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一、填空题
1. 某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分. 若小华最终成绩为88分，则小华答对
1. 某中学举行“强国有我”知识竞赛，规则如下：每位选手共需答题25道，每答对一道题得4分，不答或答错一题扣2分. 若小华最终成绩为88分，则小华答对
23
道题.答案
23
解析
【分析】
这是典型的竞赛得分类应用题，解题时首先明确等量关系：答对题目获得的总分数 - 不答或答错扣掉的总分数 = 最终得分。我们可以设答对的题数为未知数，用总题数表示出不答/答错的题数，再根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设小华答对了$ x $道题，则不答或答错的题数为$ (25-x) $道。
根据题意列方程：
$ 4x - 2(25 - x) = 88 $
展开括号得：
$ 4x - 50 + 2x = 88 $
合并同类项得：
$ 6x = 138 $
系数化为1得：
$ x = 23 $
经检验，$ x=23 $符合题意。
【答案】
23
【知识点】
一元一次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是准确找到得分与扣分的等量关系，列方程时注意不要混淆扣分的运算符号，计算后可代入题干验证结果是否正确。
【难度系数】
0.8
这是典型的竞赛得分类应用题，解题时首先明确等量关系：答对题目获得的总分数 - 不答或答错扣掉的总分数 = 最终得分。我们可以设答对的题数为未知数，用总题数表示出不答/答错的题数，再根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设小华答对了$ x $道题，则不答或答错的题数为$ (25-x) $道。
根据题意列方程：
$ 4x - 2(25 - x) = 88 $
展开括号得：
$ 4x - 50 + 2x = 88 $
合并同类项得：
$ 6x = 138 $
系数化为1得：
$ x = 23 $
经检验，$ x=23 $符合题意。
【答案】
23
【知识点】
一元一次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是准确找到得分与扣分的等量关系，列方程时注意不要混淆扣分的运算符号，计算后可代入题干验证结果是否正确。
【难度系数】
0.8
2. 某商场把进价为240元的商品，标价320元打折出售，仍获利20%，则该商品出售时打
9
折.答案
9
解析
【分析】
要解决这道打折销售问题，首先明确核心等量关系：商品实际售价 = 进价×(1+利润率)，同时实际售价也等于标价乘以折扣对应的比例（打x折即售价为标价的$\frac{x}{10}$）。我们可以先设折扣数为未知数，再根据两个方式表示的实际售价相等列方程求解即可。
【解析】
设该商品出售时打$x$折。
根据题意，获利20%是相对于进价而言，因此实际售价为：$240×(1+20\%)$
同时实际售价也可表示为标价乘以折扣比例：$320× \frac{x}{10}$
列方程得：
$320× \frac{x}{10} = 240×(1+20\%)$
化简计算：
$32x = 240×1.2$
$32x = 288$
解得：$x=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 打折销售问题
3. 利润率计算
【点评】
本题是销售类典型基础应用题，解题的关键是找准等量关系，明确利润率的计算基数是进价，折扣的表示需注意“打x折”是按原价的十分之x销售，避免将折扣直接乘以x导致错误，掌握核心公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道打折销售问题，首先明确核心等量关系：商品实际售价 = 进价×(1+利润率)，同时实际售价也等于标价乘以折扣对应的比例（打x折即售价为标价的$\frac{x}{10}$）。我们可以先设折扣数为未知数，再根据两个方式表示的实际售价相等列方程求解即可。
【解析】
设该商品出售时打$x$折。
根据题意，获利20%是相对于进价而言，因此实际售价为：$240×(1+20\%)$
同时实际售价也可表示为标价乘以折扣比例：$320× \frac{x}{10}$
列方程得：
$320× \frac{x}{10} = 240×(1+20\%)$
化简计算：
$32x = 240×1.2$
$32x = 288$
解得：$x=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 打折销售问题
3. 利润率计算
【点评】
本题是销售类典型基础应用题，解题的关键是找准等量关系，明确利润率的计算基数是进价，折扣的表示需注意“打x折”是按原价的十分之x销售，避免将折扣直接乘以x导致错误，掌握核心公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，三个形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形。如果大长方形的周长为50 cm，那么一个小长方形的面积是
50
cm². 答案
50
解析
【分析】
解决这类图形拼合类的方程应用题，第一步先观察图形找隐含的等量关系：从图中可以看到左侧两个小长方形上下拼接，两个宽的和刚好等于右侧小长方形的长，也就是小长方形的长=2×小长方形的宽。接下来我们可以设未知数表示小长方形的长和宽，再用未知数表示出大长方形的长和宽，结合大长方形周长为50cm的条件列方程求解，最后计算小长方形的面积即可。
【解析】
设小长方形的宽为$ x $ cm，由图形的拼接关系可得小长方形的长为$ 2x $ cm。
观察大长方形的边长：
大长方形的长 = 小长方形的长 + 小长方形的宽 = $ 2x + x = 3x $ cm
