3.「2026浙江嘉兴期中」【阅读材料】半角模型是指有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等,通过截长补短或旋转,将角的倍分关系转化为角的相等关系,并进一步构造全等三角形,使条件弱化,这样可把握问题的本质.
【问题背景】如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图1中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
【初步探索】小亮同学认为解决此问题可以用如下方法:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到线段BE,EF,FD之间的数量关系是.

【探索延伸】如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点$,∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD,【$初步探索】中的结论是否仍然成立?请说明理由.

【结论运用】如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°,则此时两舰艇之间的距离为海里.

【初步探索】EF=BE+FD.
【探索延伸】结论仍然成立.
理由:如图,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
∵ ∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴ ∠B=∠ADG,
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠B=∠ADG, \\ BE=DG, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS),
∴ AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵ ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠EAF = ∠BAE + ∠FAD = ∠DAG+∠FAD=∠GAF,
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAF=∠GAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS),
∴ EF=GF,
∵ GF=GD+FD=BE+FD,
∴ EF=BE+FD.
【结论运用】210.
详解:如图,连接EF,延长AE,BF交于点C,
由题意得∠AOB = 30°+90°+(90°-70°)=140°,
∵ ∠EOF=70°,
∴ ∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB,
又
∵ ∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,OA=OB,
∴ 四边形OACB符合【探索延伸】中的条件,
∴ 结论EF=AE+BF成立,
∴ EF=AE+BF=1.5×60+1.5×80=210(海里),
∴ 此时两舰艇之间的距离是210海里.