如图,线段 BE,CD 相交于点 M,BD 与 CE 的延长线相交于点 A,且 AB = AC.

【基础设问】
(1)若$△ ABE ≌ △ ACD$,$AB = 5$,$AE = 2$,则 BD 的长为.
(2)若$△ ABE ≌ △ ACD$,$∠ A = 60°$,$∠ BDC = 85°$,则$∠ B$的度数为.
(3)若$∠ B = ∠ C$. 求证:①$BD = CE$;②$DM = EM$.
(4)若$AD = AE$,$∠ A = 60°$,$∠ C = 25°$,求$∠ BMD$的度数.
【能力设问】
(5)若$CM = MB$. 求证:$∠ B = ∠ C$.
(6)若$∠ BAC = 90°$,且$CD = BE$. 求证:$CM = BM$.
(7)若$∠ BAC$是钝角,且$CD = BE$. 求证:$∠ ADC = ∠ AEB$.

(1)3 $\because △ ABE ≌ △ ACD, \therefore AD = AE = 2, \therefore BD = AB - AD = 5 - 2 = 3$.
(2)$25°$ $\because △ ABE ≌ △ ACD, \therefore ∠ B = ∠ C$. 易知$∠ C = ∠ BDC - ∠ A = 25°, \therefore ∠ B = 25°$.
(3)证明:①在$△ ABE$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} ∠ B = ∠ C, \\ AB = AC, \\ ∠ A = ∠ A, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{ASA}), \therefore AD = AE$,
$\therefore AB - AD = AC - AE$,即 $BD = CE$.
②由①知 $BD = CE$.
在$△ BDM$ 和$△ CEM$ 中,$\begin{cases} ∠ B = ∠ C, \\ ∠ BMD = ∠ CME, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDM ≌ △ CEM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DM = EM$.
(4)解:在$△ ADC$ 和$△ AEB$ 中,$\begin{cases} AC = AB, \\ ∠ A = ∠ A, \\ AD = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ AEB(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ B = ∠ C = 25°$,
$\therefore ∠ BEC = ∠ A + ∠ B = 85°$,
$\therefore ∠ BMD = ∠ CME = 180° - ∠ C - ∠ BEC = 70°$.

(5)证明:如图,连接 AM.
在$△ BAM$ 和$△ CAM$ 中,$\begin{cases} AB = AC, \\ AM = AM, \\ BM = CM, \end{cases}$
$\therefore △ BAM ≌ △ CAM(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ B = ∠ C$.
(6)证明:在$\mathrm{Rt}△ BAE$ 和$\mathrm{Rt}△ CAD$ 中,$\begin{cases} BE = CD, \\ AB = AC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BAE ≌ \mathrm{Rt}△ CAD(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ B = ∠ C, AE = AD, \therefore BD = CE$.
在$△ BDM$ 和$△ CEM$ 中,$\begin{cases} ∠ B = ∠ C, \\ ∠ BMD = ∠ CME, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDM ≌ △ CEM(\mathrm{AAS}), \therefore CM = BM$.
(7)证明:过 B,C 两点分别作 CA,BA 的垂线,垂足分别为点 F,G,则$∠ AFB = ∠ AGC = 90°$.
在$△ ABF$ 和$△ ACG$ 中,$\begin{cases} ∠ AFB = ∠ AGC, \\ ∠ FAB = ∠ GAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ACG(\mathrm{AAS}), \therefore BF = CG$.
在$\mathrm{Rt}△ BEF$ 和$\mathrm{Rt}△ CDG$ 中,$\begin{cases} BE = CD, \\ BF = CG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BEF ≌ \mathrm{Rt}△ CDG(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ ADC = ∠ AEB$.

