【问题情境】
学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）.该测量小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A,B之间的距离（如图1）.
【方案设计】
同学们想出了如下的两种方案.
方案①:如图2,先在平地上取一个可直接到达A,B的点 C,再连接 AC,BC,并分别延长 AC 至点 D,BC 至点 E,使 DC = AC,EC = BC,最后量出 DE 的长度就是 AB 的长度.
方案②:如图3,过点 B 作 AB 的垂线 BF,在 BF 上取 C,D 两点,使 BC = CD,接着过点 D 作 BD 的垂线 DE,在垂线上选一点 E,使 A,C,E 三点在一条直线上,则测出 DE 的长即是 AB 的长.
【问题解决】
(1)方案①是否可行?请说明理由.
(2)方案②是否可行?请说明理由.
(3)假设池塘南面(即点 D,E 附近区域)没有足够空地(或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况),而点 B 的右侧区域有足够空地并可用于测量,请你设计一个可行的测量方案(在图1中画出图形),并说明理由.

解:(1)方案①可行. 理由如下:
在$△ ABC$ 和$△ DEC$ 中,$\begin{cases} AC = DC, \\ ∠ ACB = ∠ DCE, \\ CB = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC(\mathrm{SAS}), \therefore DE = AB$.
(2)方案②可行. 理由如下:
$\because AB ⊥ BD, ED ⊥ BD, \therefore ∠ ABC = ∠ EDC = 90°$.
在$△ ABC$ 和$△ EDC$ 中,$\begin{cases} ∠ ACB = ∠ ECD, \\ CB = CD, \\ ∠ ABC = ∠ EDC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA}), \therefore DE = AB$.
(3)答案不唯一,合理即可.
方案:如图,过点 B 作 $BD ⊥ AB$,再由点 D 观测,在 AB 的延长线上取一点 C,使 $∠ BDC = ∠ BDA$. 这时只要测出 BC 的长即为 A,B 之间的距离.

理由如下:$\because BD ⊥ AB, \therefore ∠ ABD = ∠ CBD = 90°$.
在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,$\begin{cases} ∠ ABD = ∠ CBD, \\ BD = BD, \\ ∠ BDA = ∠ BDC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CBD(\mathrm{ASA}), \therefore AB = BC$.

【分析】
本题考查全等三角形在实际测量中的应用，解题核心是构造全等三角形，将无法直接测量的AB的长度转化为可直接测量的线段长度。(1)(2)问只需根据已知条件，结合全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应边相等即可判断方案是否可行；(3)问需要结合题目给出的场地限制，在B点右侧构造全等三角形，合理利用全等判定定理设计方案即可。
【解析】
(1) 方案①可行：
已知$DC=AC$，$EC=BC$，$∠ ACB$和$∠ DCE$是对顶角，因此$∠ ACB=∠ DCE$，根据SAS全等判定定理可得$△ ABC≌△ DEC$，由全等三角形对应边相等得$DE=AB$，因此测量DE的长度即可得到AB的长度。
(2) 方案②可行：
已知$AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，因此$∠ ABC=∠ EDC=90°$，又有$BC=CD$，$∠ ACB$和$∠ ECD$是对顶角相等，根据ASA全等判定定理可得$△ ABC≌△ EDC$，由全等三角形对应边相等得$DE=AB$，因此测量DE的长度即可得到AB的长度。
(3) 按要求设计方案：过点B作$BD⊥ AB$，观测调整AB延长线上的点C，使得$∠ BDC=∠ BDA$，测量BC的长度即为AB的长度。理由：$BD⊥ AB$可得$∠ ABD=∠ CBD=90°$，BD为公共边，且$∠ BDA=∠ BDC$，根据ASA全等判定定理可得$△ ABD≌△ CBD$，因此$AB=BC$。
【答案】
解:(1)方案①可行. 理由如下:
在$△ ABC$ 和$△ DEC$ 中,$\begin{cases} AC = DC, \\ ∠ ACB = ∠ DCE, \\ CB = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC(\mathrm{SAS}), \therefore DE = AB$.
(2)方案②可行. 理由如下:
$\because AB ⊥ BD, ED ⊥ BD, \therefore ∠ ABC = ∠ EDC = 90°$.
在$△ ABC$ 和$△ EDC$ 中,$\begin{cases} ∠ ACB = ∠ ECD, \\ CB = CD, \\ ∠ ABC = ∠ EDC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{ASA}), \therefore DE = AB$.
(3)答案不唯一,合理即可.
方案:如图,过点 B 作 $BD ⊥ AB$,再由点 D 观测,在 AB 的延长线上取一点 C,使 $∠ BDC = ∠ BDA$. 这时只要测出 BC 的长即为 A,B 之间的距离.

理由如下:$\because BD ⊥ AB, \therefore ∠ ABD = ∠ CBD = 90°$.
在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,$\begin{cases} ∠ ABD = ∠ CBD, \\ BD = BD, \\ ∠ BDA = ∠ BDC, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CBD(\mathrm{ASA}), \therefore AB = BC$.
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；全等三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景，考查全等三角形在生活中的应用，要求学生灵活运用全等三角形的判定定理，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，有助于提升学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7