大长方形的宽 = 小长方形的长 = $ 2x $ cm
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知大长方形周长为50cm，列方程：
$ 2×(3x + 2x) = 50 $
化简得：$ 10x = 50 $
解得：$ x = 5 $
则小长方形的宽为5cm，长为$ 2×5 = 10 $ cm，
小长方形的面积 = 长×宽 = $ 10×5 = 50 $ $ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
50
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长计算、长方形面积计算
【点评】
本题是几何图形与一元一次方程结合的常规题型，解题核心是从拼接图形中挖掘出边长的等量关系，再结合周长公式列方程求解，掌握这类题需要学会观察图形隐含的数量关系。
【难度系数】
0.7
解决这类图形拼合类的方程应用题，第一步先观察图形找隐含的等量关系：从图中可以看到左侧两个小长方形上下拼接，两个宽的和刚好等于右侧小长方形的长，也就是小长方形的长=2×小长方形的宽。接下来我们可以设未知数表示小长方形的长和宽，再用未知数表示出大长方形的长和宽，结合大长方形周长为50cm的条件列方程求解，最后计算小长方形的面积即可。
【解析】
设小长方形的宽为$ x $ cm，由图形的拼接关系可得小长方形的长为$ 2x $ cm。
观察大长方形的边长：
大长方形的长 = 小长方形的长 + 小长方形的宽 = $ 2x + x = 3x $ cm
大长方形的宽 = 小长方形的长 = $ 2x $ cm
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知大长方形周长为50cm，列方程：
$ 2×(3x + 2x) = 50 $
化简得：$ 10x = 50 $
解得：$ x = 5 $
则小长方形的宽为5cm，长为$ 2×5 = 10 $ cm，
小长方形的面积 = 长×宽 = $ 10×5 = 50 $ $ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
50
【知识点】
一元一次方程的应用、长方形周长计算、长方形面积计算
【点评】
本题是几何图形与一元一次方程结合的常规题型，解题核心是从拼接图形中挖掘出边长的等量关系，再结合周长公式列方程求解，掌握这类题需要学会观察图形隐含的数量关系。
【难度系数】
0.7
4. 船在静水中的速度为35 km/h，水流速度为5 km/h，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了7 h（中途不停），则甲、乙两码头之间的距离为
120
km.答案
120
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题思路如下：①首先明确流水行船的速度规律：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；②找到题中的等量关系：从甲到乙的顺水行驶时间 + 从乙到甲的逆水行驶时间 = 总用时7h，而行驶时间=路程÷行驶速度；③设甲、乙两码头的距离为未知数，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙两码头之间的距离为$ x $ km。
首先计算往返的行驶速度：
顺水速度：$ 35 + 5 = 40 $（km/h）
逆水速度：$ 35 - 5 = 30 $（km/h）
根据“顺水行驶时间+逆水行驶时间=总用时”列方程：
$ \frac{x}{40} + \frac{x}{30} = 7 $
通分，两边同时乘120消去分母得：
$ 3x + 4x = 7 × 120 $
合并同类项得：
$ 7x = 840 $
系数化为1得：
$ x = 120 $
【答案】
120
【知识点】
流水行船速度计算，一元一次方程的应用，行程问题基本公式
【点评】
本题属于典型的行程类一元一次方程应用题，解题关键是熟练掌握流水行船的速度计算方法，准确抓住总用时的等量关系列方程，计算难度较低，掌握对应规律后即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题思路如下：①首先明确流水行船的速度规律：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；②找到题中的等量关系：从甲到乙的顺水行驶时间 + 从乙到甲的逆水行驶时间 = 总用时7h，而行驶时间=路程÷行驶速度；③设甲、乙两码头的距离为未知数，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙两码头之间的距离为$ x $ km。
首先计算往返的行驶速度：
顺水速度：$ 35 + 5 = 40 $（km/h）
逆水速度：$ 35 - 5 = 30 $（km/h）
根据“顺水行驶时间+逆水行驶时间=总用时”列方程：
$ \frac{x}{40} + \frac{x}{30} = 7 $
通分，两边同时乘120消去分母得：
$ 3x + 4x = 7 × 120 $
合并同类项得：
$ 7x = 840 $
系数化为1得：
$ x = 120 $
【答案】
120
【知识点】
流水行船速度计算，一元一次方程的应用，行程问题基本公式
【点评】
本题属于典型的行程类一元一次方程应用题，解题关键是熟练掌握流水行船的速度计算方法，准确抓住总用时的等量关系列方程，计算难度较低，掌握对应规律后即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为
5
岁。答案
5
解析:设甲、乙现在的年龄差为x岁,则乙现在的年龄是(10+x)岁,甲现在的年龄是(25-x)岁.根据题意,得(25-x)-(10+x)=x,解得x=5.所以甲、乙现在的年龄差为5岁.
