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一、填空题
1. 一个两位数，十位上的数字x的两倍比个位上的数字y大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是
1. 一个两位数，十位上的数字x的两倍比个位上的数字y大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是
47
。答案
1. 47
解析
【分析】
要解决这道数字类应用题，首先明确两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字。接下来从题目中提取两个等量关系：①十位数字的2倍比个位数字大1；②交换个位和十位后的新两位数比原两位数大27。根据两个等量关系列出二元一次方程组，解方程组得到十位、个位数字后，组合即可得到原两位数。
【解析】
解：根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - y = 1&①\\(10y + x) - (10x + y) = 27&②\end{cases}$
化简方程②：
$10y + x - 10x - y = 27$
$9y - 9x = 27$
两边同时除以9得：$y - x = 3$，即$y = x + 3$ ③
把③代入①得：
$2x - (x + 3) = 1$
解得$x = 4$
将$x=4$代入③得：$y = 4 + 3 =7$
所以原两位数为$10x + y = 10×4 +7 =47$
【答案】
47
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.两位数的表示方法
3.代入消元法解方程组
【点评】
本题是基础的方程应用题型，解题核心是正确用数位关系表示两位数，准确提取题干等量关系列方程，熟练掌握消元法解方程组即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道数字类应用题，首先明确两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字。接下来从题目中提取两个等量关系：①十位数字的2倍比个位数字大1；②交换个位和十位后的新两位数比原两位数大27。根据两个等量关系列出二元一次方程组，解方程组得到十位、个位数字后，组合即可得到原两位数。
【解析】
解：根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - y = 1&①\\(10y + x) - (10x + y) = 27&②\end{cases}$
化简方程②：
$10y + x - 10x - y = 27$
$9y - 9x = 27$
两边同时除以9得：$y - x = 3$，即$y = x + 3$ ③
把③代入①得：
$2x - (x + 3) = 1$
解得$x = 4$
将$x=4$代入③得：$y = 4 + 3 =7$
所以原两位数为$10x + y = 10×4 +7 =47$
【答案】
47
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.两位数的表示方法
3.代入消元法解方程组
【点评】
本题是基础的方程应用题型，解题核心是正确用数位关系表示两位数，准确提取题干等量关系列方程，熟练掌握消元法解方程组即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
2. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分。问：绫、绢各价若干？”大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分。则绫、绢每尺的价格各是多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是
6
分。答案
2. 6
解析
【分析】
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：第一步先统一货币单位，将题目中的“钱”换算为“分”；第二步设未知数，分别设每尺绫和每尺绢的价格为未知数；第三步根据题目给出的两个总价条件，找到两个等量关系列出二元一次方程组；第四步用加减消元法解方程组得到未知数的值，最后根据问题要求提取每尺绢的价格即可。
【解析】
首先进行单位换算：
∵1钱=10分，
∴四钱八分=4×10+8=48分，六钱八分=6×10+8=68分。
设每尺绫的价格为x分，每尺绢的价格为y分，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 48&①\\7x + 2y = 68&②\end{cases}$
将②式两边同时乘以2得：$14x + 4y = 136$ ③
用③式减去①式消去y：$(14x+4y)-(3x+4y)=136-48$
