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一、填空题
1. 方程组$\begin{cases} x - 2y = 0, \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$的解为________.
2. 方程组$\begin{cases} 3a - \dfrac{1}{2}b = 1, \\ 2a + 3b = 4 \end{cases}$的解为________.
1. 方程组$\begin{cases} x - 2y = 0, \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$的解为________.
2. 方程组$\begin{cases} 3a - \dfrac{1}{2}b = 1, \\ 2a + 3b = 4 \end{cases}$的解为________.
答案
1. $\begin{cases} x=1, \\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
2. $\begin{cases} a=\dfrac{1}{2}, \\ b=1 \end{cases}$
2. $\begin{cases} a=\dfrac{1}{2}, \\ b=1 \end{cases}$
解析
【分析】
这两道题都是二元一次方程组的求解问题，解题核心是消元，即把二元方程转化为已经学过的一元方程求解。第1题第一个方程很容易变形得到x关于y的表达式，适合直接用代入消元法计算；第2题第一个方程含有分数系数，先把它化为整数系数后，再用代入消元法计算即可，计算过程中要注意符号不要出错。
【解析】
1. 给方程组标号：$\begin{cases} x - 2y = 0 \ \ ① \\ 3x + 4y = 5 \ \ ② \end{cases}$
由①变形得：$x = 2y$ ③，把③代入②得：$3×2y +4y = 5$，合并同类项得$10y=5$，解得$y=\frac{1}{2}$。
将$y=\frac{1}{2}$代入③得：$x=2×\frac{1}{2}=1$。
2. 给方程组标号：$\begin{cases} 3a - \dfrac{1}{2}b = 1 \ \ ① \\ 2a + 3b = 4 \ \ ② \end{cases}$
先消去①的分数系数，①两边同乘2得：$6a - b = 2$ ③，由③变形得：$b=6a -2$ ④。
把④代入②得：$2a + 3(6a -2) = 4$，展开合并得$20a=10$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入④得：$b=6×\frac{1}{2} -2 = 1$。
【答案】
1. $\begin{cases} x=1, \\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
2. $\begin{cases} a=\dfrac{1}{2}, \\ b=1 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解，消元思想
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，核心是掌握消元的思路，遇到含分数系数的方程时先化整可降低计算难度，计算过程中要注意运算符号和计算准确性。
【难度系数】
0.8
这两道题都是二元一次方程组的求解问题，解题核心是消元，即把二元方程转化为已经学过的一元方程求解。第1题第一个方程很容易变形得到x关于y的表达式，适合直接用代入消元法计算；第2题第一个方程含有分数系数，先把它化为整数系数后，再用代入消元法计算即可，计算过程中要注意符号不要出错。
【解析】
1. 给方程组标号：$\begin{cases} x - 2y = 0 \ \ ① \\ 3x + 4y = 5 \ \ ② \end{cases}$
由①变形得：$x = 2y$ ③，把③代入②得：$3×2y +4y = 5$，合并同类项得$10y=5$，解得$y=\frac{1}{2}$。
将$y=\frac{1}{2}$代入③得：$x=2×\frac{1}{2}=1$。
2. 给方程组标号：$\begin{cases} 3a - \dfrac{1}{2}b = 1 \ \ ① \\ 2a + 3b = 4 \ \ ② \end{cases}$
先消去①的分数系数，①两边同乘2得：$6a - b = 2$ ③，由③变形得：$b=6a -2$ ④。
把④代入②得：$2a + 3(6a -2) = 4$，展开合并得$20a=10$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将$a=\frac{1}{2}$代入④得：$b=6×\frac{1}{2} -2 = 1$。
【答案】
1. $\begin{cases} x=1, \\ y=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
2. $\begin{cases} a=\dfrac{1}{2}, \\ b=1 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解，消元思想
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，核心是掌握消元的思路，遇到含分数系数的方程时先化整可降低计算难度，计算过程中要注意运算符号和计算准确性。
【难度系数】
0.8
二、解下列方程组
5. $\begin{cases}3x - y = -7, \\2y -5x =7\end{cases}$
6. $\begin{cases}3x -2y =11, \\4x -5y =3\end{cases}$
7. $\begin{cases}a -2b =6, \\\frac{1}{3}a + \frac{1}{3}b =1\end{cases}$
8. $\begin{cases}2x - y =12, \\36 -1.5x =2(36 -1.5y)\end{cases}$
9. $\begin{cases}u +2v =1, \\\frac{u}{5} - \frac{v}{2}=2\end{cases}$
10. $\begin{cases}$
$ \\3(a + b)-b=5\end{cases}$
11. $\begin{cases}\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3}=6, \\4(x + y)-5(x - y)=2\end{cases}$