解析:设甲、乙现在的年龄差为x岁,则乙现在的年龄是(10+x)岁,甲现在的年龄是(25-x)岁.根据题意,得(25-x)-(10+x)=x,解得x=5.所以甲、乙现在的年龄差为5岁.
解析
【分析】
解决年龄问题的核心是抓住年龄差始终不变的规律，无论时间向前推还是向后延，两人的年龄差都不会改变。我们可以设甲、乙的年龄差为x岁：①当甲是乙现在的年龄时，相当于时间往前推了x年，此时乙10岁，说明乙现在的年龄就是10岁加年龄差x，即(10+x)岁；②当乙是甲现在的年龄时，相当于时间往后延了x年，此时甲25岁，说明甲现在的年龄就是25岁减年龄差x，即(25-x)岁。最后根据“甲现在的年龄-乙现在的年龄=年龄差x”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙现在的年龄差为x岁。
由“甲是乙现在的年龄时，乙10岁”可得，乙现在的年龄为(10+x)岁；
由“乙是甲现在的年龄时，甲25岁”可得，甲现在的年龄为(25-x)岁。
根据两人年龄差为x岁列方程：
$\begin{aligned}(25-x)-(10+x)&=x\\25-x-10-x&=x\\15&=3x\\x&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程的应用，年龄差不变性质
【点评】
本题是年龄问题的典型考题，解题的关键是抓住年龄差不变的规律，结合不同时间节点的年龄关系找到等量关系列方程，掌握核心规律后可以快速求解。
【难度系数】
0.7
解决年龄问题的核心是抓住年龄差始终不变的规律，无论时间向前推还是向后延，两人的年龄差都不会改变。我们可以设甲、乙的年龄差为x岁：①当甲是乙现在的年龄时，相当于时间往前推了x年，此时乙10岁，说明乙现在的年龄就是10岁加年龄差x，即(10+x)岁；②当乙是甲现在的年龄时，相当于时间往后延了x年，此时甲25岁，说明甲现在的年龄就是25岁减年龄差x，即(25-x)岁。最后根据“甲现在的年龄-乙现在的年龄=年龄差x”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙现在的年龄差为x岁。
由“甲是乙现在的年龄时，乙10岁”可得，乙现在的年龄为(10+x)岁；
由“乙是甲现在的年龄时，甲25岁”可得，甲现在的年龄为(25-x)岁。
根据两人年龄差为x岁列方程：
$\begin{aligned}(25-x)-(10+x)&=x\\25-x-10-x&=x\\15&=3x\\x&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程的应用，年龄差不变性质
【点评】
本题是年龄问题的典型考题，解题的关键是抓住年龄差不变的规律，结合不同时间节点的年龄关系找到等量关系列方程，掌握核心规律后可以快速求解。
【难度系数】
0.7
二、解答题
6. 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调17人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，则应调往甲、乙两处各多少人？
6. 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调17人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，则应调往甲、乙两处各多少人？
答案
设应调往甲处x人,则调往乙处(17-x)人.根据题意,得27+x=2[19+(17-x)],解得x=15,则17-x=2.所以应调往甲处15人,调往乙处2人
解析
【分析】
这是一道人员调配类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住题目给出的等量关系：调配完成后甲处劳动人数=2×乙处劳动人数。我们采用直接设元法，设调往甲处的人数为x人，因为总支援人数是17人，因此调往乙处的人数为(17-x)人，再分别表示出调配后甲、乙两处的总人数，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设应调往甲处x人，则调往乙处的人数为(17-x)人。
根据题意列方程：
$27 + x = 2×[19 + (17 - x)]$
先计算右侧括号内的和：
$27 + x = 2×(36 - x)$
展开右侧式子：
$27 + x = 72 - 2x$
移项得：
$x + 2x = 72 - 27$
合并同类项：
$3x = 45$
系数化为1：
$x = 15$
则调往乙处的人数为：$17 - x = 17 - 15 = 2$（人）
【答案】
应调往甲处15人，调往乙处2人
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 调配类应用题
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是典型的基础调配类应用题，解题关键是找准调配后两个对象的数量等量关系，掌握设未知数、列方程、解方程的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道人员调配类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住题目给出的等量关系：调配完成后甲处劳动人数=2×乙处劳动人数。我们采用直接设元法，设调往甲处的人数为x人，因为总支援人数是17人，因此调往乙处的人数为(17-x)人，再分别表示出调配后甲、乙两处的总人数，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设应调往甲处x人，则调往乙处的人数为(17-x)人。
根据题意列方程：
$27 + x = 2×[19 + (17 - x)]$
先计算右侧括号内的和：
$27 + x = 2×(36 - x)$
展开右侧式子：
$27 + x = 72 - 2x$
移项得：
$x + 2x = 72 - 27$
合并同类项：
$3x = 45$
系数化为1：
$x = 15$
则调往乙处的人数为：$17 - x = 17 - 15 = 2$（人）
【答案】
应调往甲处15人，调往乙处2人
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 调配类应用题
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是典型的基础调配类应用题，解题关键是找准调配后两个对象的数量等量关系，掌握设未知数、列方程、解方程的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 为推进我国碳达峰碳中和“双碳”目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目. 某公司计划建设一座小型光伏发电站，已知由甲工程队单独施工需要3周，由乙工程队单独施工需要6周.