化简得：$11x=88$，解得$x=8$
把$x=8$代入①式：$3×8 +4y=48$，即$24+4y=48$，解得$y=6$
即每尺绢的价格为6分。
【答案】
6
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法；单位换算
【点评】
本题结合古代数学典籍的记载出题，既考查了二元一次方程组的实际应用能力，也让学生感受到中国传统数学文化的魅力，解题的核心是准确提炼等量关系列方程组，同时要注意单位统一避免出错。
【难度系数】
0.8
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：第一步先统一货币单位，将题目中的“钱”换算为“分”；第二步设未知数，分别设每尺绫和每尺绢的价格为未知数；第三步根据题目给出的两个总价条件，找到两个等量关系列出二元一次方程组；第四步用加减消元法解方程组得到未知数的值，最后根据问题要求提取每尺绢的价格即可。
【解析】
首先进行单位换算：
∵1钱=10分，
∴四钱八分=4×10+8=48分，六钱八分=6×10+8=68分。
设每尺绫的价格为x分，每尺绢的价格为y分，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 48&①\\7x + 2y = 68&②\end{cases}$
将②式两边同时乘以2得：$14x + 4y = 136$ ③
用③式减去①式消去y：$(14x+4y)-(3x+4y)=136-48$
化简得：$11x=88$，解得$x=8$
把$x=8$代入①式：$3×8 +4y=48$，即$24+4y=48$，解得$y=6$
即每尺绢的价格为6分。
【答案】
6
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法；单位换算
【点评】
本题结合古代数学典籍的记载出题，既考查了二元一次方程组的实际应用能力，也让学生感受到中国传统数学文化的魅力，解题的核心是准确提炼等量关系列方程组，同时要注意单位统一避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 已知某农场用2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，则1台大收割机和1台小收割机同时工作1小时共收割小麦
0.6
公顷.答案
3. 0.6
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：第一步，设未知数，分别设1台大收割机、1台小收割机每小时收割小麦的面积为两个未知数；第二步，找等量关系，根据题目给出的两种不同收割机组合工作的收割总面积，分别列出对应方程，组成二元一次方程组；第三步，解方程组求出两个未知数的值，相加即可得到1台大收割机和1台小收割机同时工作1小时的收割总面积。
【解析】
设1台大收割机每小时收割小麦$x$公顷，1台小收割机每小时收割小麦$y$公顷。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2(2x+5y)=3.6 \\5(3x+2y)=8 \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}4x+10y=3.6 \quad \mathrm{①} \\15x+10y=8 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
用②$-$①消去$y$，得：
$11x=4.4$
解得$x=0.4$
把$x=0.4$代入①，得：
$4×0.4 +10y=3.6$
$1.6+10y=3.6$
解得$y=0.2$
则$x+y=0.4+0.2=0.6$
【答案】
0.6
【知识点】
二元一次方程组的应用，加减消元法解方程组
【点评】
本题属于工程类二元一次方程组基础应用题，解题核心是准确梳理工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，从题干中提取有效等量关系列方程求解，计算量较小，掌握基础解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：第一步，设未知数，分别设1台大收割机、1台小收割机每小时收割小麦的面积为两个未知数；第二步，找等量关系，根据题目给出的两种不同收割机组合工作的收割总面积，分别列出对应方程，组成二元一次方程组；第三步，解方程组求出两个未知数的值，相加即可得到1台大收割机和1台小收割机同时工作1小时的收割总面积。
【解析】
设1台大收割机每小时收割小麦$x$公顷，1台小收割机每小时收割小麦$y$公顷。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2(2x+5y)=3.6 \\5(3x+2y)=8 \end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}4x+10y=3.6 \quad \mathrm{①} \\15x+10y=8 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
