1. [2024 济南中考] 如图，已知$△ ABC ≌ △ DEC$，$∠ A = 60°$，$∠ B = 40°$，则$∠ DCE$的度数为（）


A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$

1 C $\because ∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°, \therefore ∠ ACB = 180° - 60° - 40° = 80°. \because △ ABC ≌ △ DEC, \therefore ∠ DCE = ∠ ACB = 80°$.

【分析】
要求∠DCE的度数，首先观察已知条件，题目给出△ABC≌△DEC，根据全等三角形对应角相等的性质，可知∠DCE和△ABC中的∠ACB是对应角，因此只需要先求出∠ACB的度数即可。已知△ABC中∠A和∠B的度数，利用三角形内角和为180°的定理，就能计算出∠ACB的度数，进而得到∠DCE的数值。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 40° = 80°$
$\because △ ABC ≌ △ DEC$，根据全等三角形对应角相等的性质
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACB = 80°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是准确找到全等三角形的对应角，结合三角形内角和定理即可快速求解，对全等性质的基础应用考查较为直接。
【难度系数】
0.8

2. [2025青海中考]工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,即CM=CN,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,这种做法的依据是 ()


A.AAS
B.SAS
C.SSS
D.ASA

2 C 在 $△ OMC$ 和 $△ ONC$ 中,$\begin{cases} OM = ON, \\ OC = OC, \\ CM = CN, \end{cases} \therefore △ OMC ≌ △ ONC(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ COM = ∠ CON$,即射线 OC 是 $∠ AOB$ 的平分线.

【分析】
要证明射线OC是∠AOB的平分线，本质是证明∠COM=∠CON，这两个角分别在△OMC和△ONC中，因此可通过证明两个三角形全等推导对应角相等。首先从题目的操作步骤中提取相等的边：第一步取OM=ON，第二步调整角尺得到CM=CN，同时两个三角形有公共边OC=OC，三组对应边都相等，即可用SSS判定三角形全等，进而得到对应角相等，最终确定判定依据。
【解析】
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases} OM = ON（题中操作所得）, \\ OC = OC（公共边）, \\ CM = CN（题中操作所得）, \end{cases}$
$\therefore △ OMC ≌ △ ONC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠COM = ∠CON$（全等三角形对应角相等），
即射线OC是$∠ AOB$的平分线，因此做法依据为SSS，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题结合生活中平分角的实际操作，考查全等三角形判定定理的应用，需要学生从操作步骤中提炼出几何相等关系，是将几何知识应用到实际场景的典型基础题。
【难度系数】
0.85

3. [2023济宁中考]如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若$∠ CFB=α$,则$∠ ABE$等于 ()


A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$

3 C 如图,易知 $GE = BC = 1, BG = DB = 4, ∠ BGE = ∠ DBC = ∠ DBG = 90°, \therefore △ BGE ≌ △ DBC(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ CDB = ∠ EBG. \because ∠ CFB = ∠ ABD + ∠ CDB = α, \therefore ∠ ABE = ∠ ABD + ∠ EBG + ∠ DBG = ∠ ABD + ∠ CDB + ∠ DBG = 90° + α$.

【分析】
要求∠ABE的度数，已知∠CFB=α，需建立两个角的联系：第一步借助正方形网格边长相等的特征，寻找对应边、对应角相等的三角形，通过证明全等实现角的转化；第二步利用三角形外角的性质，将已知角α拆分为两个内角的和；第三步把所求∠ABE拆分为几个角的和，代入转化后的关系式即可得出结果。
【解析】
如图，根据正方形网格的特征可得：$GE = BC = 1$，$BG = DB = 4$，$∠ BGE = ∠ DBC = ∠ DBG = 90°$。
在$△ BGE$和$△ DBC$中：
$\begin{cases}BG = DB \\∠ BGE = ∠ DBC \\GE = BC\end{cases}$
$\therefore △ BGE ≌ △ DBC(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ CDB = ∠ EBG$。
根据三角形外角的性质，$∠ CFB$是$△ DFB$的外角，因此$∠ CFB = ∠ ABD + ∠ CDB = α$。
观察角的和差关系：$∠ ABE = ∠ ABD + ∠ EBG + ∠ DBG$，将$∠ EBG = ∠ CDB$、$∠ DBG=90°$代入得：
$∠ ABE = ∠ ABD + ∠ CDB + 90° = α + 90° = 90° + α$。
【答案】
C

【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形外角的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题结合正方形网格考查几何基础知识的应用，解题核心是通过网格构造全等三角形完成角的转化，再结合外角性质和角的和差关系建立已知角与所求角的联系，这类题型能较好地考查学生的识图能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.7