（1）若甲、乙两工程队全程合作施工，则需要几周完成？
（2）若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，则甲工程队施工了几周？
（1）若甲、乙两工程队全程合作施工，则需要几周完成？
（2）若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，则甲工程队施工了几周？
答案
(1) 设甲、乙两工程队全程合作施工,需要x周完成.由题意,得$(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})x=1$,解得x=2.所以若甲、乙两工程队全程合作施工,则需要2周完成
(2) 设甲工程队施工了y周.由题意,得$\frac{1}{3}y+4×\frac{1}{6}=1$,解得y=1.所以甲工程队施工了1周
(2) 设甲工程队施工了y周.由题意,得$\frac{1}{3}y+4×\frac{1}{6}=1$,解得y=1.所以甲工程队施工了1周
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时通常先将总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”先求出各队的工作效率：甲队单独3周完成，效率为$\frac{1}{3}$/周，乙队单独6周完成，效率为$\frac{1}{6}$/周。
（1）求合作完工时间：合作的工作效率为两队效率之和，根据“总工作量=合作效率×合作时间”列方程求解即可。
（2）已知总工期为4周，剩余部分由乙单独完成，说明乙队全程参与了4周，甲队仅参与了合作阶段的施工，总工作量等于甲队施工的工作量加上乙队4周的工作量，据此等量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）设甲、乙两工程队全程合作施工需要$x$周完成。
甲每周完成总工作量的$\frac{1}{3}$，乙每周完成总工作量的$\frac{1}{6}$，根据总工作量为1，列方程：
$(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})x=1$
化简左边得$\frac{1}{2}x=1$，解得$x=2$。
（2）设甲工程队施工了$y$周。
乙队全程施工4周，完成的工作量为$4×\frac{1}{6}$，甲队$y$周完成的工作量为$\frac{1}{3}y$，根据总工作量为1，列方程：
$\frac{1}{3}y + 4×\frac{1}{6}=1$
化简得$\frac{1}{3}y + \frac{2}{3}=1$，移项得$\frac{1}{3}y=\frac{1}{3}$，解得$y=1$。
【答案】
(1) 若甲、乙两工程队全程合作施工，则需要2周完成；
(2) 甲工程队施工了1周。
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题关键是将总工作量设为单位“1”，准确推导各施工队的工作效率，再结合题干给出的完工条件梳理等量关系列方程，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时通常先将总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”先求出各队的工作效率：甲队单独3周完成，效率为$\frac{1}{3}$/周，乙队单独6周完成，效率为$\frac{1}{6}$/周。
（1）求合作完工时间：合作的工作效率为两队效率之和，根据“总工作量=合作效率×合作时间”列方程求解即可。
（2）已知总工期为4周，剩余部分由乙单独完成，说明乙队全程参与了4周，甲队仅参与了合作阶段的施工，总工作量等于甲队施工的工作量加上乙队4周的工作量，据此等量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）设甲、乙两工程队全程合作施工需要$x$周完成。
甲每周完成总工作量的$\frac{1}{3}$，乙每周完成总工作量的$\frac{1}{6}$，根据总工作量为1，列方程：
$(\frac{1}{3}+\frac{1}{6})x=1$
化简左边得$\frac{1}{2}x=1$，解得$x=2$。
（2）设甲工程队施工了$y$周。
乙队全程施工4周，完成的工作量为$4×\frac{1}{6}$，甲队$y$周完成的工作量为$\frac{1}{3}y$，根据总工作量为1，列方程：
$\frac{1}{3}y + 4×\frac{1}{6}=1$
化简得$\frac{1}{3}y + \frac{2}{3}=1$，移项得$\frac{1}{3}y=\frac{1}{3}$，解得$y=1$。
【答案】
(1) 若甲、乙两工程队全程合作施工，则需要2周完成；
(2) 甲工程队施工了1周。
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题关键是将总工作量设为单位“1”，准确推导各施工队的工作效率，再结合题干给出的完工条件梳理等量关系列方程，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