用②$-$①消去$y$，得：
$11x=4.4$
解得$x=0.4$
把$x=0.4$代入①，得：
$4×0.4 +10y=3.6$
$1.6+10y=3.6$
解得$y=0.2$
则$x+y=0.4+0.2=0.6$
【答案】
0.6
【知识点】
二元一次方程组的应用，加减消元法解方程组
【点评】
本题属于工程类二元一次方程组基础应用题，解题核心是准确梳理工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，从题干中提取有效等量关系列方程求解，计算量较小，掌握基础解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
4. 甲、乙两人准备自行车进行骑行比赛，相约一同训练. 两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，则乙出发1.6小时后两者相遇. 甲的速度为
16
千米/时，乙的速度为24
千米/时.答案
4. 16 24
解析
【分析】
这是行程类的相遇问题，核心等量关系是：相向而行相遇时，两人行驶的路程之和等于出发前两地的距离。我们可以先设甲、乙的速度分别为未知数，再根据题目给出的两种相遇情况分别列方程，组成二元一次方程组后求解即可。
【解析】
解：设甲的速度为$x$千米/时，乙的速度为$y$千米/时。
根据“两人同时出发相向而行2小时相遇”，可列方程：
$2(x+y)=80$ ①
根据“甲提前1小时出发，乙出发1.6小时后相遇”，可知甲一共行驶了$1+1.6=2.6$小时，乙行驶了1.6小时，可列方程：
$2.6x + 1.6y = 80$ ②
由①式化简得：$x+y=40$，即$y=40-x$ ③
将③代入②式：
$2.6x + 1.6(40-x) = 80$
$2.6x + 64 - 1.6x = 80$
解得$x = 16$
把$x=16$代入③得：$y=40-16=24$
【答案】
16；24
【知识点】
二元一次方程组的应用；相遇行程问题
【点评】
本题考查行程相遇场景的方程应用，解题关键是准确梳理不同情况下两人的行驶时间，抓住“路程和等于总距离”的等量关系列方程求解，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.7
这是行程类的相遇问题，核心等量关系是：相向而行相遇时，两人行驶的路程之和等于出发前两地的距离。我们可以先设甲、乙的速度分别为未知数，再根据题目给出的两种相遇情况分别列方程，组成二元一次方程组后求解即可。
【解析】
解：设甲的速度为$x$千米/时，乙的速度为$y$千米/时。
根据“两人同时出发相向而行2小时相遇”，可列方程：
$2(x+y)=80$ ①
根据“甲提前1小时出发，乙出发1.6小时后相遇”，可知甲一共行驶了$1+1.6=2.6$小时，乙行驶了1.6小时，可列方程：
$2.6x + 1.6y = 80$ ②
由①式化简得：$x+y=40$，即$y=40-x$ ③
将③代入②式：
$2.6x + 1.6(40-x) = 80$
$2.6x + 64 - 1.6x = 80$
解得$x = 16$
把$x=16$代入③得：$y=40-16=24$
【答案】
16；24
【知识点】
二元一次方程组的应用；相遇行程问题
【点评】
本题考查行程相遇场景的方程应用，解题关键是准确梳理不同情况下两人的行驶时间，抓住“路程和等于总距离”的等量关系列方程求解，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 一个圆柱形容器中装有一定量的水,放入若干个大铁球和小铁球后(假设所有的球都浸没在水中),水面上升情况如图所示. 要使水面高度为21 cm,则可以放入
1
个大铁球和8
个小铁球(写出一组符合要求的值即可).答案
5. 答案不唯一,如1 8 解析:设放入1个大铁球水面上升x cm,放入1个小铁球水面上升y cm. 根据题意,得$\begin{cases}x+2y=15-10,\\2x+3y=19-10,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=1.\end{cases}$
所以放入1个大铁球水面上升3 cm,放入1个小铁球水面上升1 cm. 设放入m个大铁球,n个小铁球,可以使水面高度为21 cm. 根据题意,得3m+n=21-10,所以n=11-3m. 又因为x,y均为非负整数,所以$\begin{cases}m=0,\\n=11\end{cases}$或$\begin{cases}m=1,\\n=8\end{cases}$或$\begin{cases}m=2,\\n=5\end{cases}$或$\begin{cases}m=3,\\n=2.\end{cases}$
所以可以放入1个大铁球和8个小铁球.