12. $\begin{cases}\frac{0.3s -1.5t}{0.3} + \frac{3t -2s}{4}=6, \\\frac{s}{2}=24 - \frac{t-1}{3}\end{cases}$
5. $\begin{cases}3x - y = -7, \\2y -5x =7\end{cases}$
6. $\begin{cases}3x -2y =11, \\4x -5y =3\end{cases}$
7. $\begin{cases}a -2b =6, \\\frac{1}{3}a + \frac{1}{3}b =1\end{cases}$
8. $\begin{cases}2x - y =12, \\36 -1.5x =2(36 -1.5y)\end{cases}$
9. $\begin{cases}u +2v =1, \\\frac{u}{5} - \frac{v}{2}=2\end{cases}$
10. $\begin{cases}$
$ \\3(a + b)-b=5\end{cases}$11. $\begin{cases}\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3}=6, \\4(x + y)-5(x - y)=2\end{cases}$
12. $\begin{cases}\frac{0.3s -1.5t}{0.3} + \frac{3t -2s}{4}=6, \\\frac{s}{2}=24 - \frac{t-1}{3}\end{cases}$
答案
5. $\begin{cases} x=-7, \\ y=-14 \end{cases}$
6. $\begin{cases} x=7, \\ y=5 \end{cases}$
7. $\begin{cases} a=4, \\ b=-1 \end{cases}$
8. $\begin{cases} x=16, \\ y=20 \end{cases}$
9. $\begin{cases} u=5, \\ v=-2 \end{cases}$
10. $\begin{cases} a=-1, \\ b=4 \end{cases}$
11. $\begin{cases} x=7, \\ y=1 \end{cases}$
12. $\begin{cases} s=46, \\ t=4 \end{cases}$
6. $\begin{cases} x=7, \\ y=5 \end{cases}$
7. $\begin{cases} a=4, \\ b=-1 \end{cases}$
8. $\begin{cases} x=16, \\ y=20 \end{cases}$
9. $\begin{cases} u=5, \\ v=-2 \end{cases}$
10. $\begin{cases} a=-1, \\ b=4 \end{cases}$
11. $\begin{cases} x=7, \\ y=1 \end{cases}$
12. $\begin{cases} s=46, \\ t=4 \end{cases}$
解析
【分析】
解该方程组首先需要先对两个方程进行化简：第一个方程含分母，先给方程两边同乘分母的最小公倍数6消去分母，再去括号、合并同类项；第二个方程先去括号、合并同类项，将两个方程整理为标准的二元一次方程形式，再用代入消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，最后代回方程求出剩余未知数即可。
【解析】
原方程组为：
$\begin{cases} \dfrac{b+5}{3} - \dfrac{a+7}{6}=2 \quad ① \\ 3(a+b)-b=5 \quad \quad \quad \quad ② \end{cases}$
第一步，化简方程①：
给①两边同时乘6得：$2(b+5)-(a+7)=12$
去括号得：$2b+10-a-7=12$
合并同类项整理得：$a=2b-9 \quad ③$
第二步，化简方程②：
去括号得：$3a+3b-b=5$
合并同类项得：$3a+2b=5 \quad ④$
第三步，代入消元求解：
将③代入④得：$3(2b-9)+2b=5$
展开计算：$6b-27+2b=5$
移项合并得：$8b=32$，解得$b=4$
将$b=4$代入③得：$a=2×4 -9=-1$
【答案】
$\begin{cases} a=-1 \\ b=4 \end{cases}$
【知识点】
1. 解二元一次方程组
2. 等式的性质
3. 代入消元法
【点评】
本题属于基础的二元一次方程组求解类题目，解题的核心是先将含分母、括号的方程化简为标准整式方程，再选择合适的消元方法计算，计算过程中要注意去分母时不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
解该方程组首先需要先对两个方程进行化简：第一个方程含分母，先给方程两边同乘分母的最小公倍数6消去分母，再去括号、合并同类项；第二个方程先去括号、合并同类项，将两个方程整理为标准的二元一次方程形式，再用代入消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，最后代回方程求出剩余未知数即可。
【解析】
原方程组为：
$\begin{cases} \dfrac{b+5}{3} - \dfrac{a+7}{6}=2 \quad ① \\ 3(a+b)-b=5 \quad \quad \quad \quad ② \end{cases}$
第一步，化简方程①：
给①两边同时乘6得：$2(b+5)-(a+7)=12$
去括号得：$2b+10-a-7=12$
合并同类项整理得：$a=2b-9 \quad ③$
第二步，化简方程②：
去括号得：$3a+3b-b=5$
合并同类项得：$3a+2b=5 \quad ④$
第三步，代入消元求解：
将③代入④得：$3(2b-9)+2b=5$
展开计算：$6b-27+2b=5$
移项合并得：$8b=32$，解得$b=4$
将$b=4$代入③得：$a=2×4 -9=-1$
【答案】
$\begin{cases} a=-1 \\ b=4 \end{cases}$
【知识点】
1. 解二元一次方程组
2. 等式的性质
3. 代入消元法
【点评】
本题属于基础的二元一次方程组求解类题目，解题的核心是先将含分母、括号的方程化简为标准整式方程，再选择合适的消元方法计算，计算过程中要注意去分母时不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