【分析】
本题围绕共角的△ABE和△ACD的边角关系、全等关系分层设问，解题核心是灵活运用三角形全等的判定定理和性质，结合三角形内角和、外角性质求解或证明：
1. 基础设问部分：(1)利用全等三角形对应边相等求AD，再通过线段差计算BD；(2)利用全等对应角相等，结合三角形外角性质求角度；(3)先通过ASA证明△ABE≌△ACD得到AD=AE，推导BD=CE，再通过AAS证明△BDM≌△CEM得到DM=EM；(4)先通过SAS证明△ADC≌△AEB得到∠B的度数，再结合外角性质和内角和求∠BMD。
2. 能力设问部分：(5)作辅助线连接AM，通过SSS证明△BAM≌△CAM推导∠B=∠C；(6)先利用HL证明Rt△BAE≌Rt△CAD，再证△BDM≌△CEM得到CM=BM；(7)作垂线构造直角三角形，先证△ABF≌△ACG得到BF=CG，再用HL证Rt△BEF≌Rt△CDG得到对应角相等。
【解析】
(1) $\because △ ABE ≌ △ ACD, \therefore AD = AE = 2$，又$AB = 5$，$\therefore BD = AB - AD = 5 - 2 = 3$。
(2) $\because △ ABE ≌ △ ACD, \therefore ∠ B = ∠ C$。$\because ∠ BDC$是$△ ADC$的外角，$\therefore ∠ BDC = ∠ A + ∠ C$，代入$∠ A=60°,∠ BDC=85°$，得$∠ C=85°-60°=25°$，$\therefore ∠ B=25°$。
(3) 证明：①在$△ ABE$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases} ∠ B = ∠ C, \\ AB = AC, \\ ∠ A = ∠ A, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{ASA}), \therefore AD = AE$,
$\because AB=AC$，$\therefore AB - AD = AC - AE$，即 $BD = CE$。
②在$△ BDM$ 和$△ CEM$ 中,
$\begin{cases} ∠ B = ∠ C, \\ ∠ BMD = ∠ CME, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDM ≌ △ CEM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DM = EM$。
(4) 解：在$△ ADC$ 和$△ AEB$ 中,
$\begin{cases} AC = AB, \\ ∠ A = ∠ A, \\ AD = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ AEB(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ B = ∠ C = 25°$,
$\because ∠ BEC$是$△ ABE$的外角，$\therefore ∠ BEC = ∠ A + ∠ B = 60°+25°=85°$,
在$△ CEM$中，$∠ CME = 180° - ∠ C - ∠ BEC = 180°-25°-85°=70°$，
$\because ∠ BMD = ∠ CME$（对顶角相等），$\therefore ∠ BMD=70°$。
(5) 证明：如图，连接AM。

在$△ BAM$ 和$△ CAM$ 中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ AM = AM, \\ BM = CM, \end{cases}$
$\therefore △ BAM ≌ △ CAM(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ B = ∠ C$。
(6) 证明：$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore △ BAE$和$△ CAD$都是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ BAE$ 和$\mathrm{Rt}△ CAD$ 中,
$\begin{cases} BE = CD, \\ AB = AC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BAE ≌ \mathrm{Rt}△ CAD(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ B = ∠ C, AE = AD, \therefore AB-AD = AC-AE$，即$BD = CE$。
在$△ BDM$ 和$△ CEM$ 中,
$\begin{cases} ∠ B = ∠ C, \\ ∠ BMD = ∠ CME, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDM ≌ △ CEM(\mathrm{AAS}), \therefore CM = BM$。
(7) 证明：过 B,C 两点分别作 CA,BA 的垂线,垂足分别为点 F,G,则$∠ AFB = ∠ AGC = 90°$。
在$△ ABF$ 和$△ ACG$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFB = ∠ AGC, \\ ∠ FAB = ∠ GAC, \\ AB = AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ACG(\mathrm{AAS}), \therefore BF = CG$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$ 和$\mathrm{Rt}△ CDG$ 中,
$\begin{cases} BE = CD, \\ BF = CG, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BEF ≌ \mathrm{Rt}△ CDG(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ ADC = ∠ AEB$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{25°}$
(3) ①证明见解析；②证明见解析
(4) $\boxed{70°}$
(5) 证明见解析，辅助线如下：
(6) 证明见解析
(7) 证明见解析
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 三角形外角性质
3. 直角三角形全等判定
【点评】
本题由浅入深设置分层设问，全面考查三角形全等相关知识的应用，既包含基础的全等性质直接应用，也涉及构造辅助线证明全等的拓展内容，要求学生熟练掌握全等三角形的各类判定方法，能结合已知条件灵活选择解题思路，提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65