所以放入1个大铁球水面上升3 cm,放入1个小铁球水面上升1 cm. 设放入m个大铁球,n个小铁球,可以使水面高度为21 cm. 根据题意,得3m+n=21-10,所以n=11-3m. 又因为x,y均为非负整数,所以$\begin{cases}m=0,\\n=11\end{cases}$或$\begin{cases}m=1,\\n=8\end{cases}$或$\begin{cases}m=2,\\n=5\end{cases}$或$\begin{cases}m=3,\\n=2.\end{cases}$
所以可以放入1个大铁球和8个小铁球.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要先求出放入1个大铁球、1个小铁球分别能让水面上升的高度。观察题图可知，原有水面高度为10cm：放入1个大铁球和2个小铁球时，水面上升了15-10=5cm；放入2个大铁球和3个小铁球时，水面上升了19-10=9cm。我们可以通过设未知数列二元一次方程组，先算出单个大、小铁球对应的水面上升高度，再根据目标水面高度21cm，算出总共需要上升的高度，列出方程寻找符合条件的非负整数解即可。
【解析】
解：设放入1个大铁球水面上升$x$ cm，放入1个小铁球水面上升$y$ cm。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+2y=15-10\\2x+3y=19-10\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x+2y=5\quad ①\\2x+3y=9\quad ②\end{cases}$
由①得$x=5-2y$，将其代入②：
$2(5-2y)+3y=9$
$10-4y+3y=9$
解得$y=1$
把$y=1$代入①，得$x=5-2×1=3$
即$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$，也就是放入1个大铁球水面上升3cm，放入1个小铁球水面上升1cm。
设放入$m$个大铁球、$n$个小铁球时水面高度为21cm，此时水面总共需要上升$21-10=11$cm，可列方程：
$3m+n=11$，即$n=11-3m$，其中$m$、$n$均为非负整数。
取$m=1$时，$n=11-3×1=8$，符合要求（答案不唯一）。
【答案】
1；8（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题关键是先根据已知的水面上升情况求出单个大、小铁球使水面上升的高度，再根据目标高度列出方程选取符合要求的非负整数解，解题时要注意球的个数不能为负数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要先求出放入1个大铁球、1个小铁球分别能让水面上升的高度。观察题图可知，原有水面高度为10cm：放入1个大铁球和2个小铁球时，水面上升了15-10=5cm；放入2个大铁球和3个小铁球时，水面上升了19-10=9cm。我们可以通过设未知数列二元一次方程组，先算出单个大、小铁球对应的水面上升高度，再根据目标水面高度21cm，算出总共需要上升的高度，列出方程寻找符合条件的非负整数解即可。
【解析】
解：设放入1个大铁球水面上升$x$ cm，放入1个小铁球水面上升$y$ cm。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+2y=15-10\\2x+3y=19-10\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x+2y=5\quad ①\\2x+3y=9\quad ②\end{cases}$
由①得$x=5-2y$，将其代入②：
$2(5-2y)+3y=9$
$10-4y+3y=9$
解得$y=1$
把$y=1$代入①，得$x=5-2×1=3$
即$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$，也就是放入1个大铁球水面上升3cm，放入1个小铁球水面上升1cm。
设放入$m$个大铁球、$n$个小铁球时水面高度为21cm，此时水面总共需要上升$21-10=11$cm，可列方程：
$3m+n=11$，即$n=11-3m$，其中$m$、$n$均为非负整数。
取$m=1$时，$n=11-3×1=8$，符合要求（答案不唯一）。
【答案】
1；8（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题关键是先根据已知的水面上升情况求出单个大、小铁球使水面上升的高度，再根据目标高度列出方程选取符合要求的非负整数解，解题时要注意球的个数不能为负数。
【难度系数】
0.7
二、解答题
6. 某工厂需要生产一批三人扭腰器,每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成.若工厂每人每天只能生产同一种部件,每人每天平均生产扶手架的个数比扭腰盘的个数少12,且每天6名工人生产的扶手架数量与5名工人生产的扭腰盘数量相同.
（1）工厂每人每天平均生产扶手架和扭腰盘各多少个？
（2）现共有42名工人,应如何安排工人才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套？
6. 某工厂需要生产一批三人扭腰器,每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成.若工厂每人每天只能生产同一种部件,每人每天平均生产扶手架的个数比扭腰盘的个数少12,且每天6名工人生产的扶手架数量与5名工人生产的扭腰盘数量相同.