4. [2024 安徽中考] 在凸五边形 $ABCDE$ 中，$AB = AE$，$BC = DE$，$F$ 是 $CD$ 的中点。下列条件中，不能推出 $AF$ 与 $CD$ 一定垂直的是（）

A.$∠ ABC = ∠ AED$
B.$∠ BAF = ∠ EAF$
C.$∠ BCF = ∠ EDF$
D.$∠ ABD = ∠ AEC$

4 D 对于选项 A,连接 AC,AD,如图 1. $\because AB = AE, ∠ ABC = ∠ AED, BC = DE, \therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS}), \therefore AC = AD$. 又$\because F$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore CF = DF$. 又$\because AF = AF, \therefore △ AFC ≌ △ AFD(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ AFC = ∠ AFD$,易证$∠ AFC = ∠ AFD = 90°, \therefore AF ⊥ CD$. 对于选项 B,连接 BF,EF,如图 2. $\because AB = AE, ∠ BAF = ∠ EAF, AF = AF, \therefore △ ABF ≌ △ AEF(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ AFB = ∠ AFE, BF = EF$. 又$\because BC = DE, CF = DF, \therefore △ BFC ≌ △ EFD(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ BFC = ∠ EFD, \therefore ∠ BFC + ∠ AFB = ∠ EFD + ∠ AFE$,即 $∠ AFC = ∠ AFD = 90°, \therefore AF ⊥ CD$. 对于选项 C,如图 2,由 $∠ BCF = ∠ EDF$ 易证$△ BFC ≌ △ EFD(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ BFC = ∠ EFD, BF = EF$. 又$\because AB = AE, AF = AF, \therefore △ ABF ≌ △ AEF(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ AFB = ∠ AFE, \therefore ∠ BFC + ∠ AFB = ∠ EFD + ∠ AFE$,即 $∠ AFC = ∠ AFD = 90°, \therefore AF ⊥ CD$. 选项 D 的条件无法证出全等, $\therefore$ 证不出 $AF ⊥ CD$.

【分析】
要判断哪个条件无法推出AF⊥CD，解题思路如下：已知AB=AE，BC=DE，F是CD中点，我们可通过添加辅助线构造全等三角形，若能证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”即可得AF⊥CD；也可证明∠AFC=∠AFD=90°，进而得到垂直关系，接下来逐一分析各选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A
连接AC、AD，如图1。
已知$AB = AE$，$∠ABC = ∠AED$，$BC = DE$，根据SAS判定可得$△ ABC ≌ △ AED$，由全等三角形的性质得$AC = AD$，即$△ ACD$是等腰三角形。
又因为F是CD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AF ⊥ CD$，故A不符合题意。
选项B
连接BF、EF，如图2。
已知$AB = AE$，$∠BAF = ∠EAF$，$AF = AF$，根据SAS判定可得$△ ABF ≌ △ AEF$，由全等性质得$BF = EF$，$∠AFB = ∠AFE$。
又已知$BC = DE$，F是CD中点故$CF = DF$，根据SSS判定可得$△ BFC ≌ △ EFD$，得$∠BFC = ∠EFD$。
因此$∠BFC + ∠AFB = ∠EFD + ∠AFE$，即$∠AFC = ∠AFD$，又因为$∠AFC + ∠AFD = 180°$，所以$∠AFC = ∠AFD = 90°$，即$AF ⊥ CD$，故B不符合题意。
选项C
连接BF、EF，如图2。
已知$BC = DE$，F是CD中点故$CF = DF$，又$∠BCF = ∠EDF$，根据SAS判定可得$△ BFC ≌ △ EFD$，由全等性质得$BF = EF$，$∠BFC = ∠EFD$。
又已知$AB = AE$，$AF = AF$，根据SSS判定可得$△ ABF ≌ △ AEF$，得$∠AFB = ∠AFE$。
因此$∠BFC + ∠AFB = ∠EFD + ∠AFE$，即$∠AFC = ∠AFD$，同理可得$∠AFC = ∠AFD = 90°$，即$AF ⊥ CD$，故C不符合题意。
选项D
给出的$∠ABD = ∠AEC$，无法通过已知条件构造全等三角形得到$AC=AD$或者$∠AFC=∠AFD$，因此无法推出$AF ⊥ CD$，故D符合题意。
【答案】
D


【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；线段中点的性质
【点评】
本题是几何综合类选择题，核心考查全等三角形、等腰三角形性质的应用，解题时需结合选项条件合理添加辅助线构造全等三角形，逐一验证即可，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活运用等腰三角形三线合一的性质。
【难度系数】
0.6

5. [2023重庆中考A卷]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点D为BC上一点,连接AD.过点B作$BE⊥ AD$于点E,过点C作$CF⊥ AD$交AD的延长线于点F.若$BE=4$,$CF=1$,则EF的长度为.

