rt△BCE中通过正弦函数求BE，在Rt△ABQ中通过余弦函数求BQ；②将BQ与20倍的BE相加得到QM，即为PN的长度。
【解析】
(1)
∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q=∠P=90°。
在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4 m，
∴AQ=AB·sin∠ABQ=5.4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{10}$ m，∠QAB=90°-60°=30°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=180°-60°-90°=30°。
在Rt△BCE中，CE=1.6 m，∠CBE=30°，
∴BC=$\frac{CE}{\tan∠CBE}$=$\frac{1.6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m，即AD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m。
在Rt△APD中，∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD=180°-30°-90°=60°，
∴AP=AD·cos∠PAD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$ m。
∴PQ=AP+AQ=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$+$\frac{27\sqrt{3}}{10}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$≈$\frac{7×1.73}{2}$≈6.1(m)。
(2)在Rt△BCE中，BE=$\frac{CE}{\sin∠CBE}$=$\frac{1.6}{\frac{1}{2}}$=3.2 m，
在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=5.4×cos60°=5.4×$\frac{1}{2}$=2.7 m。
∵该充电站有20个停车位，
∴QM=BQ+20×BE=2.7+20×3.2=66.7(m)。
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN=QM=66.7 m。
【答案】
(1)PQ的长约为6.1 m；
(2)PN的长约为66.7 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际生活中的充电站规划场景命题，将实际问题转化为解直角三角形问题是解题的核心，需要学生准确识别图形中的直角三角形，梳理边角关系，熟练运用锐角三角函数计算边长，能有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1)求PQ的长时，可将PQ拆分为AP与AQ两段分别计算：①先在Rt△ABQ中，利用已知的AB边长和∠ABQ的度数，通过正弦函数求出AQ；②再根据矩形性质得到AD=BC，先推导∠CBE=30°，在Rt△BCE中利用已知的CE边长，通过正切函数求出BC，即得到AD的长度；③接着推导∠PAD=60°，在Rt△APD中通过余弦函数求出AP；④最后将AP与AQ相加即可得到PQ的长。
(2)求PN的长时，利用矩形对边相等的性质可知PN=QM，QM可拆分为BQ与20个BE长度的和：①分别在Rt△BCE中通过正弦函数求BE，在Rt△ABQ中通过余弦函数求BQ；②将BQ与20倍的BE相加得到QM，即为PN的长度。
【解析】
(1)
∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q=∠P=90°。
在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4 m，
∴AQ=AB·sin∠ABQ=5.4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{10}$ m，∠QAB=90°-60°=30°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=180°-60°-90°=30°。
在Rt△BCE中，CE=1.6 m，∠CBE=30°，
∴BC=$\frac{CE}{\tan∠CBE}$=$\frac{1.6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m，即AD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$ m。
在Rt△APD中，∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD=180°-30°-90°=60°，
∴AP=AD·cos∠PAD=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$ m。
∴PQ=AP+AQ=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$+$\frac{27\sqrt{3}}{10}$=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$≈$\frac{7×1.73}{2}$≈6.1(m)。
(2)在Rt△BCE中，BE=$\frac{CE}{\sin∠CBE}$=$\frac{1.6}{\frac{1}{2}}$=3.2 m，
在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=5.4×cos60°=5.4×$\frac{1}{2}$=2.7 m。
∵该充电站有20个停车位，
∴QM=BQ+20×BE=2.7+20×3.2=66.7(m)。
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN=QM=66.7 m。
【答案】
(1)PQ的长约为6.1 m；
(2)PN的长约为66.7 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题结合实际生活中的充电站规划场景命题，将实际问题转化为解直角三角形问题是解题的核心，需要学生准确识别图形中的直角三角形，梳理边角关系，熟练运用锐角三角函数计算边长，能有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