（1）工厂每人每天平均生产扶手架和扭腰盘各多少个？
（2）现共有42名工人,应如何安排工人才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套？
答案
6. (1) 设工厂每人每天平均生产扶手架x个,每人每天平均生产扭腰盘y个. 由题意,得$\begin{cases}y-x=12,\\6x=5y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=60,\\y=72.\end{cases}$所以工厂每人每天平均生产扶手架60个,每人每天平均生产扭腰盘72个
(2) 设m名工人生产扶手架,则(42-m)名工人生产扭腰盘. 由题意,得3×60m=72(42-m),解得m=12,则42-m=30. 所以安排12名工人生产扶手架,30名工人生产扭腰盘,才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套
(2) 设m名工人生产扶手架,则(42-m)名工人生产扭腰盘. 由题意,得3×60m=72(42-m),解得m=12,则42-m=30. 所以安排12名工人生产扶手架,30名工人生产扭腰盘,才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套
解析
【分析】
（1）第一问有两个明确的等量关系：①每人每天生产扭腰盘的个数减去生产扶手架的个数等于12；②6名工人生产扶手架的总数量等于5名工人生产扭腰盘的总数量，可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）第二问是配套问题，已知1个扶手架需要搭配3个扭腰盘，因此扭腰盘的总数量应为扶手架总数量的3倍，据此设生产扶手架的工人数为未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）设工厂每人每天平均生产扶手架$x$个，每人每天平均生产扭腰盘$y$个。
由题意得方程组：
$\begin{cases}y-x=12\\6x=5y\end{cases}$
将$y=x+12$代入$6x=5y$，得$6x=5(x+12)$，解得$x=60$，
把$x=60$代入$y=x+12$，得$y=72$。
即每人每天平均生产扶手架60个，生产扭腰盘72个。
（2）设安排$m$名工人生产扶手架，则$(42-m)$名工人生产扭腰盘。
根据配套要求，扭腰盘总数量是扶手架总数量的3倍，列方程：
$3× 60m=72(42-m)$
整理得$180m=3024-72m$，
移项合并得$252m=3024$，
解得$m=12$，则$42-m=30$。
即安排12名工人生产扶手架，30名工人生产扭腰盘可使部件配套。
【答案】
（1）每人每天平均生产扶手架60个，生产扭腰盘72个；
（2）安排12名工人生产扶手架，30名工人生产扭腰盘。
【知识点】
二元一次方程组的应用，配套问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的生产配套类应用题，解题关键是准确提取题目中的等量关系，尤其要注意配套问题中两类部件的数量比例关系，避免比例颠倒导致解题错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问有两个明确的等量关系：①每人每天生产扭腰盘的个数减去生产扶手架的个数等于12；②6名工人生产扶手架的总数量等于5名工人生产扭腰盘的总数量，可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）第二问是配套问题，已知1个扶手架需要搭配3个扭腰盘，因此扭腰盘的总数量应为扶手架总数量的3倍，据此设生产扶手架的工人数为未知数列一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）设工厂每人每天平均生产扶手架$x$个，每人每天平均生产扭腰盘$y$个。
由题意得方程组：
$\begin{cases}y-x=12\\6x=5y\end{cases}$
将$y=x+12$代入$6x=5y$，得$6x=5(x+12)$，解得$x=60$，
把$x=60$代入$y=x+12$，得$y=72$。
即每人每天平均生产扶手架60个，生产扭腰盘72个。
（2）设安排$m$名工人生产扶手架，则$(42-m)$名工人生产扭腰盘。
根据配套要求，扭腰盘总数量是扶手架总数量的3倍，列方程：
$3× 60m=72(42-m)$
整理得$180m=3024-72m$，
移项合并得$252m=3024$，
解得$m=12$，则$42-m=30$。
即安排12名工人生产扶手架，30名工人生产扭腰盘可使部件配套。
【答案】
（1）每人每天平均生产扶手架60个，生产扭腰盘72个；
（2）安排12名工人生产扶手架，30名工人生产扭腰盘。
【知识点】
二元一次方程组的应用，配套问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的生产配套类应用题，解题关键是准确提取题目中的等量关系，尤其要注意配套问题中两类部件的数量比例关系，避免比例颠倒导致解题错误。
【难度系数】
0.7