5 3 $\because BE ⊥ AD, CF ⊥ AD, \therefore ∠ BEA = ∠ AFC = 90°, \therefore ∠ BAE + ∠ ABE = 90°. \because ∠ BAC = 90°, \therefore ∠ BAE + ∠ FAC = 90°, \therefore ∠ FAC = ∠ ABE$. 又 $AB = AC, \therefore △ ABE ≌ △ CAF$(全等模型——一线三直角), $\therefore AF = BE = 4, AE = CF = 1, \therefore EF = AF - AE = 4 - 1 = 3$.

【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，可得∠BEA与∠AFC均为直角；再结合∠BAC=90°，利用同角的余角相等推出∠ABE=∠CAF，结合AB=AC的条件，可证明△ABE≌△CAF，得到对应边AF=BE、AE=CF，最后根据线段的和差关系即可求出EF的长度。
【解析】
∵ BE⊥AD，CF⊥AD，
∴ ∠BEA=∠AFC=90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠BAE + ∠ABE = 90°。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAE + ∠FAC = 90°，
∴ ∠FAC=∠ABE（同角的余角相等）。
在△ABE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠BEA=∠AFC \\∠ABE=∠CAF \\AB=AC\end{array} $
∴ △ABE≌△CAF（AAS），
∴ AF=BE=4，AE=CF=1，
∴ EF=AF - AE = 4 - 1 = 3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质；余角的性质；垂直的性质
【点评】
本题考查“一线三直角”全等模型的应用，通过角的互余关系推导相等的角是证明全等的关键，解题时熟练运用全等三角形对应边相等的性质即可快速求出线段长度，属于几何常考基础题型。
【难度系数】
0.7

6. 新趋势·条件开放 [2024 淄博中考] 如图，已知AB = CD，点E，F在线段BD上，且AF = CE。请从①BF = DE；②∠BAF = ∠DCE；③AF = CF中选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE。你添加的条件是（只填写一个序号）。添加条件后，请证明AE//CF。

6 解:①或②
当选择①时,证明如下:
在$△ ABF$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB = CD, \\ AF = CE, \\ BF = DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ B = ∠ D, BF = DE$,
$\therefore BF + EF = DE + EF$,即 $BE = DF$.
在$△ ABE$ 和$△ CDF$ 中,$\begin{cases} AB = CD, \\ ∠ B = ∠ D, \\ BE = DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ AEB = ∠ CFD, \therefore AE // CF$.
当选择②时,证明如下:
在$△ ABF$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB = CD, \\ ∠ BAF = ∠ DCE, \\ AF = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ B = ∠ D, BF = DE$.
同理,可证$△ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ AEB = ∠ CFD, \therefore AE // CF$.
当选择③时,不能判定$△ ABF ≌ △ CDE$.

【分析】
要解决这道题，首先需结合已知条件，依据全等三角形的判定定理筛选合适的添加条件：已知△ABF和△CDE中已有AB=CD、AF=CE两组边相等，若添加①BF=DE，可通过SSS判定两三角形全等；若添加②∠BAF=∠DCE，可通过SAS判定两三角形全等；添加③AF=CF无法得到判定全等的必要条件，因此可选①或②。接下来要证明AE//CF，需证内错角∠AEB=∠CFD，可先通过△ABF≌△CDE得到∠B=∠D、BF=DE，进一步推出BE=DF，再证△ABE≌△CDF得到对应角相等，即可根据平行线判定定理得到结论。
【解析】
以下选择添加条件①为例证明（选择②同理）：
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}AB = CD, \\AF = CE, \\BF = DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠B = ∠D$，
由$BF=DE$，可得$BF + EF = DE + EF$，即 $BE = DF$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AB = CD, \\∠B = ∠D, \\BE = DF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠AEB = ∠CFD$，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AE // CF$。
若选择添加条件②：
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}AB = CD, \\∠BAF = ∠DCE, \\AF = CE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CDE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠B = ∠D$，$BF=DE$，同理可得$BE=DF$，后续证明同上述步骤，即可证得$AE // CF$。
注：添加条件③无法判定$△ ABF ≌ △ CDE$，不符合要求。
【答案】
①（或②）
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题为条件开放类题型，需要结合已知条件和全等判定定理筛选合适的添加条件，解题过程中要灵活运用全等三角形的性质转化边和角的关系，进而证明两直线平行，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7